高一数学集合与集合的表示方法

第1章集合高一数学集合与集合的表示方法1.1集合与集合的表示方法高一数学集合与集合的表示方法知识整合高一数学集合与集合的表示方法1．集合、元素(1)集合：一般地，把一些能够________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的________构成的集合(或集)．通常用______________表示．(2)元素：构成集合的________叫做这个集合的元素(或成员)，通常用________表示．高一数学集合与集合的表示方法2．元素与集合的关系3.集合元素的性质特征(1)________；(2)________；(3)________．知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果________，就说a属于A

“a属于A”

不属于如果________，就说a不属于A“a不属于A”

高一数学集合与集合的表示方法4．集合的分类高一数学集合与集合的表示方法5．常用数集的意义及表示

意义名称记法________构成的集合自然数集在自然数集内______的集合正整数集____或____________构成的集合整数集________构成的集合有理数集________构成的集合实数集高一数学集合与集合的表示方法6.集合的表示法(1)列举法：如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都________出来，写在大括号内表示这个集合．(2)特征性质描述法：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都________，而不属于集合A的元素都________，则________叫做集合A的一个特征性质．于是，集合A可描述为________．高一数学集合与集合的表示方法答案：1.确定的不同全体大写拉丁字母对象小写拉丁字母2．a是集合A的元素a∈A

a不是集合A的元素a∉A3．确定性无序性互异性4．Ø有限集无限集5．全体自然数N正整数N*

N＋全体整数Z全体有理数Q全体实数R6．一一列举具有性质p(x)不具有性质p(x)性质p(x)

{x∈I|p(x)}高一数学集合与集合的表示方法名师解答高一数学集合与集合的表示方法为何说用描述法表示的集合，认识它要看清集合的代表元素是什么？描述法是将所给集合中全部元素的共同特征性质用文字或符合语言描述出来的方法，它反映了集合元素的形式．如：集合D＝{y|y＝x2－2x＋3}＝{y|y＝(x－1)2＋2}＝{y|y≥2}，该集合的全部元素的共同特征性质是大于或等于2的实数，所以D＝{y|y＝x2－2x＋3}与E＝{x|x≥2}为同一集合；高一数学集合与集合的表示方法高一数学集合与集合的表示方法所以说，用描述法表示的集合，要抓住元素进行分析，弄清集合的代表元素应具有哪些特征性质，从而准确理解和把握集合的内涵，有意识地引导我们分析集合是由哪些元素所组成的，有效地避免解题错误的发生．高一数学集合与集合的表示方法深入学习高一数学集合与集合的表示方法题型一集合中元素确定性的应用【例1】下列所给对象能构成集合的是________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)不超过20的非负数；(3)某一班级16岁以下的学生；(4)某中学的大个子；(5)某学校身高超过1.80米的学生；(6)1,2,3,1.高一数学集合与集合的表示方法分析：集合是一组对象的全体，因此观察一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是否符合元素的特性．解析：(1)不能构成集合．“难题”的概念是模糊的、不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中的难题”不能构成集合．(2)能构成集合．对于任意给定的一个实数z，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤z≤20”，与“z<0或z>20”其中一个成立，所以“不超过20的非负数”能构成集合．高一数学集合与集合的表示方法(3)能构成集合．其中的元素是16岁以下的学生．(4)不能构成集合．因为未规定大个子的标准，所以(4)不能构成集合．(5)能构成集合．由于(5)中的对象具备确定性，因此能构成集合．(6)不能构成集合．虽然(6)中的对象具备确定性，但有两个元素都是1，不符合元素的互异性，所以(6)不能构成集合．故应填(2)，(3)，(5)．答案：(2)，(3)，(5)

高一数学集合与集合的表示方法评析：判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性．高一数学集合与集合的表示方法变式训练1判断以下各组对象能否构成集合．(1)很小的数；(2)不超过30的非负数；(3)直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点；(4)π的近似值；(5)高一新课程开设的所有科目；(6)高一(三)班个子较高的男生．高一数学集合与集合的表示方法分析：本题主要考查对集合元素的确定性的理解，所给的对象不明确就不能构成集合．解：(1)、(4)、(6)中的元素没有明确的判断标准，因此不能构成集合．(2)、(3)、(5)中的对象具体、明确，可以构成集合．高一数学集合与集合的表示方法高一数学集合与集合的表示方法分析：首先理解∈与∉的意义，然后要知道每个集合是由哪些元素组成的或其中元素的限定条件，从而判定元素是否属于这个集合．解：(1)由于π是无理数，则应填∉；(2)因为(－1)0＝1是自然数，则应填∈；高一数学集合与集合的表示方法高一数学集合与集合的表示方法答案：(1)∉

(2)∈

(3)∉

(4)∈

(5)∈

(6)∉

(7)∈高一数学集合与集合的表示方法变式训练2用符号∈或∉填空．高一数学集合与集合的表示方法高一数学集合与集合的表示方法答案：(1)∉∈(2)∉∈(3)∉∈高一数学集合与集合的表示方法题型三用列举法表示集合【例3】用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．分析：用列举法表示集合时，应把集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，元素和元素之间要用“，”隔开．高一数学集合与集合的表示方法解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举方法，例如A＝{9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．高一数学集合与集合的表示方法变式训练3已知集合A＝{小于6的正整数}，B＝{小于10的质数}，C＝{24和36的公约数}，M＝{x|x∈A且x∈C}，N＝{x|x∈B且x∉C}，用列举法表示M、N.解：集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,3,5,7}，C＝{1,2,3,4,6,12}．(1)∵x∈A且x∈C，∴x＝1,2,3,4.∴M＝{1,2,3,4}．(2)∵x∈B且x∉C，∴x＝5,7.∴N＝{5,7}．高一数学集合与集合的表示方法题型四用描述法表示集合【例4】用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的数；(2)右图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)．高一数学集合与集合的表示方法分析：(1)中被3整除的数可表示为3n，n∈Z；(2)中元素是坐标(x，y)．也就是说先考虑元素是什么，再考虑元素必须满足的条件．高一数学集合与集合的表示方法解：(1){x|x＝3n，n∈Z}；高一数学集合与集合的表示方法变式训练4用特征性质描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)坐标平面内坐标轴上的点集；(4)坐标平面内在第二象限内的点所组成的集合；(5)坐标平面内不在第一、三象限的点的集合．高一数学集合与集合的表示方法解：(1){x|x＝2n，n∈N＋}．(2){x|x＝3n＋2，n∈N}．(3){(x，y)|xy＝0}．(4){(x，y)|x<0且y>0}．(5){(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．高一数学集合与集合的表示方法高一数学集合与集合的表示方法高一数学集合与集合的表示方法高一数学集合与集合的表示方法高一数学集合与集合的表示方法高一数学集合与集合的表示方法分析：两个集合完全一样，所以元素也应该一样，不过顺序可以不同．根据集合元素的互异性分类讨论．高一数学集合与集合的表示方法解法一：①若a2＝a，则a＝0或a＝1，把a＝0或a＝1代入检验都不满足题意，∴a≠a2.②若a＝a＋b，则b＝0，把b＝0代入集合化为{a,0,1}，{a2，a,0}，对比可得a2＝1，∴a＝1或a＝－1，而a＝1不满足题意，∴a＝－1.③若a＝0，代入检验不满足题意．综上：a＝－1，b＝0，∴a2006＋b2008＝1.高一数学集合与集合的表示方法评析：解决本题的关键是利用集合中元素的互异性构造方程，再利用集合中元素的互异性检验方程的解．注意含参问题要分类讨论，分类讨论时一定要注意到所有的情形．高一数学集合与集合的表示方法整体探究解读高一数学集合与集合的表示方法题型一用不同方法表示集合【例1】

(一题多解)用适当的方法表示下列集合：大于－3.5小于4.6的整数的全体．解法一：列举法．A＝{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}．解法二：特征性质描述法．A＝{x∈Z|－3.5<x<4.6}．解法三：用韦恩图法．高一数学集合与集合的表示方法评析：表示集合时，根据具体题目适当选取不同的表示方法；若集合中元素个数较少时，可选用列举法，若集合中元素较多或无限集时常选用特征性质描述法，有时用韦恩图法更直观．高一数学集合与集合的表示方法题型二利用集合观点解方程【例2】

(难题巧解)已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R.(1)若A是空集，求a的范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值；(3)若A中至多只有一个元素，求a的范围．分析：本题实质上是从集合的角度考查方程的根的问题．高一数学集合与集合的表示方法高一数学集合与集合的表示方法高一数学集合与集合的表示方法(3)若A中至多只有一个元素，则包括两种情形：A中有且仅有一个元素；A是空集．由(1)、(2)的结果可得a＝0，或a≥.评析：(1)注意判别式使用的前提条件是二次项的系数不等于零．当二次项的系数中含有待定系数时，应对其是否为零进行讨论，如(2)．(2)注意知识间的联系，善于运用转化与化归的数学思想，从而化陌生为熟悉，得心应手地解决问题．高一数学集合与集合的表示方法【例3】设a，b∈Z，集合P＝{(x，y)|(x－a)2＋3b≤6y}，点(2,1)∈P，点(1,0)∉P，点(3,2)∉P，求a，b的值．分析：弄清题意最重要．点(2,1)∈P，说明点(2,1)的坐标适合不等式(x－a)2＋3b≤6y.点(1,0)∉P，说明点(1,0)的坐标不适合关系式(x－a)2＋3b≤6y，那么，点(1,0)的坐标必定适合关系式(x－a)2＋3b>6y，这样题目的隐含条件就被挖掘出来了．同理，点(3,2)的坐标适合关系式(x－a)2＋3b>6y.高一数学集合与集合的表示方法解：∵(2,1)∈P，∴(2－a)2＋3b≤6，即3b≤6－(2－a)2.①又∵(1,0)∉P，∴(1－a)2＋3b>0，即3b>－(1－a)2.②由①、②知6－(