六年级奥数总复习（上）

六年级奥数讲义

第一讲分数的速算与巧算

教学目标

本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.

1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找

通项进行解题的能力

2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利

用运算定律进行简算的问题.

4、通项归纳法

通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简

便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式.

知识点拨

一、裂项综合

(一)、“裂差”型运算

⑴对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即」一形式的，这里我们把较小的数写在前面，即那么有

axbb-aab

⑵对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即:

〃x(〃+1)x(〃+2)〃x(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)

x(n+1)x(«+2)2MX(«+1)(“+1)(〃+2)

nx(n+1)x(n+2)x(n+3)3nx(„+l)x(«+2)("+1)x(〃+2)x(〃+3)

裂差型裂项的三大关键特征：

(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转

化为分子都是1的运算。

(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

(3)分母上几个因数间的差是一个定值。

(二)、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

axbaxbaxbbaaxbaxbaxbba

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分

数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项

(1)lx2+2x3+3x4+...+(n—l)xn=—(n-l)XMX(n+l)

lx2x3+2x3x4+3x4x5+...+(n-2)x(n-l)x»=—(n-2)(n-l)n(n+1)

4

二、换元

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转

化，将复杂的式子化繁为简.

三、循环小数化分数

1、循环小数化分数结论:

纯循环小数混循环小数

循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字

循环节中的数字所组成的数

所组成的数的差

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六年级奥数讲义

按循环位数添9,不循环位数添0,组成分母，其中9在0

分母n个9,其中n等于循环节所含的数字个数

的左侧

ab1ah

O.ab=—0.0cih=—x—=---O.abc=^^-

999910990990

2、单位分数的拆分:

1111111111

例:——=------1------=--------1-------=--------+1-------=--------+1-------=--------1-------

1020200()00()0()()

分析：分数单位的拆分，主要方法是：

从分母N的约数中任意找出两个m和n,有:

11(加+77)mn11

---------+----------------=—+—

NN(m+n)N(m+n)N(m+n)AB

本题10的约数有：1,10,2,5.。

例如：选1和2,有：

1_1(1+2)

1010(1+2)10(1+2)10(1+2)3015

本题具体的解有：

111111111

—=—-|----=—+—=—+-|---

1011110126014351530

例题精讲

模块一、分数裂项

11111

[例1]++•,,+---------F----------

1x2x3x42x3x4x53x4x5x66x7x8x97x8x9x10

原式=’x1111

【解析】---------------------------------1---------------------------------+…+

31x2x32x3x42x3x43x4x57x8x98x9x10

11119

=­x

31x2x38x9x102160

333

【巩固】--------------------1-----------------------F.......H-----------------------------

Ix2x3x42x3x4x517x18x19x20

原式=3xgx(1

【解析】------------------------------1--------------------------------1--I-----------------------------------------)]

1x2x32x3x42x3x43x4x5…17x18x1918x19x20

113x19x20-11139

1x2x318x19x2018x19x206840

、…5719

[例2]计算：-------+--------+…+

1x2x32x3x48x9x10

【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相同，而是成等差

数列，且等差数列的公差为2.相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数列（该数列的第〃个数恰好为〃的2

倍），原式中分子所成的等差数列每•项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再

进行计算.

3+23+43+16

原式=-------+-------+•••+--------

1x2x32x3x48x9x10

111128

=3x--------------1---------------+…+---+--2-x-------------------1---------------+…+

1x2x32x3x48x9x101x2x32x3x48x9x10

111111111

=3xlx+2x----1-----F•••■+•

21x22x32x33x48x99x102x33x49x10

3

=—x+2x

21x29x1034910

3117123

=­x+2x

2290460515

也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2〃+3,所以

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2/2+3232

再将每一项的与

〃x(〃+l)x(〃+2)++

3

分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相同.

〃x(〃+l)x(〃+2)

571719

【巩固】计算：1155x(-------+--------+…+---------+---------)

2x3x43x4x58x9x109x10x11

5717IQ

【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：--—+--—+…+——-—+——■—.这个算式不同于我们

2x3x43x4x58x9x109x10x11

常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况.

所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式.

观察可知5=2+3,7=3+4,即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以

571719

-------+--------+…+------------------1--------------------

2x3x43x4x58x9x109x10x11

2+33+49+10

--------1---------F,••H

2x3x43x4x5------9x10x11

111111

=--------4-----------+----------4---------+…+10xll+9xll

3x42x44x53x5

11111

-----1------F…++-----------1------------1-•••H------------

3x44x510x112x43x59x11

11111111111111111

+—X

4510112243546810911

1812+831

+—x-=——+—x

22-103n3323355

31

所以原式=1155x—=651.

55

34512

【巩固】计算:+++…H-----------------------------

Ix2x4x52x3x5x63x4x6x710x11x13x14

【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、

分母都乘以分子中的数.即：

324252122

原式=+++…-I-------------------------------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公

式：32=1x5+4,42=2x6+4,52=3x7+4……

324252122

【解析】原式=+++・・.+----------------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

1x5+42x6+43x7+410x14+4

----------------------------F----------------------------F--------------------------+...+----------------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

111

--------1---------1--------+…~1----------------------

2x3x43x4x54x5x611x12x13

4444

++++...+----------------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

1111111

=­x273-374+3^4-475+,+11x12-12x13

2

11111

+----------------------------------------------+，■■+

Ix2x3x42x3x4x52x3x4x53x4x5x610x11x12x1311x12x13x14

1111

=­x4-

22x312x13Ix2x3x411x12x13x14

1±-1177+1111175

122x12x13+2411x12x13x14811x12x13x1482x11x148308616

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12349

【例3】++++…+

22x32x3x42x3x4x52x3x4…xlO

…12349

【解析】

22x32x3x42x3x4x52x3x4…xlO

2-13-14-110-1

—+++…+

22x32x3x42x3x4…xlO

,1111111

222x32x32x3x42x3x4…x92x3x4---x9x10

1I3628799

=1-------------------------=------------

2x3x4…x9xl03628800

I111

[例4]++1,,,■■■।

11+21+2+31+2+…+100

【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，

通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有！==，

1(l+l)xl1x2

2

112

1+2-(1+2)X2-2x3'

2

E42222r“1、200I99

原式=----1---------1--------F.......H-------------=2X(1------)=------=1

1x22x33x4100x101101101101

23450

【巩固】+++…+

1x(1+2)(1+2)x(1+2+3)(1+2+3)x(1+2+3+4)(1+2+3+…+49)x(1+2+3+…+50)

原式=2+工+」+—+…

1x33x66x1010x151225x1275

11I11,11,11、1274

1336610122512751275

234100

【巩固】+++…+

1x(1+2)(1+2)x(1+2+3)(1+2+3)x(1+2+3+4)(1+2+…+99)x(l+2+…+100)

2__1__1_3__J_______1_

【解析】

lx(l+2)-l1+2,(l+2)x(l+2+3)-1+21+2+3’

10011

—,所以

(l+2+--+99)x(l+2+--+100)1+2+…+991+2+…+100

原式=]---------------

1+2+…+100

7__1_5049

―5050—5050

1__2____________3____________________________10_______________

【巩固】

1x(1+2)(l+2)x(l+2+3)(1+2+3+…+9)x(l+2+3+…+10)

-1,23410、

【解析】原式=1一(---+-----+-----+…+-------)

1x33x66x1045x55

“1111111A

1

~55

111111

[例5]

32-152-172-192-111--1132-1

【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：a2-b2=(a-b)x(a+b),

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原式=(----)+(----)+(----)+(-----)+(------)+(------)

2x44x66x88x1010x1212x14

,111111111111、1

=(--------------1--------------H---------------H-------------------1---------------------1-----------------)X-

244668810101212142

=(l_±)xl=A

214214

35715

【巩固】计算:-：--------r4-3--------rH-3T-*-------1—；---------r

12X2222X3232X4272X82

Hi22-l232-2242-3282-72

【解析】+…+

12X2222X3232X4272X82

.1111111

=1-------T-1---；7+--------------7+…-1-----；---------?

22223232427282

1163

=1r=—

8264

、心32+152+172+119932+119952+1

【巩固】计算：不—+——+——+…+------------------1------------------

32-152-172-19932-119952-1

【解析】原式=(1+——+•■■+(1+—~—+1+

I32-1+("白(19932-1[T^T

222

=997+-----1------F,••+

2x44x61994x1996

111111I997

=997+-+———+,,•+-----=997+=997——

[244619941996219961996

22232502

【巩固】计算:-----------1---------------1---------------1-•••H-------------------

1x33x55x799x101

【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为22-1,42-1,

62-1,……,1002-1,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进

行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了.

1(2242621002

原式=—乂X___2_____________2_______|______2______+…H------------------

4|^2-14-16-11002-1

x1+-V--+1+-V--+1+-+…+1+

422-142-162-11002

』15。+——1

41x33x55x799x101

=l1x50+-x|1-1111111

423355799101

=—x50+—x|1=1x50^.

421014101=喘

2x24x46x68x810x10

【巩固】-------------F----------+-----------+--------------1-----------------

1x33x55x77x99x11

(法1)：可先找通项a”=4—=1+—一=1+-----1-------

【解析】

"n2-1n2-l(H-1)X(H+1)

原式=(1+白+("白)+"为)+("高)+(1+1

)

9x11

1k55

=5c4—x(Z11---)=5c4—=5—

2111111

八+c、田川-2、,88、4818、3232、z5050、

3355779911

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卬加❷工史-竺=1。-4色=5.

3579111111

]_1J_

【例6】।3+…——p99-------------

]+5a+2)xa+§)a+5)xa+§)x…x(1+

11

【解析】一:--------------------5-=-^=-——-------=2x(J---------!_)

(l+0(")x…x(l+，)*5+D5+2)"+1〃+2

23n+\2

原K式i=[「(/5I-p1、+(/m-1/、+(/1”1、T(,碱1-丽1)卜Jr2=1-做1=嗝999

【巩固】计算:1H--------1-------------卜•・.--------------------

1+21+2+31+2+...2007

【解析】先找通项公式%=——-——=---=2(1-——)

1+2+…〃〃x(〃+l)nw+l

1

原式+西

=12+1)+3x(3H2007x(2007而

222

=--2---+---2---+---2---+…+2=2x也_2007

1x22x33x42007x20082008~1004

【巩固】—+--------+-----------------F,••4-------------------------------

33+53+5+73+5+7+…+21

]

【解析】先找通项：4=---L--7

〃3+5+…+(2〃+1)1n(ji+2)

—x(2〃+l+3)x〃

2

11111

原式=-----H+F+…+H-------------

1x32x43x54x69x1110x12

11111

------1--------F…++-------1---------F…H

1x33x59x112x44x6---------10x12

175

~264

1+21+2+31+2+3+41+2+3+・・・+50

[例7]----------X------------------X--------------------------X…X--------------------------------------

22+32+3+42+3+…+50

(1+〃)x〃

〃〃

【解析】找通项为=-~1—x(+1)

“(1+n)xn〃x(〃+1)—2

2

_42x33x44x55x62x33x44x55x6

原式=---X------------X-----------X----------X•••=-----------X------------X-----------X-----------X•••,

41018281x42x53x64x7

通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有

2x33x44x55x648x4949x5050x51350八23

原式=---x-------x------x------x•••x----------x----------x----------=—x——=2——

1x42x53x64x747x5048x5149x5215226

F『+22F+22+32产+2^+32+4212+22+...+262

33333333333

F-P+2+1+2+3-1+2+3+4+…―1+2+...+26

〃x(〃+l)x(2〃+l)

l2+22+...+„2A22n+l2A1、

a—___________—______________—_x__________—__x(___।_____)

nI3+23+...4-n3n2x(77+1)23+3nn+1

4

Ei2A1、ALA1,112八1、52

原式二-xr[(-H—)—(—I—)+(—I—)..........(----1-----V)l]=一x(1------)=—

3122334262732781

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【巩固】标出“+吉卜•・“+£!)

5+1)2(〃+1)2

【解析】1-------;---

5+1)2-1(〃+1)2-1〃x(〃+2)

原式-22>498x9899x99

X…X---------------x

(2+l)x(2-l)(3+l)x(3-l)(98+l)x(98-l)(994-1)x(99-1)

2x23x34x45x598x9899x99299,49

=xxxX•,•x______x________

-3x14x25x36x499x97100x981100-50

2232992

[例9]计算:—;--------X---------X

22-132-1992-1

(〃+1『(〃+1)2

【解析】通项公式：

(〃+1+1)(〃+1-1)+2)

2x23x34x498x9899x99

原式=_____________x_____________X______________Xx---------------x----------------

(24-l)x(2-l)(3+l)x(3-l)(4+l)x(4-l)(98+1)x(98-1)(99+l)x(99-1)

2x23x34x45x598x9899x99

=----------x-----------X-----------X-----------X…X----------------X------------------

3x14x25x36x499x97100x98

2233449898999929999

=­X-X-X-X-X-X•••XXXX--------=-X--------=

132435979998100110050

I2?2992

【巩固】计算：------!-------+---------------+…+.......---------=

I2-100+500022-200+5000992-9900+5000

“2

【解析】本题的通项公式为----------------,没办法进行裂项之类的处理.注意到分母

n2-100n+5000

M2-100/1+5000=5000-n(100-n)=5000-(100-«)[100-(100-«)],可以看出如果把“换成

100的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个「--------------

502-5000+5000

将项数和为100的两项相加，得

〃2+(100-")2____________.2+(100-“)2_2--200〃+10000_?

n2-100n+5000(100-M)2-100(100-«)+5000n2-100n+5000n2-100n+5000'

所以原式=2x49+1=99.(或者，可得原式中99项的平均数为1,所以原式=1x99=99)

一「11

[例1]24x----+-----+

V2x34x5

【解析】虽然很容易看出」一=1-1,—=---……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项

2x3234x545

那样能消去很多项.我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式，于是我们又有

-——；~------------=--------------------减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子

I2+22+32+---+H2〃x(〃+l)x(2〃+l)

也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？

111W1111

222

<2x34x520x21；(产+?2I+2+•••+10J

一(111

=24X-------------1----------------F•••H-----------6X|------------------1------------------------F,••H-----------------------------

(2x34x520x21；11x2x32x3x510x11x21)

=24X-------------1-------------4-•••4---------------------24X-----------------------4-----------------------F,••4--------------------------------

(2x34x520x21)(2x4x34x6x520x22x21

1111

=24x++…+

2x32x4x34x54x6x520x2120x22x21

1111=6