红对勾高一数学第一册2021版电子5

第五章三角函数5．5

三角恒等变换5.5.1

两角和与差的正弦、余弦和正切公式第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式[课标解读]能从两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．[素养目标]水平一：1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(逻辑推理).2.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构形式，并能利用公式进行简单的化简、求值(数学运算)．水平二：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题(逻辑推理、数学运算)．课时作业要点整合夯基础典例讲解破题型课堂达标练经典要点整合夯基础知识点一二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导[填一填].tan2α＝

.上面三组公式，称为倍角公式．在公式

sin(α＋β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)中，令

α＝β

，就可得到相应的二倍角的三角函数公式：sin2α＝

2sinαcosα

.cos2α＝

cos2α－sin2α

＝

2cos2α－1

＝

1－2sin2α

2tanα

1－tan2α[答一答]1．倍角公式中的“倍角”是什么意思？提示：倍角公式不仅可运用于2α

是α

的二倍的情况，还α3α

作为3α2

的二倍，α＋β

作为可运用于4α

作为2α

的二倍，α

作为2的二倍，α＋β2的二倍等情况．2．你能写出倍角公式的推导过程吗？提示：S2α：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；当β＝α

时，有sin2α＝2sinαcosα；C2α：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，当β＝α

时，有cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；2αT

：tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

，当β＝α

时，有tan2α＝1－tanαtanβ2tanα1－tan2αcos2α或tan2α＝sin2α＝

2sinαcosαcos2α－sin2α1－tan2α＝

2tanα

(cos2α≠0)．知识点二倍角公式的变形[填一填]1．倍角公式的逆用2α(1)S

：2sinαcosα＝sin2α，sinα＝sin2α，cosαsin2α2cosα

＝2sinα.(2)C2α：cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α.2α(3)T

：2tanα1－tan2α＝tan2α，2tanα＝tan2α(1－tan2α)．2．配方变形

1±sin2α＝sin2α＋cos2α±sin2α＝(sinα±cosα)2.3．因式分解变形cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)．4．升幂公式

1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.5．降幂公式cos2α＝1＋cos2α22；sin

α＝1－cos2α2；1sinαcosα＝2sin2α；tan2α＝1－cos2α1＋cos2α.6．三倍角公式(不要求记忆公式)(1)sin3α＝3sinα－4sin3α；(2)cos3α＝4cos3α－3cosα；(3)tan3α＝3tanα－tan3α1－3tan2α

.[答一答]3．二倍角公式及变形公式的作用是什么？提示：利用上述公式不仅可以促成二倍角与单角的互化，同时还可以实现式子次数的转化．14．判断正误．二倍角的正切公式的适用范围不是任意角．(√)对于任意的角

α，都有

sin2α＝2sinα

成立．(

×

)存在角α，cos2α＝2cosα

成立．(√)(4)cos3αsin3α＝2sin6α

对任意的角

α

都成立．(

√

)解析：(1)二倍角的正切公式，要求απ

π≠2＋kπ(k∈Z)且α≠±4＋kπ(k∈Z)，故此说法正确．(2)当

α＝π时，sin2α＝si

π＝

36

n3 2

，1而2sinα＝2×2＝1.(3)由cos2α＝2cosα＝2cos2α－1，得cosα＝1－

32时，cos2α＝2cosα

成立．(4)由二倍角正弦公式可得.典例讲解破题型类型一

利用倍角公式求值命题视角

1：给角求值π

5π12(3)1－tan215°tan15°＝

.[思路分析]正用、逆用倍角公式直接求值．1[例

1]

(1)cos12cos12＝

4

；—

3(2)2－cos

15°＝

4

；2

3[解析](1)原式＝cos

π

sin

π12

121

π

π

1

π

11(2)

－2cos215°)1

3＝2×2cos12sin12＝2sin6＝4.原式＝2(1＝－2cos30°＝－

4

.(3)原式＝2tan30°＝2

3.[变式训练

1]

求下列各式的值：(1)cos4π－sin4π；8

8(2)tan75°1－tan275°；(3)cosπco

2

co

4

.7

s7π

s7π2π2π

2π2π解：(1)原式＝cos

8＋sin

8cos

8－sin

8π

2＝cos4＝

2

.1

1(2)原式＝2tan150°＝－2tan30°＝－63.(3)原式＝8si

π

π

2

4

n7cos7cos7πcos7ππ8sin7＝4si

2

2

4πn7πcos7πcos

7π8sin7＝2si

4πco

4πn7

s7π8sin78sin7π8sin7π－sin78sin71＝

π＝

π

＝－8.命题视角2：给值求值π

4

5π

7π

3π[

例

2]

若

cos

4－x

＝－

5

，

4

<x<

4

，且

x≠

2

.

求sin2x－2sin2x1＋tanx的值．[思路分析]4π化简所求式，使其出现角(

－x)，整体代入求解．[解]＝sin2x－2sin2x

2sinx(cosx－sinx)cosx1＋tanx

cosx＋sinx＝sin2x(cosx－sinx)

1－tanxcosx＋sinx

1＝sin2x·

＋tanxπ

π

π

＝sin2xtan4－x＝cos2－2xtan4－x

2π－

π

＝2cos

4

x－1tan4－x，5π

7π

3π

π∵

4

<x<

4

，∴－

2

<4－x<－π.

π－

ππ

4

3

3又∵cos4

x＝－5，∴sin4－x＝5，tan4－x＝－4.

316

21∴原式＝2×25－1×－4＝－100.

π－

5

π[变式训练

2]

已知

sin4

x＝13，0<x<4，求cos2xπ4

cos

＋x的值．解：原式＝

πsin2＋2x

πcos4＋x

＝

π

π

2sin4＋xcos4＋x

π

cos4＋xπ

4

＝2sin

＋x.π－

π

5

π

π

π

π∵sin4

x＝cos4＋x＝13，且0<x<4，∴4＋x∈4，2，π＋

∴sin4

x＝2π121－cos

4＋x＝13，∴原式＝212

24×13＝13.类型二 二倍角公式的化简、证明问题[例3](1)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.(2)证明：1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tanθ.[思路分析]

(1)涉及的角有

α，β，2α，2β，若将

α转化为

2α，则选择降幂公式，若将

2α

转化为

α，则选择升幂公式．(2)由于所证等式的左边为2θ，右边为θ，且等式右边结构简单，故可从左边开始，将倍角化为单角．[

解](1)方法一：原式＝

1－cos2α

·

1－cos2β

＋2

2·1＋cos2α

1＋cos2β2

2－1cos2α·cos2β＝1(1＋cos2α·cos2β－cos2α－2

4cos2β)＋121

1

14(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－

cos2α·cos2β＝4＋41＝2.2方法二：原式＝

sin2α·sin2β

＋cos2α·cos2β

－1

(2cos2α

－11)·(2cos2β－1)＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－21＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－2＝sin2β＋cos2β

1

1

1

1－2＝

－2＝2.方法三：原式＝(sinα·sinβ－cosα·cosβ)2＋2sinα·sinβ·cosα·cosβ—

1

cos2α·cos2β

＝

cos2(α

＋

β)

＋

1

sin2α·sin2β

－

1

cos2α·cos2β

＝2

2

2cos2(α＋β)－112cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－22[2cos

(α1＋β)－1]＝2.(2)证明：证法一：左边＝sin2θ＋(1－cos2θ)sin2θ＋(1＋cos2θ)2＝2sinθcosθ＋2cos

θ＝2sinθcosθ＋2sin2θ

2sinθ(sinθ＋cosθ)2cosθ(cosθ＋sinθ)＝tanθ＝右边．所以原式成立．证法二：左边＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＋sin2θ－cos2θsin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ－sin2θ＝2＝2sin2θ＋2sinθcosθ

2sinθ(sinθ＋cosθ)2cos

θ＋2sinθcosθ

2cosθ(cosθ＋sinθ)＝tanθ＝右边．所以原式成立．证法三：左边＝(1＋sin2θ)－cos2θ(1＋sin2θ)＋cos2θ(sinθ＋cosθ)2－(cos2θ－sin2θ)＝(sinθ＋cosθ)2＋(cos2θ－sin2θ)(sinθ＋cosθ)2－(cosθ－sinθ)(sinθ＋cosθ)＝(sinθ＋cosθ)2＋(cosθ－sinθ)(sinθ＋cosθ)(sinθ＋cosθ)(sinθ＋cosθ－cosθ＋sinθ)＝(sinθ＋cosθ)(sinθ＋cosθ＋cosθ－sinθ)＝2sinθ＝tanθ＝右边．2cosθ所以原式成立．2．对于无条件的恒等式证明，常采用的方法有化繁为简和左右归一，关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找突破口；有条件的等式证明，常先观察条件及式中左右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用．另外，需注意二倍角公式本身是“升幂公式”，其变形是“降幂公式”，在证明中应灵活选择．[变式训练3](1)化简：cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋90°)·cos(90°－θ)；(2)求证：(sinθ＋cosθ－1)(sinθ－cosθ＋1)θ＝tan2.解：(1)原式＝sin2θ1＋cos(2θ＋30°)2＋1－cos(2θ－30°)2＋cosθsinθ2＝

1

＋

1

(cos2θcos30°

－

sin2θsin30°

－

cos2θ·cos30°

－sin2θsin30°)＋112sin2θ＝1－sin2θsin30°＋2sin2θ＝1.(2)证明：左边＝[sinθ＋(cosθ－1)][sinθ－(cosθ－1)]sin2θ＝sin2θ－(cosθ－1)2sin2θ＝sin2θ－cos2θ＋2cosθ－1sin2θ＝＝－2cos2θ＋2cosθ

1－cosθ2sinθcosθ

sinθ2sin2θθ

θ2sin2cos2

2

＝

＝θtan2＝右边．故原式得证．类型三

倍角公式与三角函数性质的综合应用3sinωxsin(ωx＋2π)(ω>0)的[例

4]

已知函数

f(x)＝sin2ωx＋最小正周期为π.(1)求ω

的值；2π(2)求函数f(x)在区间0，3

上的取值范围．[思路分析]

(1)已知函数解析式是含有二次的三角函数式，可利用二倍角公式降幂，化为

y＝Asin(ωx＋φ)＋b

的形式．由给2π出的函数的最小正周期为π，可利用T＝

ω

确定出ω

的值．

2π(2)由区间0，3

求f(x)的取值范围，一定要先确定ωx＋φ的范围，再求f(x)的取值范围．[解](1)f(x)＝1－cos2ωx23＋

2

sin2ωx＝

3

112

sin2ωx－2cos2ωx＋2

π1＝sin2ωx－6＋2.因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，2ω所以2π＝π.解得ω＝1.

π1(2)由(1)得f(x)＝sin2x－6＋2.2π因为0≤x≤3

，π

π

7π所以－6≤2x－6≤6

，1

π所以－2≤sin2x－6≤1.

π1

3所以0≤sin2x－6＋2≤2，2π

3即f(x)在区间0，3

上的取值范围为0，2.

π

[变式训练

4]

已知函数

f(x)＝sin2－xsinx－23cos

x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

π2π(2)讨论f(x)在6，3

上的单调性．

π

解：(1)f(x)＝sin2－xsinx－2

33cos

x＝cosxsinx－

2

(1＋cos2xπ1

3

3

3＝2sin2x－2

cos2x－2

＝sin2x－3－2

，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－

32.

π2π

π(2)当x∈6，3

时，0≤2x－3≤π，从而π

π

π

5π当0≤2x－3≤2，即6≤x≤12时，f(x)单调递增；π

π

5π

2π当2≤2x－3≤π，即12≤x≤3

时，f(x)单调递减．

π5π

5π

2π综上可知，f(x)在6，12上单调递增；在12，3

上单调递减.课堂达标练经典1.sin20°cos20°cos2155°－sin2155°的值是(A．121B．—2C．32D．—321

1

12sin40°

2sin40°

2sin40°1解析：原式＝cos310°＝

cos50°＝

sin40°＝2.A

)π－

3

π2．已知

sin4

x＝5，则

cos2－2x的值为()BA．19

1625

．25C．2514

7D．25π－

3

π解析：因为

sin4

x＝5，所以

cos2－2x

4＝cos2

－x

＝1－2sin2π

π

4725－x

＝

.D3πA．4，

4

π

πB．2，πππC．－4，4

πD．0，2

解析：∵y＝2cos2x＝1＋cos2x，∴函数在π，π上单调递增．故选B．2

3．函数

y＝2cos2x

的一个