高三复习学案：对数与对数函数

PAGEPAGE4对数与对数函数一．基础知识1．对数(1)对数的概念如果,那么b叫做以a为底N的对数,记(2)对数的性质：①零与负数没有对数②③(3)对数的运算性质其中a>0,a≠0,M>0,N>0(4)对数换底公式：2．对数函数一般形式：y=x(a>0且a≠1)定义域：(0,+∞) 值域：(0,+∞) 过定点：（1，0）图象：单调性：a>1,在(-∞,+∞)上为增函数０＜a<1,在(-∞,+∞)上为减函数值分布：当y>0当y<0y<0y>03.记住常见对数函数的图形及相互关系二、题型剖析1．对数式的化简和运算题组①指数式与对数式的互化⑴将下列指数式改写成对数式；； ； ； ⑵将下列对数式改写成指数式；； ； 题组②计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。题组③计算：①②2．换底公式及应用例2（1）已知（2）若思维分析：用换底公式化成相关数质数为对数的底数与真数，再进行代换。3．指对数互化例3．已知x,y,z为正数，满足①求证：②比较3x、4y、6z的大小思维分析：掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。4．对数函数的图象0yx例4.图中的曲线是对数函数的图象，已知的取值为、、、四个值，则相应于曲线、、、的的值依次为【】0yxA．、、、B．、、、C．、、、D．、、、训练：⑴若，则函数的图象不经过【】A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限高一数学对数与对数函数复习题选择题1．若3a=2,则log38-2log36用a（A）a-2（B）3a-(1+a)2（C）5a-2（D）3a-a22.2loga(M-2N)=logaM+logaN,则的值为（）（A）（B）4（C）1（D）4或13．已知x2+y2=1,x>0,y>0,且loga(1+x)=m,loga等于（）（A）m+n（B）m-n（C）(m+n)（D）(m-n)4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（）（A）lg5·lg7（B）lg35（C）35（D）5.已知log7[log3(log2x)]=0，那么x等于（）（A）（B）（C）（D）6．函数y=lg（）的图像关于（）（A）x轴对称（B）y轴对称（C）原点对称（D）直线y=x对称7．函数y=log(2x-1)的定义域是（）（A）（，1）（1，+）（B）（，1）（1，+）（C）（，+）（D）（，+）8．函数y=log(x2-6x+17)的值域是（）（A）R（B）[8，+]（C）（-，-3）（D）[3，+]9．函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为（）（A）（1，+）（B）（-，］（C）（，+）（D）（-，］10．函数y=()+1+2,(x<0)的反函数为（）（A）y=-（B）（C）y=-（D）y=-11.若logm9<logn9<0,那么m,n满足的条件是（）（A）m>n>1（B）n>m>1（C）0<n<m<1（D）0<m<n<112.loga，则a的取值范围是（）（A）（0，）（1，+）（B）（，+）（C）（）（D）（0，）（，+）13．若1<x<b,a=log２bx,c=logax,则a,b,c的关系是（）（A）a<b<c（B）a<c<b（C）c<b<a（D）c<a<b14.下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（）（A）y=log(x+1)（B）y=log2（C）y=log2（D）y=log(x2-4x+5)15.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（）（A）y=（B）y=lg（C）y=-x3（D）y=16.已知函数y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（）（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）[2，+)17．已知g(x)=loga(a>0且a1)在（-1，0）上有g(x)>0，则f(x)=a是（）（A）在（-，0）上的增函数（B）在（-，0）上的减函数（C）在（-，-1）上的增函数（D）在（-，-1）上的减函数18．若0<a<1,b>1,则M=ab，N=logba,p=ba的大小是（）（A）M<N<P（B）N<M<P（C）P<M<N（D）P<N<M19．“等式log3x2=2成立”是“等式log3x=1成立”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件20．已知函数f(x)=,0<a<b,且f(a)>f(b)，则（）（A）ab>1（B）ab<1（C）ab=1（D）(a-1)(b-1)>0二、填空题1．若loga2=m,loga3=n,a2m+n=。2．函数y=log(x-1)(3-x)的定义域是。3．lg25+lg2lg50+(lg2)2=。4.函数f(x)=lg()是（奇、偶）函数。5．已知函数f(x)=log0.5(-x2+4x+5),则f(3)与f（4）的大小关系为。6．函数y=log(x2-5x+17)的值域为。7．函数y=lg(ax+1)的定义域为（-，1），则a=。8.若函数y=lg[x2+(k+2)x+]的定义域为R，则k的取值范围是。9．函数f(x)=的反函数是。10．已知函数f(x)=()x,又定义在（-1，1）上的奇函数g(x)，当x>0时有g(x)=f-1（x）,则当x<0时，g(x)=。三、解答题若f(x)=1+logx3,g(x)=2log，试比较f(x)与g(x)的大小。已知函数f(x)=。（1）判断f(x)的单调性；（2）求f-1(x)。已知x满足不等式2(log2x）2-7log2x+30,求函数f(x)=log2的最大值和最小值。已知函数f(x2-3)=lg,(1)f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求f(x)的反函数;(4)若f[]=lgx,求的值。设0<x<1,a>0且a1，比较与的大小。已知函数f(x)=log3的定义域为R，值域为[0，2]，求m,n的值。已知x>0,y0,且x+2y=,求g=log(8xy+4y2+1)的最小值。8．求函数的定义域．9．已知函数在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．10．已知，求使f(x)>1的x的值的集合．

对数与对数函数参考答案一、选择题题号12345678910答案ABDDCCACAD题号11121314151617181920答案CADDCBCBBB二、填空题1．122.{x且x}由解得1<x<3且x。3．24．奇为奇函数。5．f(3)<f(4)设y=log0.5u,u=-x2+4x+5,由-x2+4x+5>0解得-1<x<5。又u=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,∴当x(-1,2)时，y=log0.5(-x2+4x+5)单调递减；当x[2,5]时，y=log0.5(-x2+4x+5)单调递减，∴f(3)<f(4)6.(-)∵x2-6x+17=(x-3)2+8,又y=log单调递减，∴y7.-18.- y=lg[x2+(k+2)x+]的定义域为R，∴x2+(k+2)x+>0恒成立，则（k+2）2-5<0,即k2+4k-1<0,由此解得--2<k<-29.y=lgy=,则10x=反函数为y=lg 10.-log(-x)已知f(x)=()x,则f-1(x)=logx,∴当x>0时，g(x)=logx,当x<0时，-x>0,∴g(-x)=log(-x),又∵g(x)是奇函数，∴g(x)=-log(-x)(x<0)三、解答题f(x)-g(x)=logx3x-logx4=logx.当0<x<1时，f(x)>g(x);当x=时，f(x)=g(x);当1<x<时，f(x)<g(x);当x>时，f(x)>g(x)。（1）f(x)=，,且x1<x2,f(x1)-f(x2)=<0,(∵102x1<102x2)∴f(x)为增函数。（2）由y=得102x=∵102x>0,∴-1<y<1,又x=)。由2（log2x）2-7log2x+30解得log2x3。∵f(x)=log2(log2x-2)=(log2x-)2-,∴当log2x=时，f(x)取得最小值-；当log2x=3时，f(x)取得最大值2。4．（1）∵f(x2-3)=lg,∴f(x)=lg,又由得x2-3>3,∴f(x)的定义域为（3，+）。（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数。（3）由y=lg得x=,x>3,解得y>0,∴f-1(x)=(4)∵f[]=lg,∴，解得(3)=6。5．∵-。6．由y=log3，得3y=，即（3y-m）x2-8x+3y-n=0.∵x-4(3y-m)(3y-n)0，即32y-(m+n)·3y+mn-16。由0，得，由根与系数的关系得，解得m=n=5。7．由已知x=-2y>0,,由g=log(8xy+4y2+1)=log(-12y2+4y+1)=log[-12(y-)2+],当y=,g的最小值为log8．解：∴∴函数的定义域是．9．解：∵a是对数的底数∴a>0且a≠1∴函数u＝2－ax是减函数∵函数是减函数∴a>1(是增函数)∵函数的定义域是∴定义域是∵函数在区间[0，1]上有意义是减函数∴∴∴1<a<2．10．解：f(x)>1即当a>1时∴解为x>2a－1当0<a<1时∵a－1<2a－1∴解为a－1<x<2a－1∴当a>1时，{x|x>2a－1}当0<a<1时，{x|a－1<x<2a－1}均能使f(x)>1成立．

解析版：【例1】已知是奇函数（其中，（1）求的值；（2）讨论的单调性；（3）求的反函数；（4）当定义域区间为时，的值域为，求的值.[解析]（1）对定义域内的任意恒成立，，当不是奇函数，，（2）定义域为，求导得，①当时，在上都是减函数；②当时，上都是增函数；（另解）设，任取，，，结论同上；（3），（4）上为减函数，命题等价于，即，解得.[评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验.

【例2】对于函数，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；（3）若函数在内有意义，求实数a的取值范围；（4）若函数的定义域为，求实数a的值；（5）若函数的值域为，求实数a的值；（6）若函数在内为增函数，求实数a的取值范围.[解答]记，（1）恒成立，， 的取值范围是；（2）这是一个较难理解的问题。从“的值域为R”，这点思考，“的值域为R”等价于“能取遍的一切值”，或理解为“的值域包含了区间”的值域为∴命题等价于，∴a的取值范围是；（3）应注意“在内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于“恒成立”，应按的对称轴分类，，的取值范围是；（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式的解集为，是方程的两根，即a的值为2；（5）由对数函数性质易知：的值域为，由此学生很容易得，但这是不正确的.因为“”与“的值域为”并不等价，后者要求能取遍的一切值（而且不能多取）.∵的值域是，∴命题等价于；即a的值为±1；（6）命题等价于：，即，得a的取值范围是.[评析]学习函数知识及解决函数问题，首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概念，许多函数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解答，并要在学习中不断积累经验.【例3】解答下述问题：（Ⅰ）设集合，若当时，函数的最大值为2，求实数a的值.[解析]而，令，，其对称轴，①当，即，适合；②当，适合；综上，.（Ⅱ）若函数在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a的值.[解析