数学分析2试题及答案文档

数学分析(2)试题及答案

（十六）数学分析2考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）a,b1、函数f(x)在[]上可积的必要条件是（）A连续B有界C无间断点D有原函数a,a2、函数f(x)是奇函数，且在[-]上可积，则（）AaBaf(x)dx2af(x)dxf(x)dx0a0aCaDaf(x)dx2af(x)dxf(x)dx2f(a)a0a3、下列广义积分中，收敛的积分是（）ABCDsinxdx101111dxx3dxdxxx1014、级数收敛是部分和有界且的aalima0nnnnn1n1（）A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件

5、下列说法正确的是（）A和收敛，也收敛B和abnnababnnnn发散n1n1发散n1收敛和n1发散n1，ab，C(ab)nnnnn1散D发收敛n1发散n1和，发ab(ab)abnnnnnnn1n1n1n1散abaxax6、在[，]收敛于（），且（）可a(x)nnn1导，则（）a（x）可导ABa'(x)a'(x)nn1axCD一致收敛，则（）a(x)dxba(x)dxba(x)nnaan1n1必连续7、下列命题正确的是（）A在[，]绝对收敛必一致收敛aba(x)nn1ab在[，]一致收敛必绝对收敛BCa(x)nn1ab若，则在[，]必绝对收敛lim|a(x)|0a(x)nnnD在[，]条n1ab件收敛必收敛Dcosxa(x)n8、n1的和函数为x2n112n1(1)nn0AeBCsinxln(1x)x9、函数zln(xy)A的定义域是（）B(x,y)|x0,y0(x,y)|yx

5、解：0||x（5分）lim0（1分）x2yx2y2x2yx2y2x0y0xx由于=-2，=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）x44x2y2y2x2y20（2分）三、1、解、yf(x,y)(x2y2)2x0x2y20x44x2y2y2x2y20(4分）xf(x,y)(x2y2)2y0x2y202z(0,0)limf(0,y)f(0,0)1xxyxyy02z(0,0)limf(x,0)f(0,0)1（6分）yyxyxx02、解：由于（3分），即limn|(1)n12nsin2nx|2sinx2nn级数绝对收敛条件收敛，级2sin2x12sin2x12sin2x1数发散（7分）所以原级数发散（2分）四、证明题（每小题10分，共20分）a，ba，1、证明：因为在[]上可积，故在[f(x)1b]上有界，即M0，使得，（3f(x)M(x[a,b])1分）从而一般来说，若f(x)x|f(t)|dtM(xa)21a对有（5分）则M(xa)n1(n1)!nf(x)na，b，所以在[]上一f(x)M(ba)(n1)!n1(n){f(x)}nn致收敛于0（2分）

aTf(x)dxxTtaf(tT)d(tT)af(t)dt（2）（4分）T00将式（2）代入（1）得证（2分）2、1，zx，（7分）则y2xzexyxyeyyx0（3分）zz1yxyxyxyxeyexyy23、证明：令xttf(sint)dt得证xf(sinx)dx0(t)f(sin(t))dtf(sint)dt000（7分）（3分）2xsinxsinx01cos2xdx201cos2xdx8（十七）数学分析2考试题二、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）a,b1、函数f(x)在[]上可积的充要条件是（）A>0,>0和>0使得对任一分法，当x（）<时，对应于的那些区间长度iix之和∑<iB>0,>0,>0使得对某一分法，当（）

x<时，对应于的那些区间长度之和iix∑<iC>0,>0使得对任一分法，当（）<x时，对应于的那些区间长度之和iix∑<iD>0,>0，>0使得对任一分法，当x（）<时，对应于的那些区间长度iix之和∑<i2、函数f(x)连续，则在[]上df(t)dt=（a,b）2xdx1DABCf(2x)2f(2x)2f(x)2f(2x)f(x)4、1dx（）11x2A-2B2C0D发散4、，则()lima0nannn1A必收敛B必发散C必条件收敛D敛散性不定5、若级数是更序级数，则（）abnnn1敛散n1A和同B可以babnnnn1n1n1发散到+∞C若绝对收敛，也收敛D若条anabnnn1n1n1

件收敛，也条件收敛bnn1abax6、在[，]一致收敛，且()可导a(x)nnn1n（=1,2⋯），那么()fxabA（）在[，]可导，且f'(x)a'n(x)fxabn1B（）在[，]可导，但不一定等于f(x)a'n(x)'n1C点点收敛，但不一定一致收敛a(x)'nn1D不一定点点收敛a'n(x)7、n1函数项级数在上一致收敛的充要D条a(x)nn1件是（）mn>A>0,N（）>0，使>N有a(x)a(x)n1mmn>B>0,N>0，使>N有a(x)a(x)n1mmn>C>0,N（）>0，使>N有a(x)a(x)n1mmn>D>0,N（）>0，使>N有a(x)a(x)n1m8、的收敛域为（）1n(x1)nn1A(-1,1)B(0,2]C[0,2）D[-1,1）9、重极限存在是累次极限存在的（）A充分条件B必要条件C充分必要条

件D无关条件10、f(x,y)|（）x(x0,y0)Alimf(xx,yy)f(x,y)0000xx0Blimf(xx,y)f(x,y)0000xx0Climf(xx,yy)f(xx,y)Dlimf(xx,y)00x0000xx0x0三、计算题：（每小题6分，共30分）1、1sinxcosx1dx1x22、计算由曲线yx1,y0,xy2和xe围成的面1积23、求e的幂级数展开x25、已知zf(xy,xy),f(u,v)可微，求2zxy6、求在（0，0）的累次极限f(x,y)xxyy三、判断题（每小题10分，共20分）1、讨论的敛散性lncosnn3xn2、判断的绝对和条件收敛性1x2n四、证明题（每小题10分，共30分）n1fxa，a1、设()是[-]上的奇函数，证明af(x)dx0a2、证明级数y4n满足方程y(4)yx(4n)!n0SSc3、证明为闭集的充分必要条件是是开集。

参考答案一、1、D2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B二、1、解：1sinxcosx1dx=1sinxcosx1dx（2分）dx11x211x1x2211由于sinxcosx为奇函数=0（2分）1sinxcosxdx1x21x21=（2分）所以积分值为（1分）1111x2dxarctanx|12212、解：两曲线的交点为（1，2）（2分）所求的面积为：1/222+（4分）2xe2dx613、解：由于（3分），ex1xx2xnn!（3分）2!ex21x2x4(1)nx2!n!2n4、解：==（3分）ffx12（3分）zzyffyx122zxyff(xy)fxyf22112125、解：lim1，（3分）limlimxx1xylimyxyxyxyyx0y0y0y0x0y0（3分）三、1、解：由于lncos~2（6分），又收敛（21n2n2n2n1分）所以原级数收敛（2分）2、解：当|x|1时，有，所以级数绝对xnx2x1|x|n

收敛（4分），当|x|1时，1，原级数发散（2分）xnx2x121当|x|1时，有()nx，由上讨论知级数绝xn11x2nn11()n12nx对收敛（4分）四、证明题（每小题10分，共30分）1、证