《变量与函数》复习巩固基础提高知识点讲解及练习题解析

PAGE变量与函数--巩固练习【巩固练习】一.选择题1．（2015春•唐山期末）下列各图能表示y是x的函数是（） A． B． C． D． 2.下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式S中，有关常量和变量的说法正确的是（）A．S，是变量，是常量B．S，，R是变量，2是常量C．S，R是变量，是常量D．S，R是变量，和2是常量3.在函数中，自变量的取值范围是（）A．B．C．D．4．矩形的周长为18，则它的面积S（）与它的一边长（）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．5．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校.下图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（）A．修车时间为15分钟B．学校离家的距离为2000米C．到达学校时共用时间20分钟D．自行车发生故障时离家距离为1000米6．如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间（小时）与山高（千米）间的函数关系用图象表示是（）二.填空题7.若球体体积为，半径为，则．其中变量是_______、_______，常量是________．8．如图中，每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有（≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为S，按图的排列规律推断S与之间的关系可以用式子___________来表示．9.油箱中有油30，油从管道中匀速流出，1小时流完，求油箱中剩余油量Q（）与流出时间（分钟）间的函数关系式为__________________，自变量的范围是_____________．当Q＝10时，＝__________（分钟）．10．（2015春•瑞昌市期中）图象中所反映的过程是：小强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示小强离家的距离．图象提供的信息，有以下四个说法：①体育场离小强家2.5千米②在体育场锻炼了15分钟③体育场离早餐店4千米④小强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时．其中正确的说法为（只需填正确的序号．）．11.如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用（元）与托运行李的质量（千克）的关系，由图中可知行李的质量只要不超过_________千克，就可以免费托运．12．已知等腰三角形的周长为60，底边长为，腰长为，则与之间的关系式及自变量的取值范围为_______.三.解答题13.一个函数的解析式，其中是的函数，为任意实数.（1）若点A（－3，4）在这个函数的图像上，求实数；（2）在（1）的条件上，判断点B（－4，7）是否在它的图像上.14.（2015春•乐平市期中）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．所挂物体质量x/kg012345弹簧长度y/cm182022242628（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧多长？不挂重物时呢？（3）若所挂重物为7千克时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？15.如图所示，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、DC边上一动点，E、F同时从点C均以1的速度分别向点B、点D运动，当点E与点B重合时，运动停止．设运动时间为()，运动过程中△AEF的面积为，请写出用表示的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】解：A、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故A选项错误；B、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故B选项错误；C、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故C选项错误；D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以y是x的函数，故D选项正确．故选：D．2.【答案】C；【解析】是圆周率，是一个常量.3.【答案】C；【解析】要使函数有意义，需3－1≠0.4.【答案】A；【解析】矩形的另一边长为，所以.5.【答案】A；【解析】10分钟到15分钟的时间，距离没有变化，所以修车时间是5分钟.6.【答案】D；二.填空题7.【答案】R、V；；8.【答案】；9.【答案】；；40．【解析】油从油箱里流出的速度为30÷60=0.5，所以函数关系式为10.【答案】①②④.【解析】解：由函数图象可知，体育场离张强家2.5千米，故①正确；由图象可得出张强在体育场锻炼30﹣15=15（分钟），故②正确；体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店2.5﹣1.5=1（千米），故③错误；∵张强从早餐店回家所用时间为95﹣65=30（分钟），距离为1.5km，∴张强从早餐店回家的平均速度1.5÷0.5=3（千米/时），故④正确．故答案为：①②④.11.【答案】20；【解析】由图象可知，在0＜＜20的范围内，＝0.12.【答案】；【解析】2＋＝60，，由于2＞且＞0，所以.二.解答题13.【解析】解：（1）由题意得，解得， (2)当＝－4时，＝6所以B（－4，7）不在此函数的图像上.14.【解析】解：（1）上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；（2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧长24厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米；（3）根据上表可知所挂重物为7千克时（在允许范围内）时的弹簧长度=18+2×7=32厘米．15.【解析】解：．

变量与函数【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值；对函数关系的表示法（如列表法、关系式法、图象法）有初步认识；3.理解函数图象上的点的坐标与其关系式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义；初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数值对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.要点四、自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.要点五、函数的几种表达方式

表示函数的方法一般有以下三种：（1）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.（2）关系式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.关系式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出关系式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.要点六、函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.【典型例题】类型一、变量与函数 1、下列等式中，是的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C；【解析】要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于当取2，有两个值±和它对应，对于，当取2，有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：都有唯一确定的值与对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选C.【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.抓住函数定义中的关键词语“都有唯一确定的值”，与之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.举一反三：【变式】下列函数中与表示同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】D；提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.2、如图所示，下列各曲线中表示是的函数的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C；【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．类型二、函数关系式 3、求出下列函数中自变量的取值范围（1） （2） （3）（4） （5） （6）【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等.【答案与解析】解：（1） ，为任何实数，函数都有意义；（2），要使函数有意义，需2－3≠0，即≠；（3），要使函数有意义，需2＋3≥0，即；（4），要使函数有意义，需2－1＞0，即；（5），为任何实数，函数都有意义；（6），要使函数有意义，需，即≥－3且≠－2.【总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义. 4、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝10，设P为BC上任一点，点P不与点B、C重合，且CP＝．若表示△APB的面积．(1)求与之间的函数关系式；(2)求自变量的取值范围．【答案与解析】解：(1)因为AC＝6，∠C＝90°，BC＝10，所以．又，所以，即．(2)因为点P不与点B、C重合，BC＝10，所以0＜＜10．【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点P是一动点这个规律，结合图形观察到点P移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．举一反三：【变式】小明在劳动技术课中要制作一个周长为80的等腰三角形．请你写出底边长()与腰长()的函数关系式，并求自变量的取值范围．【答案】解：由题意得，＝80,所以，由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，所以，解得所以.类型三、函数值5、若与的关系式为，当＝时，的值为（）A．5B．10C．4D．－4【思路点拨】把代入关系式可求得函数值.【答案】C；【解析】.【总结升华】是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.举一反三：【变式】（2015春•抚州期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：汽车行驶时间t（h）0123…油箱剩余油量Q（L）100948882…（1）根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；（2）汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少？（3）该品牌汽车的油箱加满50L，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远？【答案】解：（1）Q=50﹣8t；（2）当t=5时，Q=50﹣8×5=10，答：汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是10L；（3）当Q=0时，0=50﹣8t8t=50，解得：t=，100×=625km．答：该车最多能行驶625km.类型四、函数的图象6、（2015春•东平县校级期末）陈杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学所用的路程与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）陈杰家到学校的距离是多少米？书店到学校的距离是多少米？（2）陈杰在书店停留了多少分钟？本次上学途中，陈杰一共行驶了多少米？（3）在整个上学的途中哪个时间段陈杰骑车速度最快？最快的速度是多少米？（4）如果陈杰不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟？本次上学比往常多用多少分钟？【思路点