幂的运算八大题型（人教版）（解析版）

专题14.1寨的运算【八大题型】

【人教版】

【题型1基的基本运算】.......................................................................1

【题型2幕的运算法则逆用（比较大小）】......................................................2

【题型3幕的运算法则逆用（求代数式的值）】..................................................4

【题型4幕的运算法则逆用（整体代入）】......................................................5

【题型5塞的运算法则逆用（求参）】...........................................................6

【题型6基的运算法则逆用（代数式的表示）】..................................................8

【题型7塞的运算法则（混合运算）】..........................................................10

【题型8基的运算法则（新定义问题）】........................................................13

二

【知识点1幕的运算】

①同底数塞的乘法：am・a』am+n。同底数塞相乘，底数不变，指数相加。

②塞的乘方：（am）n=am%幕的乘方，底数不变，指数相乘。

③积的乘方：（ab）n=anb%积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘。

④同底数塞的除法：am+a『am-n。同底数幕相除，底数不变，指数相减。

任何不等于0的数的0次第都等于1。

【题型1哥的基本运算】

【例1】（2022•谷城县二模）下列各选项中计算正确的是（）

A.nrn-n=n2B.2（-ab2）'=-2a3b6

C.淄=川D.浆=x3y

【分析】根据实数的运算法则计算各个选项得出结论即可.

【解答】解：A.m2n-n=n（w2-1）,故A选项不符合题意；

B.2（-/）3=_2a3阴,故3选项符合题意；

C.（-w）故C选项不符合题意；

D善=/y,故。选项不符合题意；

故选：B.

【变式1-1］（2022秋•南陵县期末）（卷）2。。5、（2|）2。。4=（）

A.1B.卷C.2|D.舄严3

【分析】根据/•.,=（孙）"，进行运算即可.

【解答】解：原式=*x当）2004x^

5

12

故选：B.

【变式1-2］（2022秋•孝南区月考）计算/〃+3"+一（V）2.（-f）2的结果是（）

A-j^7m+n+\Bx^nt+n+*C厂〃+lQ丁〃?+〃+1

【分析】利用同底数事的乘法运算、幕的乘方以及同底数事的除法的知识求解即可求得答案.

【解答】解：/"+3"+一（?）2.-严）2—15，〃+3〃+1二/〃•/，〃二丁〃计3〃+1-2”+2，“一17"?+”+1

故选：B.

【变式1-3］（2022秋•温江区校级期末）下列等式中正确的个数是（）

①。5+。5=小；②（-a）6.（_②3.q=aio；③--a）5=清；@25+25=26.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】①和④利用合并同类项来做；②③都是利用同底数基的乘法运算法则做（注意一个负数的偶次

幕是正数，负数的奇次幕是负数）.

【解答】解：①•••/+,户=2〃，故①的答案不正确；

②•••（-a）6・（-a）3.〃=-小故②的答案不正确；

③•••-/.（-a）5="\故③的答案不正确；

④25+25=2X25=26.故④的答案正确；

所以正确的个数是1,

故选：B.

【题型2幕的运算法则逆用（比较大小）】

【例2】（2022春•宣城期末）已知。=8产，。=273c=961,则“、b、c的大小关系是（）

A.a>h>cB.h>a>cC,h>c>aD.a>c>h

【分析】将人匕、c转化为同底数形式，即可比较大小.

【解答】解：*=8131=（34）3,=3124；

。=27第=（33）4,=3123；

c=961=(32)61=3122：

A3124>3123>3122>

即a>b>c.

故选：A.

【变式2-1](2022春•晋州市期中)阅读：已知正整数mh,c,若对于同底数，不同指数的两个事/和

a，(a¥l),当匕>c时，则有M>“,；若对于同指数，不同底数的两个幕Q和沙，当a>c时，则有射

>心，根据上述材料，回答下列问题.

(1)比较大小：520>420,961<274'；(填或“=")

(2)比较233与3z2的大小;

(3)比较3以51°与3町5%的大小.[注(2),(3)写出比较的具体过程]

【分析】(I)根据“同指数，不同底数的两个暴力和当时.，则有力>/,”即可比较52。，42。

的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个暴T和/,当匕〉。时，则有即可比较

96',27型的大小；

(2)据“对于同底数，不同指数的两个暴/和/(a#l),当b>c时，则有/>/”，即可比较233

与322的大小；

(3)利用作商法，即可比较3i2X5i°与3"»5口的大小.

【解答】解：(1)V5>4,

A52O>42O,

V96l=⑶)61=3122,274I=(33)*=3123,122Vl23,

.,.961<2741,

故答案为：>,<;

(2))V233=(23)u=8",322=(32)H=9",8<9,

A233<322.

(3)3=2,

3畋512S225

.•.3I2X51O<3'°X512.

【变式2-2](2022秋•滨城区月考)已知”=3231,b=l64',c=821,则“，h,c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.a<b<cD.b>a>c

【分析】把a,b,c•化成以2为底数的基的形式，再进行大小比较即可.

【解答】解：：a=323i=(25)3|=2155,h=i64'=(24)4,=2164,c=82l=(23)21=263,

故选：D.

【变式2-3](2022春•泰兴市校级月考)若4=2555,6=3*4,C=4333,4=5222,试比较a、b>以d的大

小.(写出过程)

【分析】首先原式变形为〃=32M，fe=81'",c=64l",J=25"1,根据指数相同，由底数的大小就可以

确定数的大小.

【解答】解：：a=2555,Q3444,c=4333,d=5222,

：.a=(25)h=(34)c=(43)d=(52)"S

.,.a=32"',b=8「”，。=64川，J=25,".

V8I>64>32>25,

.■.81lll>64lll>32lll>25111,

>\b>c>a>d.

【题型3塞的运算法则逆用(求代数式的值)]

【例3】(2022春•巨野县期中)已知：52n=a,9n=b,则64"=谬序.

【分析】将15写成3X5,根据积的乘方得到15初=(3X5)4n=34"X54fl,再根据塞的乘方变形即可得

出答案.

【解答】解：；9"=b,

:.(32)"=b,

：.3^=b,

：.154W

=(3X5)4"

=34,,X54n

=(3S2X(52n)2

=b1ai

=crb2.

故答案为：

【变式3-1](2022秋•西青区期末)若2，=a,16>=b,则22A+-的值为a2b.

【分析】根据同底数幕相乘，累的乘方的逆运算可进行求解.

【解答】解：•.•22"4，=22r

=⑵)2・(24)>.

-(2V)2・16V,

将2，=a,16'=b代入，

，原式=4%,

故答案为：a2b.

【变式3-2](2022春•萧山区期中)若片=5,^'=~,则/"「"=()

4

525

A.-B.40C.—D.100

24

【分析】直接利用同底数幕的除法运算法则以及哥的乘方运算法则计算得出答案.

【解答】解：・・Y=5,?=；,

4

.W"=(f)24-y1

=25+工

4

=100.

故选：D.

【变式3-3](2022春•高新区校级月考)已知32"=小27"=瓦求：

(1)34ffl的值;

(2)33"的值;

(3)3廿6"的值.

【分析】(1)3布"=(32m)2,然后代入计算即可；

(2)27"变形为底数为3的事的形式即可；

(3)逆用同底数毒的除法公式进行计算即可.

【解答】解：(1)34m=(32m)2=a2.

(2)'：2T=h,

：.33n=b.

(3)3而厂6"=34，"+36”=42+/=£

b2

【题型4塞的运算法则逆用(整体代入)】

【例4】(2022•铁岭模拟)若a+3b-2=0,则3"・275=2.

【分析】根据塞的乘方运算以及同底数塞的乘法运算法则得出即可.

【解答】解：a+3b-2=0>

a+3b—2,

则3"・27“=3"X33）=3"+3"=32=9.

故答案为：9

【变式4-1］（2022秋•淇滨区校级月考）当3"计2〃-3=0时，则8"'・4"=8.

【分析】先变成同底数幕的乘法，再根据同底数幕的乘法法则进行计算，最后代入求出即可.

【解答】解：•.•3m+2〃-3=0,

3，”+2〃=3,

...8，，，.4"

=（23）'"X（22）"

=23,"X22n

—Q3m+2n

=23

=8,

故答案为：8.

【变式4-2］（2022春•东台市期中）己知a-2b-3c=2,则2"+4%1不的值是4.

【分析】先将原式变形为同底数基的形式，然后再依据同底数幕的除法和乘法法则计算即可.

【解答】解：原式=2”22&X2TC=2"-2,3C=22=4.

故答案为：4.

【变式4-3］（2022春•昌平区期末）若5x-2y-2=0,则心'.」』史。

【分析】根据移项，可得（5x-2y）的值，根据同底数塞的除法底数不变指数相减，可得答案.

【解答】解：移项，得

5x-2y=2.

105t+1a=105v-2y=1（）2=100,

故答案为：1（X）.

【题型5嘉的运算法则逆用（求参）】

【例51（2022秋•西城区校级期中）若05・（/尸="7,则丫=4,若3X9MX27m=3"，则m的值为2.

【分析】先利用幕的乘方法则和同底数幕的乘法法则计算/•（"）3、3X9",义27,再根据底数与指数

分别相等时事也相等得方程，求解即可.

【解答】解：,.公•（炉）3=笳乂。3»，=一+34

，5+3y=17.

.♦.y=4.

3X9mx27"'=3X32mX33"'=31+5m,

,31+5m—311

1+5相=11.

・♦/%=2.

故答案为：4；2.

【变式5-1］（2022春•建湖县期中）规定a%=2"X2〃，例如：1*2=21*22=23=8,若2*（%+1）=64,

则x的值为3.

【分析】把相应的值代入新定义的运算，利用同底数基的乘法的法则进行求解即可.

【解答】解：：2*（x+1）=64,

.•.22X2A+I=26,

则22+户1=26,

**•2+x+1=6,

解得：x=3.

故答案为：3.

【变式5-2］（2022秋•卫辉市期末）已知2m=4"-1,27"=3m则，？-〃?=5.

【分析】直接利用累的乘方运算法则将原式变形进而得出，*〃的值即可.

【解答】解：,.•2加=4"一|,27"=3"…,

•2，"=2-/:-=3,M1

故圈噩二不

解得：｛m=-8

n=—3

故〃-m=5.

故答案为：5.

【变式5-3］（2022春•兴化市期中）若（2“）2-23rt=84,其中〃八”都是自然数，则符合条件施、”的值有

3组.

【分析】先根据基的乘方进行计算，再根据同底数'幕的乘法进行计算，求出2〃?+3”=12,再求出二元一

次方程的正整数解即可.

【解答】解：(2"')2*23"=84,

22m*23n=(23)4,

22/n+3n—212

2/77+3/7=12,

,3

"2=6—"，

2

•：m,〃都是自然数，

.*.6-〃20,

2

・・・0W〃W4,

・•・整数〃为0,1,2,3,4,

当〃=0时，m=69

当〃=1时，y

当〃=2时，〃?=3,

当〃=3时,“I，

当〃=4时，m=0,

即符合条件的m,“的值有3组,

故答案为：3.

【题型6嘉的运算法则逆用(代数式的表示)】

【例6】(2022秋•崇川区校级期中)若心3=j=1.

yx

(1)请用含x的代数式表示y；

(2)如果x=4,求此时y的值.

【分析】(1)由已知等式得出无=已"+1,y=dbn+3,再将，严=x-1代入y=o2m+3=2+3,整理即

可得；

(2)将x=4代入整理后的y关于x的代数式即可得.

,・Q2m+3am+l

【解答】解:.---------=--=--1---->--

yX

・・.x=""+l,y=a

则dn=x-\,

.•.〉=於"+3

=(d")2+3

=(X-1)2+3

=.r2-2x+4,

即y=f-2x+4；

(2)当x=4时，y=16-2X4+4

=16-8+4

=12.

【变式6-1](2022•高新区校级三模)已知,"=8,〃=93试用含m,〃的式子表示7272.

【分析】利用基的乘方与积的乘方的法则把7272变形为(89)8X(98)9,再把m=8\"=98代入即可

得出结果.

【解答】解：•.•，〃=8%"=炉,

/.7272

=(8X9)72

=872X972

=(89)8X(98)9

=m%9.

【变式6-2](2022•高新区校级三模)(1)若x=2"41,y=3+4",用x的代数式表示y.

(2)若x=2*,y=3+4'",用x的代数式表示y.

【分析】(1)根据幕的乘方以及完全平方公式解答即可；

(2)根据幕的乘方法则解答即可.

【解答】解：(1)：x=2"'+l,

：.2m=x-1

.“=3+4”=3+(2m)2=3+(x-1)2=3+r-2户1=/-2.计4：

(2)'：x=2m+i,

y=3+4"=3+(2机)2=3+(f)2=3+9=

【变式6-3](2022春•新泰市期末)若0m=a"(a>0,,〃、〃都是正整数)，则m=〃，利用上面结

论解决下面的问题：

(1)如果2n23=32,求x的值：

(2)如果2+8*・16*=25,求x的值；

(3)若x=5*2,y=3-25T用含x的代数式表示y.

【分析】根据幕的乘方与积的乘方进行计算即可.

【解答】解：(1)：2，・23=32,

：.2K+3=25,

：.x+3=5,

*'•x=2；

(2)•.•2+8"16、=25,

.".2-i-23jc*24l=25,

•21'3户4,一？5,

l+x=5,

•**x—4；

(3)Vx=5,n-2,

・・・5'”=x+2,

・・・y=3-25川，

，y=3-(5m)2,

；.y=3-(x+2)』-x2-4x-1.

【题型7幕的运算法则(混合运算)】

【例7】(2022春•沐阳县校级月考)计算：

(1)(-a)2・&3

(2)Ji.“。"

8

(3)?廿++”(〃是正整数)

(4)(曲/)4.

【分析】结合索的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可.

【解答】解：(1)原式=标・凉

=〃2+3

=a5.

(2)原式=[(-8)x沪3.1

—(-])2013」

8

=--1

8

(3)原式=口+1+0出

=2rn+,.

(4)原式=(/)4

=a20.

【变式7-1](2022秋•道外区校级月考)计算：

(1)产y2.y

(2)(x3)4"

(3)(/.次)3.(-4)5

(4)(-3标)3-"+(4。3)2.

【分析】(1)根据同底数基的乘法求出即可；

(2)先算乘方，再根据同底数器的乘法求出即可;

(3)先算乘方，再算乘法即可；

(4)先算乘方和乘法，再合并同类项即可.

【解答】解：(1)/•/,>'=/;

(2)(x3)4,x2—x'2,x1—x'4i

(3)(小/)3.(一“)5

=32.46.(-45)

--a23；

(4)(-3a2)3-a^+(4a3)2

=-27a6-(AH6a6

=-12a6.

【变式7-2](2022春•太仓市期中)用简便方法计算下列各题

(1)(士)2015X(-1.25)2016.

5

(2)(3-)12X(―)"X(-2)3.

825

【分析】⑴将(-1.25)236写成(_》2。内(_》，再利用积的乘方计算即可;

(2)将(3：)12写成(称)"x^,再运用乘法结合律与积的乘方计算即可.

888

【解答】解：(1)(i)2015x(-1.25)2016

=(沪15x(_*x(_；)

=[^x(-^)]20l5x(吟

=-1X(——)

4

5

=7

(2)原式=^X(-)"X(色)"X(-8)

8825

-25X©X.

=-25.

【变式7-3](2022春•漳浦县期中)计算

(1)(〃？-〃)2,(〃-〃?)3,(n-w?)4

(2)(户)3(/)4"+(%5)»+1

(3)(°2)3_/./+(2/)2；

(4)(-4/+I)3+[2(2d")2切.

【分析】(1)根据同底数'幕的乘法计算即可；

(2)根据幕的乘方和同底数幕的除法计算即可；

(3)根据基的乘方、同底数累的乘法和合并同类项解答即可；

(4)根据积的乘方和同底数基的除法计算即可.

【解答】解：(1)(，”-”)2*(n-m)3,(n-in)4

—(,n-m)2+3+4,

=(n-m)9；

(2)(炉")3(Z>3)4，，+(产)

=•〃⑵+j5”+5

一匕6〃+12〃'5M_5

—b]3n5；

(3)(a2)3-(P*a3+(2a3)2

=(?-ij6+4a6

=4次

(4)(3・[2(2"")2.可

=-64a3"'+3+8“2"，+I

=-8*2

【题型8塞的运算法则(新定义问题)】

【例8】(2022春•大竹县校级期中)我们知道，同底数塞的乘法法则为心(其中aWO,小n为

正整数)，类似地我们规定关于任意正整数胴、n的一种新运算：h(，"+")=hCm)-h(n)；比如h

(2)=3,则/?(4)=h(2+2)=3X3=9,若h(2)=k(左#0),那么/i(2n)*h(2022)的结果是

()

A.2Z+2021B.2M2022C.r+l0l0D.2022%

【分析】根据/?(，〃+〃)=h(,〃)•/?(n),通过对所求式子变形，然后根据同底数基的乘法计算即可解

答本题.

【解答】解：,:h(2)=k(AWO),h(，"+〃)=hCm)'h(〃)，

：.h(2n)•//(2022)

=A(2+2+…+2)[(2+2+…+2)

n个1010个

=九(2)•九(2)•九(2)•九(2)•九(2)•h(2)

n个1010个

=2]./0]0

=兴+1010,

故选：C.

【变式8-1](2022•兰山区二模)一般的，如果〃=2(“>0,且a#l),那么x叫做以。为底N的对数，

记作x=k>g"N.例如：由于23=8,所以3是以2为底8的对数，记作log28=3；由于G=a,所以1是

以a为底。的对数，记作1084=1.对数作为一种运算，有如下的运算性质：如果a>0,且a#l,M>

那么弓根

0,N>0,(1)1og“(M・N)=log„M+loguyV；(2)log=log〃M-log“N；(3)log„Af-=nlog„M.

据上面的运算性质，计算10g2(23X8)-lo效竽一log?10的结果是1.

【分析】根据所给的运算进行求解即可.

【解答】解：log2(23X8)-log2-——Iog2l0

=log223+log28-(log216-log25)-log210

=3+3-(4-log25)-log210

=6-4+log25-log210

—2+log2—

1

=2+log22'

=2+(-I)

=1.

故答案为：1.

【变式8-2](2022春•泰兴市期中)规定两数m匕之间的一种运算，记作。※6：如果/=从那么。※匕

=c.例如：因为3?=9,所以3X9=2

(1)根据上述规定，填空：2X16=4,土6※用=一2,

36

(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：3"派4"=3派4,小明给出了如下的证明：

设3"X4"=x,则(3")"=4",即(3")"=4"

所以3*=4,即3X4=x,

所以3"X4"=3X4.

请你尝试运用这种方法解决下列问题：

①证明：6X7+6X9=6X63；

②猜想：(x-1)啰(y+1)"+(x-1)"X(y-2)"=(x-1)X(y2-y-2)(结果化成最

简形式).

【分析】(1)规定：如果相=也那么。※6=c.即可进行求解.

(2)①设6X7=x,6X9=y,则6中=63,易得6X63=x+y,即可得证.

②根据①中的结论：(x-1)咚(y+1)"+(x-1)哆()，-