北京工大附中2022-2023学年数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若函数f（x）=loga（x2–ax+2）在区间（0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．[2，3） B．（2，3） C．[2，+∞） D．（2，+∞）2．已知，，，则的最小值为A． B． C． D．43．下列关于四棱柱的说法：①四条侧棱互相平行且相等；②两对相对的侧面互相平行；③侧棱必与底面垂直；④侧面垂直于底面.其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．等比数列的前n项和为，若，则等于()A．－3 B．5 C．33 D．－315．在中，内角所对的边分别为，且，，，则()A． B． C． D．6．若不等式的解集为，则（）A． B．C． D．7．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形8．已知，函数的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．69．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元/分钟，假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元/分钟，那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间，能使公司获得最大的收益是（）万元A．72 B．80 C．84 D．9010．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知sin+cosα=，则sin2α=__12．假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数，则______.（精确到）（参考数据）13．在梯形中,，,设,,则__________(用向量表示).14．已知，则__________．15．在平面直角坐标系xOy中，若直线与直线平行，则实数a的值为______.16．在中，三个角所对的边分别为．若角成等差数列，且边成等比数列，则的形状为_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；18．为了评估A，B两家快递公司的服务质量，从两家公司的客户中各随机抽取100名客户作为样本，进行服务质量满意度调查，将A，B两公司的调查得分分别绘制成频率分布表和频率分布直方图．规定分以下为对该公司服务质量不满意．分组频数频率0.4合计（Ⅰ）求样本中对B公司的服务质量不满意的客户人数；（Ⅱ）现从样本对A，B两个公司服务质量不满意的客户中，随机抽取2名进行走访，求这两名客户都来自于B公司的概率；（Ⅲ）根据样本数据，试对两个公司的服务质量进行评价，并阐述理由．19．已知向量，，，．（1）若，且，求x的值；（2）对于，，定义．解不等式；（3）若存在，使得，求k的取值范围．20．设为正项数列的前项和，且满足.（1）求的通项公式；（2）令，，若恒成立，求的取值范围.21．已知数列的前项和，满足.（1）若，求数列的通项公式；（2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式；

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

函数为函数与的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，讨论，，结合二次函数的单调性，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得的范围.【详解】∵函数在区间上为单调递减函数，∴时，在上为单调递减函数，且在上恒成立，∴需在上的最小值，且对称轴，∴，当时，在上为单调递增函数，不成立，综上可得的范围是，故选：A．【点睛】本题考查了对数函数的图象和性质，二次函数图象和性质，复合函数的定义域与单调性，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法，属于中档题.2、C【解析】

化简条件得，化简，利用基本不等式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，知，可得，则，当且仅当时，即时取得等号，所以，即的最小值为，故选C．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件：一正、二定、三相等是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3、A【解析】

根据棱柱的概念和四棱锥的基本特征，逐项进行判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，由四棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等，①正确；②两对相对的侧面互相平行，不正确，如下图：左右侧面不平行.本题题目说的是“四棱柱”不一定是“直四棱柱”，所以，③④不正确，故选A.【点睛】本题主要考查了四棱柱的概念及其应用，其中解答中熟记棱柱的概念以及四棱锥的基本特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4、C【解析】

由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出.【详解】设等比数列的公比为（公比显然不为1），则，得，因此，，故选C.【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．5、C【解析】

直接利用余弦定理得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生计算能力.6、D【解析】

根据一元二次不等式的解法，利用韦达定理列方程组，解方程组求得的值.【详解】根据一元二次不等式的解法可知，是方程的两个根，根据韦达定理有，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系，考查根与系数关系，考查方程的思想，属于基础题.7、C【解析】∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，与不平行，∴四边形ABCD为梯形．8、A【解析】试题分析：由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A考点：利用基本不等式求最值；9、B【解析】

设公司在甲、乙两个电视台的广告时间分别为分钟，总收益为元，根据题意得到约束条件，目标函数，平行目标函数图象找到在纵轴上截距最大时所经过的点,把点的坐标代入目标函数中即可.【详解】设公司在甲、乙两个电视台的广告时间分别为分钟，总收益为元，则由题意可得可行解域：，目标函数为可行解域化简得，，在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图所示：作直线，即，平行移动直线，当直线过点时，目标函数取得最大值，联立，解得，所以点坐标为，因此目标函数最大值为，故本题选B.【点睛】本题考查了应用线性规划知识解决实际问题的能力，正确列出约束条件，画出可行解域是解题的关键.10、B【解析】

试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故选B．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】∵，∴即，则.故答案为：.12、【解析】

根据题意，设10年前的国民生产总值为，则10年后的国民生产总值为，结合题意可得，解可得的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，设10年前的国民生产总值为，则10年后的国民生产总值为，则有，即，解可得：，故答案为：．【点睛】本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于的方程，属于基础题．13、【解析】

根据向量减法运算得结果.【详解】利用向量的三角形法则，可得，，又，，则，.故答案为.【点睛】本题考查向量表示，考查基本化解能力14、【解析】15、1【解析】

由，解得，经过验证即可得出．【详解】由，解得．经过验证可得：满足直线与直线平行，则实数．故答案为：1．【点睛】本题考查直线的平行与斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题．16、等边三角形【解析】

分析：角成等差数列解得，边成等比数列，则，再根据余弦定理得出的关系式．详解：角成等差数列，则解得，边成等比数列，则，余弦定理可知故为等边三角形．点睛：判断三角形形状，是根据题意推导边角关系的恒等式．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）20.【解析】

（1）首先可以根据频率分布直方图得出样本中分数不小于的频率，然后算出样本中分数小于的频率，最后计算出分数小于的概率；（2）首先计算出样本中分数不小于的频率，然后计算出分数在区间内的人数，最后计算出总体中分数在区间内的人数。【详解】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于的频率为，所以样本中分数小于的频率为．所以从总体的名学生中随机抽取一人，其分数小于的概率估计为。（2）根据题意，样本中分数不小于的频率为，分数在区间内的人数为，所以总体中分数在区间内的人数估计为。【点睛】遇到频率分布直方图问题时需要注意：在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。18、（Ⅰ）3人；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）见解析【解析】

（Ⅰ）对B公司的服务质量不满意的频率为，即概率为0.03，易求解．（Ⅱ）共有5名客服不满意，将每种情况都列出来即可算出全来自于B公司的概率．（Ⅲ）可通过频率对比，服务质量得分的众数，服务质量得70分（或80分）以上的频率几个方面进行对比．【详解】（Ⅰ）样本中对B公司的服务质量不满意的频率为，所以样本中对B公司的服务质量不满意的客户有人．（Ⅱ）设“这两名客户都来自于B公司”为事件M．对A公司的服务质量不满意的客户有2人，分别记为，；对B公司的服务质量不满意的客户有3人，分别记为，，．现从这5名客户中随机抽取2名客户，不同的抽取的方法有，，，，，，，，，共10个；其中都来自于B公司的抽取方法有，，共3个，所以．所以这两名客户都来自于B公司的概率为．（Ⅲ）答案一：由样本数据可以估计客户对A公司的服务质量不满意的频率比对B公司服务质量不满意的频率小，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量好．答案二：由样本数据可以估计A公司的服务质量得分的众数与B公司服务质量得分的众数相同，由此推断A公司的服务质量与B公司的服务质量相同．答案三：由样本数据可以估计A公司的服务质量得70分（或80分）以上的频率比B公司得70分（或80分）以上的频率小，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量差．答案四：由样本数据可以估计A公司的服务质量得分的平均分比B公司服务质量得分的平均分低，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量差．【点睛】此题考查概率，关键理解清楚频率分布表和频率分布直方图表示的含有，简单数据可通过列表法求概率或者可以组合数求解，属于较易题目．19、（1）或（2）（3）【解析】

（1）由题,由可得,进而求解即可；（