某大学2022年《1076常微分方程》期末考试真题及答案（共2套）

试卷代号:1076

国家开放大学202I年秋季学期期末统一考试

常微分方程试题

2022年1月

ー、单项选择题（每小题3分,本题共15分）

1.ー阶线性微分方程メ;+p（x）y=式町的积分因子是（）.

A.握=e7q&）dxB.M=efqMdx

C.“=e"P（x）dxD.〃=ePa）dx

2.若"スメ）在全平面上连续且对ア满足李普希兹条件,那么方程れーノaメ）的任一解的存在

区间（）.

A.必为（-8,〇）B.因解而定

C.必为（-8,+00）D.必为（0,+8）

dY1

3.线性非齐次方程组れ="（x）y+“MY=Si，…%）的所有解（）.

A.构成一个れ维线性空间B,构成一个n+1维线性空间

C,不是线性空!同D.构成一个无电,维线性空间

4.已知方程り”+ダ=4久的ー个特解为公,又对应齐次方程孙“+プ=。有一个特解为"X,

则原方程的通解为（）.

222

Ay=Cxx+C2lnx+xy=Ctx+C2lnx+x

232

Cy=g+C2lnx+Xpy=Cxx+C2lnx+x

5.平面自治系统在相平面上的一条轨线,对应（）积分曲线.

A.无穷多条B.一条

C.两条D,三条

二、填空题（每小题3分,本题共15分）

6.微分方程yy-X（ダ）3+2cosx=°是阶微分方程.

7.方程芝れーxsin（x+y）满足解的存在惟一性定理条件的区域是.

8.常微分方程的ー个不可延展解的存在区间一定是一区间.

9.二阶方程y+xy+メ丫=〇的等价方程组是.

10.纯量方程dy=数中，当a<°时,其零解是稳定的.

三、计算题（每小题8分,本题共40分）

求下列方程的通解或通积分:

H,求变量可分离方程れーアびー"的通积分.

12,求ー阶线性非齐次方程お+2X7二叔的通积分。

13.求全微分方程（が+盯2+x2）dx+x2ydy=0的通积分.

14.求克莱洛方程y=町'+2（y'）3的通解.

15.求恰当导数方程yy”+（力ユ+3%2=0的通积分,

四、计算题（本题共15分）

16.求下列常系数线性微分方程组的通解:

fdx

—=2%-3y

dt

dy„

[di=x-2y

五、证明题（本题共15分）

17.设/（y）在（-8,+8）上连续可微,求证:对任意的与€（-8,+8）,仅〇|<1,方

程

，=（/_1）/（y）

dx

满足初值条件y（/）=y。,。的解必在（ー%+8）上存在.

试卷代号:1076

国家开放大学2022年春季学期期末统一考试

常微分方程试题

2022年7月

ー、单项选择题(每小题3分,本题共15分)

1

1.微分方程x2y'-y=x"e'的通解为y=().

A,X2(X+C)B.e、(x+C)

c.e"x+C)D,eFx+C)

2.方程れーベ'y+1的奇解（）.

A.ー个也没有B.有无数个

C.只有一个D.只有两个

（IYr

3.一阶线性非齐次方程组五=A（x）y+F（x）,y=（3,…，yn）的任一解的图像是n+1维

空间（x，yi，…，yn）中的（）.

A.ー个曲面B,一条曲线

C.一族曲线D.一族曲面

4.向量函数组在区间I上的朗斯基行列式火ス）=〇是它们线性相关的（）条件.

A.必要B.充分

C.充分必要D.即非充分也非必要

（dxっ

产,

5.平面系统し;=3*+4y的奇点（0，〇）的类型是（）.

A.鞍点B.不稳定焦点

C.不稳定结点D.稳定焦点

二、填空题（每小题3分,本题共15分）

6.方程（y+l）dx+（x+l）dy=。所有常数解是.

dy_2

7.方程れ=*+cosy满足解的存在惟一性定理条件的区域是

8.n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间.

9.二阶方程y"+xy'+x2y=0的等价方程组是ー______________.

10.纯量方程豎=㊀メ中‘当a<0时,其零解是稳定的.

三、计算题（每小题8分,本题共40分）

求下列方程的通解或通积分:

11.求变量可分离方程れー2けー丄ノ的通解.

12.求ー阶线性非齐次方程dx+3y=e的通解.

13.求全微分方程（ギ+xy2+x2）dx+x2ydy=。的通积分.

14.求克莱洛方程y="y'+y+（『产的通解.

は求恰当导数方程yy"+（y'）2=°的通积分,

四、计算题（本题共15分）

16.求二阶常系数线性微分方程丫ー5y=sin5x的通解.

五、证明题（本题共15分）

^.在方程五二ハ乃ジ0^中,已知f（x），w'（y）在（-8,+8）上连续,且。（±1）=〇,

求证:对任意X。和ワ。1〈1,满足初值条件y（xo）=y。的解y（x）的存在区间必为（一

8,+oo）.

试卷代号:1076

国家开放大学2021年秋季学期期末统一考试

常微分方程试题答案及评分标准

（供参考）

2022年1月

一、单项选择题（每小题3分,本题共15分）

1.D2.B3.C4.C5.A

二、填空题（每小题3分,本题共15分）

6.二

7.全平面

8.开

9-,

I”'=—め1—X2y

10.渐进

三、计算题（每小题8分,本题共40分）

11.解当y（y—1）关〇时,分离变量,得,1dy=d2（3分）

—1）

积分,得［’（1_一dy=fda-+Ct（5分）

J—1）J

通积分为!nIy—1|—InIy|=4-Ci,即2----=Ce1（8分）

y

12.解对应的齐次方程*+2zy=0

的通解为"=Ce-r（4分）

令非齐次方程解为:y=C（j-）e-?

代入原方程,得C（^）=2e7+C

原方程通解为:）1=Cel'+2（8分）

注:直接用通解公式正确求出方程通解,参照给分.

13.解因为丁=2スッ=丁,所以原方程是全微分方程.（3分）

dydJC

取（須），y。）=（0,0）,通积分为

f（ザ+xy2+J-2）d.r=C

（6分）

Jo

即ナパ+!ザザ+;ザ=〇

（8分）

（1076号）常微分方程答案第1页（共2页）

14.解原方程是克莱洛方程,通解为

ヽ=0+2（ジ（8分）

15,解原方程是恰当导数方程,可写成

（处'+パ）’=0

即ガ十エコ“（4分）

分离变量解此方程•通积分为

行ザ=C|ユーうボ+c

2（8分）

四、计算题（本题共15分）

2-X—3

16.解特征方程丨A-XE|=(AH-1)(X—1)=0（5分）

1-2-X

特征根为A]=1,ス2=—1（7分）

31

X,和A,对应的特征向量分别是和（12分）

11J

3e‘e

原方程组的通解是+C2（15分）

yee

五、证明题（本题共15分）

17.证明该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理.

乂、=±1是该方程的两个常数解.（5分）

现取工（>e（―8,+8）,|y0|<1,记过点（Ho,y0）的解为y（H）.一方面该解可向平面的无穷远无限

延展,另一方面又不能上下穿越y=±1,否则将破坏解的惟ー性.因此.该解只能在区域G=｛（了,y丨丨y|<

1,よG（―8,+8）｝内沿ア轴两侧无限延展,显然其定义区间必是（一8,+〇〇）.（15分）

（1076号）常微分方程答案第2页（共2页）

试卷代号:1076

国家开放大学2022年春季学期期末统一考试

常微分方程试题答案及评分标准

（供参考）

2022年7月

ー、单项选择题（每小题3分,本题共15分）

1.D2.A3.B4.A5.C

二、填空题（每小题3分,本题共15分）

6y==

7.全平面

8.n

,ダ=%

9.必=-xyx-xy

10.渐进

三、计算题（每小题8分,本题共40分）

11.解当yW土1时,分离变量积分得

,ラア=出+G（く分）

財局つ+ら貂=シ（8分）

_1+Cex

解得通解,丁あ（4分）

12.解齐次方程的通解为:，y=Ce-3x（4分）

令非齐次方程的特解为:y=C{x}e-3x

代人原方程,确定出C（x）=*s“+C

原方程的通解为:y-。e+5e（8分）

注:直接用通解公式求出方程通解,同样给分.