单自由度受迫振动参考

二、单自由度体系自由振动微分方程的解)(mk=w02yy=+Þw&&)(0akyym=+LL&&)sin()(aw+=tatysincos)(00www+=tvtyty)0(020=Þ=yCyycossin)(21ww+=tCtCty)0(010w=Þ=vCvy&y(t)ty0－y0y(t)tv0/ω－v0/ωTta－aTα/ω其中δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视δ、k、Δst

三参数中哪一个最便于计算来选用。自振周期计算公式：圆频率计算公式：一些重要性质：（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δP=13l/165l/32P=1l/2据此可得：ω1׃ω2׃ω3=1׃1.512

׃

2结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。1θ例5、求图示结构的自振圆频率。解法1：求

kθ=1/hMBA=kh=MBCklhmI→∞EIBAC1h解法2：求

δ例6、求图示结构的自振频率。lEImk1k11k11k解：求

k对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。一端铰结的杆的侧移刚度为：两端刚结的杆的侧移刚度为：五、阻尼对自由振动的影响忽略阻尼影响时所得结果

能不能

反映实际结构的振动规律。大体上忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：①与质点速度成反比（比较常用，称为粘滞阻尼）。②与质点速度平方成反比（如质点在流体中运动受到的阻力）。③与质点速度无关（如摩擦力）。粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为R(t)=－Cy

).其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。振动模型ykykmy有阻尼的自由振动，动平衡方程：(阻尼比）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety设解为：特征方程为：1)ξ<1（低阻尼）情况c令低阻尼体系的自振圆频率ae-ξωttyty低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线①阻尼对自振频率的影响.

当ξ<0.2，则存在0.96<ωr/ω<1。在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:称为振幅的对数递减率.设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:工程中常用此方法测定阻尼②阻尼对振幅的影响.振幅ae-ξωt

随时间衰减，相邻两个振幅的比振幅按等比级数递减.EI=∞m例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m9.8kN，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。解：=wxk2=wxmc2=wwxm22临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。3)ξ>1强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。2)ξ=1（临界阻尼）情况)1(2-±-=xxwl=-wltyy0θ0这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。m§14-3单自由度体系的受迫振动

受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。ky(t)ymkyP(t)mP(t)P(t)弹性力－ky、惯性力和荷载P(t)之间的平衡方程为:一、简谐荷载：tmFtAtAqqwqqsinsinsin22=+-tAyqsin=mtFyyqwsin2=+&&tytmFystqwqqwqwsin)1(1sin)1(22222-=-=单自由度体系强迫振动的微分方程特解：最大裂静位跑移yst（是慢把荷够载幅陆值当跑作静做荷载嚼作用辈时结叔构所飘产生的位晶移）被。特解槽可写男为：通解绵可写希为：设t=0时的鞠初始衬位移鸣和初沾始速晃度均想为零煤，则切：过渡别阶段：振帆动开望始两虽种振耽动同拘时存储在的稀阶段程；平稳痒阶段：后惭来只示按荷米载频预率振称动的往阶段助。（亲由于心阻尼枕的存冷在）按自坑振频住率振肃动按荷姿载频缘瑞率振肠动平稳浩阶段颂：最大屑动位细移（委振幅业）为舍：动力殖系数β为：1023123wqb重要膀的特刺性：当θ/学ω→0时,β→1更，荷载酸变化北得很码慢，译可当竹作静踏荷载拳处理忽。当0<θ/匹ω<1时,β>1艰，并且何随θ/糊ω的增效大而柄增大呆。当θ/奏ω→1时,β→∞误。即当刃荷载喷频率唤接近逮于自症振频初率时许，振找幅会湾无限连增大京。称揉为“今共振兰”。父通常乘把0.量75风<θ/挖ω<1叉.2办5称为返共振船区。当θ/争ω>1时,β的绝贵对值逝随θ/颜ω的增线大而横减小伴。当θ很大知时，高荷载保变化兼很快头，结雁构来班不及贵反应。当动笨荷载蹄作用厨在单坚自由示度体另系的搭质点考上时扫，由效于体肿系上棕各截面忙的内发力、辜位移拌都与协质点纱处的钢位移衡成正悔比，新故各淋截面至的最迷大动柱内力枯和最斑大动变位移塞可采酱用统赖一的终动力有系数查，只需乞将干务扰力适幅值符乘以户动力涨系数竹按静恋力方爷法来稍计算为即可。例：恒已知m=30食0k隔g，EI咳=90承×1筋05N.弄m2,k异=48俗EI收/l3,P跑=20竟kN,θ氧=80轻s-1求梁屠中点亚的位办移幅劣值及课最大豪动力凤弯矩油。2mEImkPsinθt2m解：1)劈燕求ω2)拆求β3)架求yma弓x，Mma爹x例、亦一简羡支梁躁（I级28钢b）傍，惯长性矩I=7犁48责0c迅m4，截汽面系剃数W=5其34今cm3，E=2积.1横×1弓04强kN蒜/c阶m2。在部跨度核中点越有电芽动机排重量Q=3唯5k哀N，转速n=5周00淹r/趣mi竹n。由尸于具固有偏碗心，朽转动愿时产樱生离膝心力P=1帜0k眉N，P的竖俯向分厦量为Psi穴nθt。忽筑略梁裂的质月量，志试求捆强迫思振动悦的动馅力系轰数和镜最大眼挠度烫和最牧大正动应力托。（步梁长l=4今m）解：盛1）把求自窜振频够率和胶荷载叼频率2）典求动降力系岸数β17脖5.紧6M姓Pa必须悔特别网注意臭，这挎种处叉理方痒法只港适用犹于单秘自由给度体徐系在摆质点上裹受干坐扰力很作用撞的情辨况。字对于巡寿干扰痰力不披作用税于质泛点的负单自扎由度体纺系，路以及殊多自弄由度钩体系植，均纹不能驼采用污这一芳方法另。I2靠2b35胃70波cm435妖7039镇.739驶.71.垒35对于夹本例宗，采麦用较念小的底截面勉的梁挽既可怒避免眼共振读，又灰能获柜得较壳好的与经济亡效益设。32曲514红9.掌2设体倘系在t=0时静门止，锹然后稠有瞬奥时冲武量S作用。二、侮一般内荷载一般丛荷载含作用笔下的双动力其反应爹可利昏用瞬独时冲辫量的动力厌反应久来推大导1、狮瞬时商冲量及的动斯力反桂应P(t)tP瞬时但冲量S引起慨的振支动可齐视为通由初治始条搏件引丽起的模自由幸振动楼。由动墓量定原理：Δtcossin)(00www+=tvtytyΔtτtt't'cossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtyty2、烘任意京荷载P(t)的动椒力反硬应P(t)tττ时刻热的微趁分冲昼量对t瞬时(t次>τ)引起躺的动端力反赖应:初始获静止奇状态阅的单混自由涝度体节系在蜓任意垂荷载叉作用减下的亚位移佣公式径:(D头uh牌am乱el积分贪)…颂…（葬15致.2银9）初始到位移y0和初津始速助度v0不为之零在旧任意甚荷载茄作用搞下的叹位移沿公式爆:t3、国几种详典型激荷载涂的动誓力反读应1）推突加迁荷载P(t)tPyst=P0δ=话P0/mω2ysty(t)ωt0π2π3π质点羡围绕券静力贸平衡蝇位置钟作简约谐振督动2）啊短时垂荷载P(t)tPu阶段Ⅰ(0<t<u)：与突夏加荷咬载相摩同。阶段Ⅱ(t>u)：无荷执载，喘体系摄以t=u时刻沿的位粱移和速茎度为初凝始条狱件作天自由宪振动造。sincos)(00www+=tvtyty或者粪直接睡由Du样ha拐me交l积分伴作另解应：短颠时荷这载可创认为恐由两浑个突暖加荷凑载叠友加而岸成。P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu当0<t<u当t>uysty(t)ωt0π2π3πωT最大怖动反居应1）当u>T/2最大宇动位扛移发爆生在剥阶段Ⅰ2）当u<T/2最大绘动位品移发情生在径阶段Ⅱβ=2β1/611/22动力锹系数嗽反应阻谱(β与T和u之间坟的关率系曲考线)3）油线性道渐增盆荷载P(t)tP0tr这种红荷载韵引起祖的动携力反催应同脚样可召由D暂uh肾am鹊el积分帆来求解:对于候这种法线性着渐增炼荷载骡,其厅动力施反应刚与升尺载时额间的妙长短帆有很剖大关着系。法其动心力系蓝数的支反应暗谱如巨下：01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0βtrP0动力歼系数闭反应协谱动力腹系数β介于刻1与悄2之辨间。如果稀升载宏很短匀，tr<T/4店,则β接近遥于2浮,即皮相当边于突界加荷挠载情砌况。如果值升载版很长捎，tr>4T,则β接近悔于1越,即摘相当输于静拦荷载完情况凭。常取亲外包赚虚线耗作为融设计泽的依型据。三、回有阻锦尼的巡寿强迫监振动①单箱独由v0引起使的自仅由振咐动：②瞬均时冲团量ds=惕Pdt=鹅mv0所引偿起的努振动充，可惕视为唯以v0=Pdt/段m，y0=0为初浊始条微件的慢自由勉振动趋：③将毁荷载P(t)的加芳载过风程健看肠作一陈系列角瞬时旗冲量舰：④总基反应P(t)tτtEI=∞m例、图示秧一单瓶层建饼筑物如的计陪算简贺图。歉屋盖峰系统晨和柱防子的赌质量请均集胃中在欺横梁宗处共叼计为m9.8kN，加钓一水匆平力P=9社.8乌kN，测听得侧留移A0=0奴.5辨cm，然后她突然家卸载授使结愿构发印生水糖平自耕由振逆动。芹在测协得周捡期T=1胶.5彻s及一个周颤期后情的侧猪移A1=0挎.4景cm。求涉结构怖的阻寒尼比ξ和阻前尼系睁数c。解：=wxk2=wxmc2=wwxm22（1售）突加先荷载P0低阻百尼y-霉t曲线无阻高尼y-劲t曲线ysty(t)ωt0π2π3π4π5πy(t)ωt0π2π3π4π5π静力肝平衡疾位置具有应阻尼心的体艺系在突加忙荷载智作用管下，最初恐所引互起的健最大位移偶接近锐于静袋位移yst=P0/mω2的两江倍，然后鹿逐渐窜衰减加，最后停敲留在攻静力厦平衡位置叫。（2盆）简谐溉荷载P(t)=Fsi欧nθt设特洗解为方：y=脱Asi匙nθt驼+Bco仔sθt代入检（1鸡5-润34纸）得：+{Asi峰nθt+Bco垃sθt}齐次碎解加肉特解坦得到啄通解丹：自由谈振动康，因析阻尼浙作用冷，逐渐捐衰减妨、消辅失。纯强开迫振快动，洞平稳信振动长，振幅库和周砍期不遵随时织间而湖变化划。结论：在逐简谐镜荷载抹作用攻下，飞无论赔是否羡计入张阻尼攻的作核用，六纯强迫极振动爆部分怨总是神稳定哈的周兆期运绝动，姨称为需平稳喜振动鞠。y=能Asi鸟nθt+Bco谅sθt=yPsi旷n(θt－α)时(析15庭-3唉5a虫)振幅：yp，最大岔静力远位移：yst=F唤/k菜=F志/m晴ω2动力蓝系数β与频挎率比θ/庆ω和阻冲尼比ξ有关4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0几点近注意摆：①随ξ增大β曲线贷渐趋附平缓括，特别术是在θ/震ω=1附近β的峰值炼下降仆的最峰为显夏著。xb21=共振时②当θ接近ω时，β增加阿很快恭，ξ对β的数葵值影到响也债很大。在0.吸75<θ/财ω<1.涉25(共菠振区替)内项，阻桨尼大隶大减堤小了拆受迫像振动考的位宴移，因此狗,锤为了寇研究章共振验