大学物理课件-波函数、一维定态薛定谔方程

第十五章薛定谔猫第十五章15.1热辐射普朗克能量子假设15.2光电效应爱因斯坦光子假说15.3康普顿效应15.4氢原子光谱玻尔的氢原子理论15.5微观粒子的波粒二象性不确定关系15.6波函数一维定态薛定谔方程15.7氢原子的量子力学描述电子自旋

量子力学建立于1923~1927

年间，两个等价的理论——矩阵力学和波动力学.

相对论量子力学（1928

年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程.

薛定谔（ErwinSchrodinger，1887~1961）奥地利物理学家.1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法...15.6波函数

一维定态薛定谔方程

一波函数概率密度1）经典的波与波函数

电磁波

机械波

经典波为实函数15.6波函数

一维定态薛定谔方程

2）量子力学波函数（复函数）

自由粒子平面波函数描述微观粒子运动的波函数微观粒子的波粒二象性

自由粒子能量和动量是确定的，其德布罗意频率和波长均不变，可认为它是一平面单色波.平面单色波波列无限长，根据不确定原理，粒子在

x方向上的位置完全不确定.15.6波函数

一维定态薛定谔方程

3）波函数的统计意义15.6波函数

一维定态薛定谔方程

t时刻，粒子在空间处的单位体积元dV中出现的概率dW：

概率密度表示在t时刻，粒子在空间处单位体积内出现的概率.正实数

归一化条件(束缚态)

某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为15.6波函数

一维定态薛定谔方程

波函数必须单值、有限、连续（概率密度在任一处都是唯一、有限的,并在整个空间内连续）；

单个粒子在哪一处出现是偶然事件；大量粒子的分布有确定的统计规律。电子数N=7电子数N=100电子数N=3000电子数N=20000电子数N=70000出现概率小出现概率大

电子双缝干涉图样15.6波函数

一维定态薛定谔方程

二薛定谔方程（1926年）15.6波函数

一维定态薛定谔方程

低速情况下，微观粒子在外力场中运动的微分方程。

质量m的粒子在外力场中运动，势能函数V(r,t)，薛定谔方程为

粒子在稳定力场中运动，势能函数V(r)、能量E不随时间变化，粒子处于定态，定态波函数写为

在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程拉普拉斯算子定态薛定谔方程定态波函数15.6波函数

一维定态薛定谔方程

波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的.1）

可归一化;2）和连续;3）为有限的、单值函数.1）能量V

不随时间变化；2）概率密度不随时间变化.定态波函数性质15.6波函数

一维定态薛定谔方程

在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程15.6波函数

一维定态薛定谔方程

粒子能量外力场的势能函数一般问题已知：势能函数求解：粒子能量，定态波函数，在某点出现的概率三一维势阱问题粒子势能满足的边界条件

1）是固体物理金属中近自由电子的简化模型；

2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来.意义15.6波函数

一维定态薛定谔方程

15.6波函数

一维定态薛定谔方程

波函数的标准条件：单值、有限和连续.15.6波函数

一维定态薛定谔方程

量子数波函数x0a概率分布

一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的.15.6波函数

一维定态薛定谔方程

基态能量

激发态能量量子数为n的定态波函数为波函数x0a15.6波函数

一维定态薛定谔方程

归一化条件x0a

能量

波函数

量子数

概率密度

波动方程15.6波函数

一维定态薛定谔方程

概率分布15.6波函数

一维定态薛定谔方程

五一维方势垒隧道效应

一维方势垒粒子的能量隧道效应

从左方射入的粒子，在各区域内的波函数15.6波函数

一维定态薛定谔方程

粒子的能量虽不足以超越势垒,但在势垒中似乎有一个隧道,能使少量粒子穿过而进入的区域,所以人们形象地称之为隧道效应

.隧道效应的本质:

来源于微观粒子的波粒二相性.

1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微镜(STM),可观测固体表面原子排列的状况.1986年宾尼希又研制了原子力显微镜.

应用

15.6波函数

一维定态薛定谔方程

48个

Fe原子形成电子围栏，围栏中电子形成驻波。15.6波函数

一维定态薛定谔方程

硅表面硅原子的排列砷化镓表面砷原子的排列碘原子在铂晶体上的吸附

纳米科学技术应用实例15.6波函数

一维定态薛定谔方程

15.6波函数

一维定态薛定谔方程

粒子在一维无限深势阱中运动，图示为粒子在某一能态上的波函数的曲线，概率密度最大的位置是:

思考(C)一氢原子的薛定谔方程电子的势函数（定态）其定态薛定谔方程为：15.7氢原子的量子力学描述电子自旋1.能量量子化当E<0

时，求得E必须等于：n=1,2,3........称为主量子数当E>0时，E是连续的；15.7氢原子的量子力学描述电子自旋2.角动量的量子化

可以得出，角动量为下式：

角动量只能取由l决定的一系列分立值，即角动量也是量子化的，称l为副量子数，或角量子数。15.7氢原子的量子力学描述电子自旋副量子数e3.空间量子化

角动量是矢量，其在空间的方位取向是不连续的。在外磁场中，

L在Z方向的投影值必须满足：共2l+1个值15.7氢原子的量子力学描述电子自旋磁量子数，为绝对值小于的整数

空间量子化示意图0123-2-3-1012-2-101-1l.0l=0l=1l=2l=315.7氢原子的量子力学描述电子自旋

塞曼效应塞曼效应：在外磁场中，原子光谱分裂的现象在磁场中谱线的分裂无磁场时的谱线证明轨道角动量空间量子化15.7氢原子的量子力学描述电子自旋理论解释：

根据电磁理论，绕核作轨道运动的电子相当一圆电流，它产生磁矩与轨道角动量之间的关系为：θBeLz15.7氢原子的量子力学描述电子自旋外加磁场与磁矩作用，产生附加能（不考虑自旋）所以，原来一个能级分裂为个能级，造成光谱分裂。psl=1l=0En1110ml无磁场强磁场En0μ+BBEn1BμBEn1En1

二史特恩-盖拉赫实验

1921年，施忒恩和盖拉赫发现一些处于S态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。15.7氢原子的量子力学描述电子自旋证明电子自旋的存在取离散值SNFSNzs—自旋量子数电子自旋角动量在外磁场中的取向自旋磁量子数ms

取值个数为2.电子自旋(1925年乌伦贝克等)2s+1=215.7氢原子的量子力学描述电子自旋

自旋角动量Z方向投影自旋量子数自旋磁量子数15.7氢原子的量子力学描述电子自旋自旋角动量描述原子中的电子运动状态共有四个量数3.磁量子数ml，决定电子轨道角动量的空间取向4.自旋量子数,决定电子自旋角动量的空间取向主量子数n=1,2,3.....

，大体上决定电子能量2.角量子数l=1,2,3.....n-1

，决定电子的轨道角动量，对能量略有影响15.7氢原子的量子力学描述电子自旋核外电子在不同壳层上的分布遵从以下两条原理:

泡利不相容原理

一个原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子具有相同的量子状态，即一个量子态只能容纳一个电子，称为泡利不相容原理。n,l相同，可能的状态有：15.7氢原子的量子力学描述电子自旋n相同时，原子中具有相同主量子数n的电子数目最多为：n,l，ml相同，可能的状态有：2个电子状态的符号n1(S)1(p)2(d)3(f)4(g)5(h)1(K)1s12(L)2ssp43(M)3s3p3d94(N)4s4p4d4f165(O)5s5p5d5f5g256(P)6s6p6d6f6g6h36

能量最小原理

原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占有最低的能级。壳层支壳层最多可容纳的电子数15.7氢原子的量子力学描述电子自旋n1(S)1(p)2(d)3(f)4(g)5(h)122226832610184261014325261014185015.7氢原子的量子力学描述电子自旋

例题

在氢原子的n=2壳层中，电子可能具有的量子数(n,l,ml,ms)为

(A)(1,0,0,)。(B)(2,1,-1,)。

(C)(2,0,1,)。

(D)(3,1,-1,)。

例若原子中电子的主量子数等于3，那么它的轨道角动量可能有

个取值；若电子的角量子数为2，则电子的轨道角动量在磁场方向的分量可能取的各个值为

。3（B）15.7氢原子的量子力学描述电子自旋

例卢瑟福粒子实验证实了

；施特恩---盖拉赫实验证实了

；康普顿实验证实

；戴维孙---革末实验证实了

。A光的量子性B玻尔的