辽宁省沈阳市第九中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析

辽宁省沈阳市第九中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1参考答案：C【分析】考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k．故选C．【点评】本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．2.当函数取极小值时，

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.的展开式中含的正整数指数幂的项数是(

)A.0

B.2

C.4

D.6参考答案：B展开式通项为Tr+1=，若展开式中含的正整数指数幂，即∈N*,且,所以.4.等差数列中，若，，则前9项的和等于A．99B．66C．144D．297参考答案：A略5.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

A．63．6万元

B．65．5万元

C．67．7万元

D．72．0万元参考答案：B本题考查了回归方程的特点以及利用回归方程进行预测的方法，难度中等。因为，，，所以，当x=6时，，故选B。6.函数的图像如右图所示，为了得到这个函数的图像，只需将的图像上的所有的点（A）向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变（B）向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变（C）向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变（D）向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变参考答案：A

7.已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称参考答案：D【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；H2：正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的对称性求出b=﹣a，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴f（）=（a﹣b）=，平方得a2+2ab+b2=0，即（a+b）2=0，则a+b=0，b=﹣a，则f（x）=asinx+acosx=sin（x+），又a≠0，则=sin（﹣x+）=sin（π﹣x）=sinx为奇函数，且图象关于点（π，0）对称，故选：D．8.已知函数f（x）=x3+ax+4则“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分，也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用函数单调性和导数之间的关系求出a的取值范围结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若f（x）在R上单调递增，则函数的f（x）的导数f′（x）=x2+a≥0恒成立，即a≥0，∴“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的充分不必要条件，故选：A9.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，若∥，则实数x的值为(

)A．8 B．2 C．－2 D．－8参考答案：B10.设a=，则(

)

A.a>b>c

B.b>c>a

C.b>a>c

D.a>c>b参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在区间上的连续函数y=f(x),如果$?[a,b],使得f(b)?f(a)=(b?a),则称为区间[a,b]上的“中值点”．下列函数：①f(x)=3x+2；②f(x)=x2?x+1；③f(x)=(x+1)；④f(x)=(x?)3中,在区间上“中值点”多于一个的函数序号为_______．(写出所有满足条件的函数的序号)三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤参考答案：①④__略12.设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定A={1,2,3,4,5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有

个。参考答案：1313.已知△ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则

.参考答案：12【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】平面向量/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【试题分析】如图，取BC中点D，联结AD,则,又因为,所以O为BC的中点，因为，所以是等边三角形，，因为ABC外接圆的半径为2，所以,所以,故答案为12.14.把二进制数化为十进制数，结果为

．参考答案：试题分析：：考点：十进制与二进制的互化15.方程的实数解为________参考答案：16.某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为

．（填入a，b，c，d，e中的某个字母）参考答案：c【考点】不等式比较大小；多元一次不定方程．【专题】应用题；压轴题．【分析】采用特殊值法，给a，b，c，d，e按照大小顺序取一组特殊值，计算S的值，据S的解析式知，只有a或c的值增加，才能使S的值增加，检验a增加1时，S值的增加量，检验c增加1时，S值的增加量，作出比较．【解答】解：据S的解析式知，只有a或c的值增加，才能使S的值增加，采用特殊值检验法，∵0＜c＜d＜e＜b＜a，令a=9，b=7，c=1，d=3，e=5，则S=，当a增加1时，S=，S的值增加，当c增加1时，S=，S的值增加，∴当c增加1时，S的值增加最多；故答案为c．【点评】本题考查在限定条件下，比较几个式子大小，可用特殊值代入法．17.（文）设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为________．参考答案：4：由题意得，当时，，所以在上为减函数，所以，解得（与矛盾，舍去）．当时，令可得，当时，，为减函数；当和时，，为增函数，由且，可得，又，可得4，综上可知。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，四面体ABCD中，已知平面BCD⊥平面ABC，BD⊥DC，BC=6，AB=4，∠ABC=30°．（I）求证：AC⊥BD；（II）若二面角B﹣AC﹣D为45°，求直线AB与平面ACD所成的角的正弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）利用余弦定理计算AC，得出AC⊥BC，再利用面面垂直的性质得出AC⊥平面BCD，从而有AC⊥BD；（II）证明BD⊥平面ACD，于是∠BAD为所求角，先计算BD，在Rt△ABD中计算sin∠BAD．【解答】（I）证明：△ABC中，由余弦定理得AC2=36+48﹣2×=12，∴，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，AC?平面ABC，∵AC⊥平面BCD．又∵BD?平面BCD，∴AC⊥BD．（II）解：∵AC⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AC⊥CD．又∵BC⊥AC，∴∠BCD是平面DAC与平面BAC所成的二面角的平面角，即∠BCD=45°．∵BD⊥CD，AC⊥BD，CD?平面ACD，AC?平面ACD，CD∩AC=C，∴BD⊥平面ACD．∴∠BAD是AB与平面ACD所成的角．Rt△ACD中，，∴．即求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值为．19.（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为．．（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；（2）当时，令，得．当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数．综上所述，当时，函数的单调递增区间为．当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；（2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，所以．依题意有，解得，所以．（3）当时，即时，在区间上为减函数，所以．依题意有，解得，所以．综上所述，当时，函数在区间上恒大于零．………………8分（Ⅲ）设切点为，则切线斜率，切线方程为．因为切线过点，则．即．

………………①令，则．（1）当时，在区间上，，单调递增；在区间上，，单调递减，所以函数的最大值为．故方程无解，即不存在满足①式．因此当时，切线的条数为．（2）当时,在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以函数的最小值为．取，则．故在上存在唯一零点．取，则．设，，则．当时，恒成立．所以在单调递增，恒成立．所以．故在上存在唯一零点．因此当时，过点P存在两条切线．（3）当时，，显然不存在过点P的切线．综上所述，当时，过点P存在两条切线；当时，不存在过点P的切线．…………………13分20.（本小题满分12分）已知是公差不为零的等差数列，且，,,成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．参考答案：（１）；（2）.试题分析：第一问设出等差数列的公差，根据,,成等比数列，得出关于公差的方程，从而求得数列的公差，进而得出数列的通项公式，第二问根据题中的条件，得出，用分组求和法对数量求和.试题解析：（１）设等差数列的公差为,

由,,成等比数列得:,

………………1分即,

………………2分整理得,

………………3分,

………………4分∴．

………………5分（2）由（1）可得．

………………6分所以

………………7分

………………9分

………………11分

………………12分考点：等差数列和等比数列的性质，等差数列的通项公式，分组求和法，等差等比数列的求和公式.21.(本小题满分12分)已知圆，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为.(Ⅰ)求曲线的方程；（Ⅱ）当与圆相切时，求直线的方程.参考答案：(Ⅰ)；（Ⅱ）或．

考点：直线与圆锥曲线的标准方程及运用．【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的定义求方程问题和直线与圆锥曲线的位置关系的处置问题.解答本题时如果不按圆锥曲线的定义求解,其解答过程会较为繁冗,而且还容易出错,因此在解答这类问题时首先要充分理解题意,寻求最为简捷的解答路径,以便达到化繁为简、避难前进的求解之目的.本题在求解时充分借助题设巧妙地探寻出动点满足的条件,然后与圆锥曲线的定义联系从而巧妙地使问题获解.22.（本题满分15分）已知（）（Ⅰ）若方程有3个不同的根，求