dvd在线租赁数学建模论文

DVD在线租赁_数学建模论文国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛承

诺

书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛的题目是：

B题：DVD在线租赁我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：

国防科大参赛队员(打印并签名)：1.

刘

健2.3.指导教师或指导教师组负责人

张云安李宝娟(打印并签名)：指导教师组日期：

2005

年9月19日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

1国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

2国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组DVD在线租赁摘要本问题是一个DVD在线租赁中，网站方如何对于市场进行需求预测、如何对DVD进行分配才能同时最好的实现其经济效益和社会效益。第一问中，基于需求预测基础上的DVD购买方案设计中，我们分别考虑了悲观情况和均值情况。为了保证希望看到某种DVD的会员中，有50%以上在一个月内能看到该DVD，在悲观情况下，各种DVD的购买量分别为：9000，4500，2250，1125，450。在均值情况下，各种DVD的购买量分别为：6250，3125，1563，720，313。为了保证在三个月内95%以上的会员能够看到，在悲观情况下，各种DVD的购买量分别为：4500，2250，1125，563，225。在均值情况下，各种DVD的购买量分别为：3959，1980，990，495，198。最后，不考虑具体的会员的借还DVD时间，我们使用概率的方法解决了该问题。结果与均值情况相近。对于第二问，对于当前订单的分配方案确定。我们建立了0-1规划模型，求得此时的最大满意度为24746，我们给出了此时的最优分配方案。第三问，是一个多目标规划问题，既要考虑使得会员的满意度尽量大，还要使得网站所购买的总的DVD数目最少，在具体处理时，我们让会员满意度在一定的范围内变动，给出各种情况下使得总DVD数最少的方案。其中当会员相对满意度为0.8时的最少DVD总数为2059张。分析第三问的结果，我们发现了有趣的双峰现象，并对其合理性进行了阐述。同时，我们还可以发现，会员相对满意度与最少DVD之间呈现总数近似线性的关系。如下表所示：对于网站而言，其经营管理的目的是获得最大的经济效益，不同的租赁模式设置下网站会得到不同的经济效益，第四问中我们讨论网站经营管理的最优模式。求得了在一种情况下，限定每月最多租赁两次的情况下，得到使得网站的效益达到最大时，应该限定每个会员每次租赁最多2张DVD。同时讨论了对于限定每次最多租赁3张DVD的情况下，最佳的租赁次数限制。本文论证严密，所给出的结果具有启发性和借鉴意义。2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

3相对满意度0.5相对满意度所需DVD数120214861760205925673098国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组一问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表

2

的数据格式示例如下表

2，具体数据请从/mcm05/problems2005c.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

4国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组二背景介绍DVD在线租赁业务是一项近年来在网络技术高度发展的基础上出现的新业务。1998年，成立于美国的Nexfix是目前炙手可热的DVD在线租赁商。该公司有多种DVD出租业务。其中，典型的是一种这样的：顾客每月缴纳19.9美元成为会员。定购DVD租赁服务。顾客对哪些DVD感兴趣，只须在线提交订单，网站收到顾客的订单之后，会根据手头现有的DVD数量和会员的订单尽可能将DVD以快递的方式投递给会员。一般情况下，在一天之内，网站即可将会员所需的DVD送到会员手中，会员每次最多得到3张DVD。每个月订购的次数是有限的，顾客拿到这些DVD之后可以无限期的保留这些DVD，前提是在这段时期内，他仍然是该网站的会员。如果会员想拿进行下一次租赁，则它必须首先将手上的DVD放进网站提供的信封里寄回。之后，即可进行下一次租赁。三问题分析本问题是一个在DVD租赁业务中，网站方如何进行DVD需求预测、如何购置新DVD、如何将手头的DVD分配给会员，从而可以保证会员满意而同时又使自己收到良好的经济效益的问题。第一问中，1000个会员的调查表即是10万个会员的需求预测。由于具体会员订单的不可确知性，，无法考虑“每个会员每次最多获得3张DVD”的约束，同时各种DVD之间的横向数量约束也无法考虑。故计算时，对于每种DVD的购买量可单独考虑。此时，由于每月租赁两次DVD会员的不确定性，我们可以以均值情况估计和最悲观情况估计。第二问中，网站给出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的再现订单。要求我们给出一个使得会员总的满意度最大的分配方案。显然这是一个大规模的0—1规划问题。第三问中综合考虑一个月内DVD的购买分配方案，这其实是一个多目标规划的问题。从网站的经济效益角度考虑看，在保证所有会员中95%以上的会员一个月内看到自己想看的DVD的情况下，希望购买的DVD尽量少，但是从其社会效应来看，则要尽可能地考虑让所有会员的总的满意度最大。这时，可以使用多种方式将多目标规划变为单目标规划，以求得一个经济效益与社会效益的综合最优。具体的1000位会员中到底会有哪些会员是可能会在一个月内租赁两次DVD，这个数据我们无从得知。我们可以随机地从1000名会员中选择600名。认为这些会员将会在一个月内两次租赁DVD，由于所给数据的均匀性，无论是哪600名会员将会两次租赁DVD，对目标影响并不会很大。对于网站而言，其经营管理的目的是获得最大的经济效益，不同的租赁模式设置下网站会得到不同的经济效益，第四问中我们讨论网站经营管理的最优模式。2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

5国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组四符号说明Cij

第i名会员获得第j张DVD时的满意度。xij

第i名会员获得第j张DVD时，

xij1

，反之为0dibjC：

di1时，第i名会员在该月两次租赁DVD，反之为0网站第j种DVD的拥有量网站每月收向每位会员取的月费。xij1

：

第i名会员第一次分配时获得第j张DVD时，

xij11

，反之为0xij2

：

第i名会员第一次分配时获得第j张DVD时，

xij21

，反之为0五基本假设1．网站对1000名会员的调查结果足以反映网站的10万名会员对于各种DVD的需求及喜好2．会员中总是有60%的会员每月租赁DVD两次，40%的会员每月租赁DVD一次3．会员只有在需要再次租赁DVD时，才会将将上次租赁的DVD归还。4．因为60%的会员每月租赁2次DVD，40%的会员每月租赁1次DVD，所以假设每位会员每月至少会租赁1次。5．如果会员对某种DVD感兴趣，但是本次提交订单后，并没有得到该DVD则他的下一份订单中仍然会有兴趣观看该DVD6．网站对于会员归还DVD的期限不作限制。7．对于每一类被租赁出去的DVD总是有60%分布在每个月会租赁两次DVD的会员中，40%分布在每月租赁一次DVD的会员中。8．会员在一个月内只要看到一张他想看到的DVD就认为他看到了想看的DVD.2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

6国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组六、模型的建立与求解6．1

DVD购置方案的确定通过对1000个会员的调查问卷，网站可以获得其10万个会员对于各种DVD的需求状况，在制定订购方案时，可以不用考虑每个会员每次最多租赁3张DVD的限制。同时不考虑各种DVD数量之间的横向联系，而对每种DVD单独考虑其购买量。我们称每个月内只租赁一次DVD的会员为1类会员，每个月内租赁两次DVD的会员为2类会员。此时，由于每个月内会两次租赁DVD会员的不确定性，在制定DVD的购买方案时我们分别考虑悲观情况估计及均值估计两种方式。6．1．1悲观情况估计a）50%情形对于某种DVD，如DVD1，假设其购买量为m，而希望看到DVD1的会员有2万人，假设经过一段时间的租赁后，DVD1都已被租赁出去，这m张DVD可能在占总会员60%的该月将要租赁两次DVD的人的手中，也可能在另外40%该月只租赁一次DVD的会员手中。如果在前者手中，则一个月内该DVD还可被其余会员看到，但是如果在40%的人手中时，则该DVD在这个月内不会再被其余会员看到。考虑一种悲观情况，m的一部分首先被占总会员40%的会员借走了，这部分人借了就不会在该月再还。为了保证至少有50%的会员在一个月内能看到该DVD,那么此时总的碟数应该满足：40%*20000(m40%*20000)*2

50%*20000上式的意义是：在悲观情况下，占想看到DVD1的会员40%的会员令其都租赁到DVD1，并且在一个月内不还，另外60%的会员中有部分租到DVD1并且在一个月内该DVD只被第二个会员看到。此时m9000同理，对于其他的DVD也有类似的表达式。此时为保证一个月内至少50%的会员看到他想看到的DVD，则每种DVD的购买量为：表1b)95%情形基于上述悲观情况，要使三个月内95%的会员能够看到该DVD，则（以DVD1为例）：m(2m40%*2000)*2(40%*20000m)2m

95%*20000求得m4500同理，对于其他的各种DVD，要保证三个月内至少95%的会员看到他想看得DVD,则每种DVD的购买量为：表22005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

7DVD种类DVD种类DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5购买量9000450022501125450DVDDVD种类DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5购买量450022501125563225国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组6．1．2均值情况估计现实情况是这样的，DVD在线租赁是一个实时性很强的业务，在每个月的每一天内，都会有顾客提交订单，同时也会有会员归还已借的DVD。这种会员订单的提交以及DVD的归还是服从参数为的泊松分布的。但是考虑一种平均的情况我们可以认为：所有的会员在每个月的某天（不妨假设为1号）要提交订单，同时那些需要租赁两次DVD的人也集中在15号的时候归还已租赁的DVD并提交下一份订单。如果认为会员租赁、归还的时间服从泊松分布，对该分布进行长期考察，可以发现上述的简化不过是泊松分布时的平均情况。因而，我们在处理时可以不必考虑每个会员的具体租赁、归还DVD的时间，而只考虑每个月内两次的分配方案，即1号和15号的分配方案。同时，在DVD被租赁出去后，对于某种DVD，从平均意义上看，应该是均匀的分布在每月只租赁1次DVD的会员和每月租赁两次DVD的会员中，即是说在15号，该DVD将有60%被归还。a)

50%情形在上述所说的网站运营模式下，设DVD1有m张，，则在1号时被分配出去，在15号时，又有0.6m张被归还。这样，为保证1个月内至少50%的会员时看到该DVD则应满足：1.6m50%20000m6250即DVD至少准备6250张。同理可得其余DVD应该准备的数量。此时结果为：表3b)

95%情形对于要使3个月内希望看到该DVD的会员中95%看到该DVD则考虑一下过程：2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

8时间已看到该时间已看到该DVD的会员数想看到但并未看到的会员数1月1日m20000m1月15日m2mmin(0.6m,0.6(20000m))20000m22月1日m3m2min(m,20000m2)20000m32月15日m4m3min(0.6m,0.6(20000m3))20000m43月1日m5m4min(m,20000m4)20000m53月15日m6m5min(0.6m,0.6(20000m5))20000m6DVDDVD种类DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5购买量625031251563782313国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组要使三个月内希望看到某种DVD的会员中至少95%的会员能够看到该DVD，则要使：20000m6200005%此时，计算得

m3959同理，求得为使三个月内希望看到该DVD，则每种DVD的购买数量如下表所示：6．1．3理论证明事实上，不必认为所有的人都在1号的时候来借DVD，我们可以从理论求解该问题。假设某种DVD一个月内被看到一次的概率为0.4，被看到两次的概率为0.6，则其服从分布：12为使希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，即是要求ni1

i

50%*20000为保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，则要使得上成立的概率尽可能大，不妨取：ni1n由于i是独立同分布的，且n的数量很大，由中心极限定理知，i1将其化为标准正态分布即为：

i

近似服从正态分布。p(

1n

*

n

0.4*0.6

100001.6nn*0.4*0.6

)

0.95查表可得：100001.6nn*0.4*0.6

1.645解得n(0.250.2526250)26250同理亦可推出均值情况下的其他解。2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

9名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5数量（张）39591980990495198名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5数量（张）395919809904951980.40.6P0.40.6P(i50%*20000)95%i1(i1.6)国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组6．2

100种DVD对于1000个会员在线订单的分配6．2．1模型建立在问题2中，网站当前需要处理1000位会员的在线订单。网站手上现有数量有限的100种DVD进行分配，并使所有会员的满意度最高。在此先对满意度的定义给一说明，设第i个会员对第j种DVD感兴趣，并且在他的订单中，给出的偏爱程度为

aij

,则第i个会员获得第j种DVD时的满意度为

cij11aij

。此时，在最好情况下每个会员的满意度最大为27，定义第i个人的个人相对满意度为：ci'其中,ci表示第i个人的满意度。建立如下的0—1规划模型：

ci27max

1000100i1j1

ijijc员的订单中，给出的偏爱程度为a，则相应的s.t每个会员每次最多获得3张DVD1003ijj1每种碟的总数的约束：1000bjiji10—1的约束：10000或者1iji12005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

cij

为11-a,其余为0

10cx其中，ij以喜好程度表示的会员的满意度，对于会员感兴趣的DVD如果在会cx其中，ij以喜好程度表示的会员的满意度，对于会员感兴趣的DVD如果在会xxx国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组6．2．2模型求解使用lingo软件求解上述模型，得到使得所有会员满意度最大的分配方案。在该方案下，所有会员的满意度为24746。给出分配后，前30位会员获得的DVD情况如表4：表42005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

11会员C0001会员C0001C0002C0003C0004C0005DVD编号008041098006044062032050080007018041011066068序号10481097791010988109会员会员C0016C0017C0018C0019C0020DVD编号010084097047051067041060078066084086045061089序号71099810109871091089会员会员C0006C0007C0008C0009C0010DVD编号019053066008026081031100041055085019053序号1097981071089598会员会员C0011C0012C0013C0014C0015DVD编号059063066002031041021078096023052089013052085序号10979104891091051078会员会员C0021C0022C0023C0024C0025DVD编号045050053038055057029081095037041076009069081序号96108910981079101097会员会员C0026C0027C0028C0029C0030DVD编号022068095050058078008034082026030055037062098序号10987104109879109106国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组下图给出1000位会员的个人满意度统计情况：fig1上图中，横轴表示个人满意度，纵轴表示相应个人满意度的会员。可见，绝大部分的会员其满意度都在0.8以上。可见，该分配方案是很好的。6．3

一个月的DVD分配方案6．3．1模型建立前述6.2中只讨论了1次分配的最优性问题，下面，我们来考虑一个月内如何分配，如何购置DVD才能使得会员的满意度最大。并且满足95%的会员得到他想看到的DVD。这是一个多目标规划的问题。从自己的经济利益出发，网站希望所需购买的DVD越少越好，而从自己的社会效应出发，网站希望尽可能提高会员的满意度。我们考虑如前6.1所述的均值情况，即所有的会员均在每月的1号租赁DVD，对于当月只租赁1次DVD的会员，他们将DVD保留到下一个月，对于当月租赁两次的会员，均在当月的15号归还，同时租赁第二次。这样，在一个月内，我们只需考虑对所有DVD做两次分配即可。即1号分配方案和15号分配方案。由于占会员60%的该月租赁两次DVD的人员无法确切预知，我们采取从1000个会员中随机选取600名让其该月租赁两次DVD。由于题目中所给订单数据的均匀值，不会出现选取不同的600名会员时，最终结果偏差很大的情况，我们认为这样做是合理的。同时，当这种随即的选取数次之后，一个平均的结果可以认为是合理的。对于满意度的定义，我们考虑一个相对满意度的概念，在最理想的概念，在最理想的情况下，第一次分配时两个会员都获得自己最满意的3张DVD，在第二次分配时，2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

12国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组参与分配的每个会员都获得此时自己最满意的3张DVD。在第二次分配时，参与分配的每个会员都获得此时自己最满意的3张DVD。这种情况下的总体满意度为600454002737800假设某种分配方案的总体满意度为C，则定义其相对满意度为C'

C37800基于上述几点考虑，该问题转化为如下的0—1规划模型：max

1000100i1j1

ijij1

1000100i1j1min其中：

100j1

jxij10xij20

第1次分配时第i名会员获得第j张DVD第1次分配时第i名会员未获得第j张DVD第2次分配时第i名会员获得第j张DVD第2次分配时第i名会员未获得第j张DVDs.t.第1次分配时DVD总数约束：100j1

ij1

bj第1次分配时每名会员最多获得n张DVD100j1

ij1

n第2次分配时，DVD总数的约束：100j1

ij2

bj'其中，

bj'

表示第2次分配时，网站拥有第j种DVD的数量1000i1cj

表示第2次分配时占总数60%的会员归还的第j种DVD的数量1000i12005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

13cxcijxij2bcxcijxij2b11xxxbj'bjxij1cjcjxij1di国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组其中，di随机生成，为1表示第i个人在该月内两次租赁DVD，反之为0。有一部分人未借第二次的约束：xij2di第一次已看到的DVD第二次就不再租赁了的约束：xij1xij21e1ixij1e2ixij21000100i1j11000100i1j10eki1上式中，eki=1表示第k次分配时第i个人在一个月内至少可以看到一张DVD，反之为0xij11或0xij21或0di1或02005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

14e1ie1ixij1e2ixij2国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组6．3．2模型求解上述为多目标规划，具体处理时，可采用线性加权法等经典方法，将多目标规划变为了单目标规划处理。在此，我们将相对满意度在一定的范围内变化，分别求出一组在各种满意度下所需的最少DVD数即相应的DVD分配方案。我们得到在相对满意度在0.5~1之间变化时，所需最少DVD数如下表所示：表5从上可以看出，要使满意度不低于0.5至少需要1202张DVD,而要使得总的满意度达到1.0,则至少要3098张DVD.要达到最好的满意度，则至少需要3098张DVD.此时，相对满意度和所需DVD总数的关系图如下：fig2上图中横坐标表示会员总的相对满意度，纵坐标表示达到这个满意度时的购买DVD总数。从上图可以看出：随着满意度的增加，所需的DVD总数近似线性的增加。这表明：如果要增加总体满意度，必须以多购买DVD为代价，而且，满意度的增加与DVD总数的增加近似成一定的比例。2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

15相对满意度0.50.6相对满意度所需DVD数120214861760205925673098国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组当满意度为0.9时所需的DVD购买量：表62005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

16DVD种类DVD种类购买量DVD种类购买量DVD种类购买量D00122D03420D06726D00228D03530D06832D00329D03629D06926D00428D03720D07026D00522D03824D07126D00629D03926D07228D00724D04025D07321D00826D04135D07420D00927D04230D07525D01024D04328D07620D01128D04424D07722D01226D04533D07827D01324D04620D07925D01427D04725D08026D01518D04825D08123D01633D04927D08219D01730D05023D08317D01827D05129D08421D01933D05222D08528D02032D05333D08620D02124D05422D08728D02227D05526D08819D02331D05628D08923D02422D05727D09021D02523D05823D09131D02625D05924D09224D02724D06029D09323D02820D06124D09427D02823D06227D09527D03028D06330D09620D03129D06434D09731D03224D06528D09828D03324D06630D09918D10027国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组下表给出前30位会员月初（1号）时分配方案表72005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

17会员C0016会员C0016C0017C0018C0019C0020DVD编号084097047067041060081084086045033089序号10991010961091069会员会员C0001C0002C0003C0004C0005DVD编号008082006044050080007018041066068序号1091099101098109会员会员C0011C0012C0013C0014C0015DVD编号059063019002031098078096023052089013052088序号1098910691091051079会员会员C0006C0007C0008C0009C0010DVD编号019053008026081071099010053100005060067序号109981010951096107会员会员C0021C0022C0023C0024C0025DVD编号045053086055057029086095041076009069094序号910791097109101098会员会员C0026C0027C0028C0029C0030DVD编号022068008050058042008034033030055037062070序号1095710910969109107国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组相应的此时，会员的个人满意度的分布如下图所示：fig3对比fig1和fig3，我们可以发现，在fig3中出现了一个很奇怪的现象，即会员的个人满意度集中的分布在0.7左右和1左右。这是为什么呢？其实在总的DVD数量有限的情况下，为了使得总体的满意度最大，分配时总是倾向于让每月租赁两次的会员（称2类会员）尽量多拿到DVD，这样才可以保证DVD最大限度的利用。那么在此时，总是首先考虑月内租赁两次的会员，让他们得到3张DVD,而其余的人呢只能得到小于3张的DVD，这样，2类会员的满意度总是大约为1，而1类会员的满意度总是集中一个小一些的数上。从上图也可以看到，这两者的比例大致为4：6。显然，当总的DVD数量越大是，1类会员的满意度高，也即两个峰靠得越紧。下面给出满意度为0.8时的个人满意度分布图（fig4）,我们可以从中看到这一点。Fig42005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

18国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组6．4

最优经营策略和多种服务网站在经营中，其最主要的目标是获得最大的利润。假设会员每个月所缴纳的会费为C，而此时网站的经营模式为限定每个月会员租赁次数不得超过m次。每次租赁不得超过n张碟。从网站的角度来看，当m、n增大时，可能网站的经营成本会增加，因为此时，网站需要付出更多的邮费以及出资购买更多的DVD，因此，网站总是向于尽量减小m,n，但是考虑到顾客满意读不能太低，此时，m,m有不可以太小，这样，对于网站来说，存在一个m，n的最优值，以该模式运营，在满足满意度达到一定指标的情况下，网站会获得最优的效益。下面我们分别来考虑每月最大租赁次数m和每次最多租赁DVD数目n对网站经营利润的影响。6．4．1最优每次租赁DVD数限制6．4．1．1模型建立我们首先来考察限定每月最多租赁两次的情况下，为了使得网站获得最大的利润，应该如何限定会员每次租赁DVD的数目。考虑如下的问题：继续考虑表2，表中列出了网站手头上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单。假定购买一张新DVD的费用为M=10美元。每份快递的费用为2美元，会员每月租赁次数不得超过2次。每个会员每月的月费为19.9美元，n为每次会员最多获得的DVD数目，如何确定n以及如何对这些DVD进行分配，才能使网站所获利润最大，同时使得会员的满意度不低于0.8。在此，我们建立以下的0—1规划模型：（

xij1

表示第i个会员获得第j张DVD）max

10001000100i1i1j1其中：

eki0

第k此分配第i个人获得DVD否则s.t第1次分配时DVD总数约束：100j1

ij1

bj第2次分配时每名会员最多获得3张DVD100j1

ij1

3第2次分配时，DVD总数的约束：100j1

ij2

bj'其中，

bj'

表示第2次分配时，网站拥有第j种DVD的数量2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

1919.91000219.910002e1i2e2i10bj1xxx国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组1000i1cj

表示第2次分配时占总数60%的会员归还的第j种DVD的数量1000i1其中，di随机生成，为1表示第i个人在该月内两次租赁DVD，反之为0。有一部分人未借第二次的约束：xij2di第一次已看到的DVD第二次就不再租赁了的约束：xij1xij21一个月内95%以上的会员看到自己想看到的DVD的约束：eixij1eixij210001001000100i1j1i1j11000i1

i

9500ei1上式中，ei=1表示第i个人在一个月内至少可以看到一张DVD，反之为0xij11或0xij21或0di1或02005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

20bj'bbj'bjxij1cjcjxij1dieixij1xij2e国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组6．4．1．2模型求解求解上述模型，可以得到在限定每个会员每月最多租赁2次DVD的情况下，对于上述问题，要使得网站所获得的总利润最大网站应该制定时的会员每月最多可获得2张DVD，此时网站可得利润：-4800美元，之所以会出现利润是负值，是因为，我们付出了很大一部分费用购买新的DVD，这部分钱，其实在两个月后就可收回了。这时，1000为会员的个人满意度统计如下：Fig5上图中，横轴表示个人满意度，纵轴表示相应个人满意度的会员。此时，会员的满意度可以达到0.8。这就是说，在本问题所给的情况下，对于限制每月最多租赁两次的情况下，允许会员每次借2张DVD网站所获得的经济效应会好于每次最所允许每位会员借3张DVD.此事建议，刚网站，不妨采用2-2模式来运营。即每月允许会员最多租赁2次，每次最多得2张DVD。2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

21国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组6．4．2最优租赁次数这里，我们接着讨论当每次最多租赁数目确定的情况下，如何限制一个月内租赁的次数才可以保证在一定的满意度限制下。使得网站获得最大的经济效益最大。显然，随着每月租赁次数的增加，问题的规模迅速地增大。但是现实的情况是，由于一些客观因素及主管因素的制约，会员在一个月内租赁DVD的次数是有限的。这样，我们只需要将m限定在一个较小的范围内讨论，如限定在5次以内。类似的，也可以建立上述的0-1规划模型进行求解求得在一定条件下的每月最优租赁次数m。6.4.3对于网络经营方式的一些建议为了在购买新DVD时能够更准确地对需求进行预测，我们建议网站的调查表可以设计为让每位会员按其偏爱程度给出自己感兴趣的十张DVD，这时在考虑具体购买新的DVD。我们相当于已经有了一个具体的订单，这样会使我们的购买方案更加合理和精确。另外，建议网站对于其所有会员的租赁记录给以统计，从而大体上掌握1类会员和2类会员的具体情况。2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

22国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组七模型评价模型优点：1、2、3、4、

对于问题1，我们从理论上证明了“6250”的合理性。逻辑严密，推理正确。我们巧妙的将原本很复杂的非线性问题转化为线性问题，是的问题的求解大大简化。我们求出了多种满意度下的最小DVD总数，并发现了二者之间近似线性的关系。我们求出了限定每月最多租赁两次的情况下，为使网站利润达到最大，会员每次最多租赁的DVD张数，这对于网站的经营、管理具有参考价值。模型缺点：题目中大量使用了大规模的规划，没有考虑对模型进行精简。这使得求解的运算量较大。八参考文献.5.

《运筹学》教材编写组，运筹学（修订版），北京：清华大学出版社，1990。叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（一），长沙：湖南教育出版社，1993。叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（二），长沙：湖南教育出版社，1997。叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（三），长沙：湖南教育出版社，1998。姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1993。2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

23基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究基于单片机的嵌入式Web服务器的研究MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器单片机控制的二级倒立摆系统的研究基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现基于单片机的蓄电池自动监测系统基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制基于单片机的自动找平控制系统研究基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于双单片机冲床数控系统的研究基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制基于单片机的软起动器的研究和设计基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究基于单片机的机电产品控制系统开发基于PIC单片机的智能手机充电器基于单片机的实时内核设计及其应用研究基于单片机的远程抄表系统的设计与研究基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制基于微型光谱仪的单片机系统单片机系统软件构件开发的技术研究基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用基于单片机的光纤光栅解调仪的研制气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制基于单片机的数字磁通门传感器基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪基于单片机的电机运动控制系统设计Pico专用单片机核的可测性设计研究基于MCS-51单片机的热量计基于双单片机的智能遥测微型气象站MCS-51单片机构建机器人的实践研究基于单片机的轮轨力检测基于单片机的GPS定位仪的研究与实现基于单片机的电液伺服控制系统用于单片机系统的MMC卡文件系统研制基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究单片机控制的后备式方波UPS提升高职学生单片机应用能力的探究基于单片机控制的自动低频减载装置研究基于单片机控制的水下焊接电源的研究基于单片机的多通道数据采集系统基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制基于单片机的红外测油仪的研究96系列单片机仿真器研究与设计基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制基于单片机的气体测漏仪的研究基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究基于单片机的膛壁温度报警系统设计基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计基于单片机船舶电力推进电机监测系统基于单片机网络的振动信号的采集系统基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究基于单片机的叠图机研究与教学方法实践基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现基于AT89S52单片机的通用数据采集系统基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究基于单片机系统的网络通信研究与应用基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究基于双单片机冲床数控系统的研究与开发基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究