2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答

2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第1页。2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第1页。数学B卷专项突破（三）（满分50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）1．小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为dm．2．定义运算x★y＝，则的计算结果是．3．点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D，若BC＝6，sin∠BAC＝，则AC＝，CD＝．2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第2页。2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第2页。5．如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF•ED的值为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）6．（本小题满分8分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．7．（本小题满分10分）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第3页。（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第3页。为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．8．（本小题满分12分）抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．（1）试求二次函数及一次函数的解析式；（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+CF的值最大时，求点E的坐标．2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第4页。2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第4页。2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第5页。2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第5页。数学B卷专项突破（三）（满分50分）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）1．小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为（4+）dm．【分析】根据七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4dm，∴②的斜边上的高是2dm，④的高是1dm，⑥的斜边上的高是1dm，⑦的斜边上的高是dm，∴图2中h的值为（4+）dm．故答案为：（4+）．【点评】本题考查正方形的性质，七巧板知识，解题的关键是得到②④⑥⑦的高解决问题．2．定义运算x★y＝，则的计算结果是20．【分析】由已知定义逐项求出部分结果，从而得到所求式子的规律为＝＝20．【解答】解：∵x★y＝，∴2020★2020＝，2020★2020★2020＝★2020＝，2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第6页。2020★2020★2020★2020＝★2020＝，…，2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第6页。∴＝＝20，故答案为20．【点评】本题考查数字的变化规律；运用定义，通过逐步求出部分结果，从而总结出所求式子的规律是解题的关键．3．点P，Q，R在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的值为．【分析】设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝S3＝2S2，根据S1+S3＝27，求出S1，S3，S2即可．【解答】解：∵CD＝DE＝OE，∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），∴CP＝，DQ＝，ER＝，∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，∴S1＝S3＝2S2，∵S1+S3＝27，∴S3＝，S1＝，S2＝，解法二：∵CD＝DE＝OE，2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第7页。∴S1＝，S四边形OGQD＝k，2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第7页。∴S2＝（k﹣×2）＝，S3＝k﹣k﹣k＝k，∴k+k＝27，∴k＝，∴S2＝＝．故答案为．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D，若BC＝6，sin∠BAC＝，则AC＝3，CD＝．【分析】连接BO延长BO交⊙O于H，连接CH，连接AO延长AO交BC于T．设OD＝x，AD＝y．首先解直角三角形求出BH，CH，利用三角形的中位线定理求出OT，利用勾股定理求出AC，再利用相似三角形的性质构建方程组求出x即可解决问题．【解答】解：连接BO延长BO交⊙O于H，连接CH，连接AO延长AO交BC于T．设OD＝x，AD＝y．2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第8页。2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第8页。∵BH是直径，∴∠BCH＝90°，∵∠BAC＝∠BHC，∴sin∠BAC＝sin∠BHC＝＝，∵BC＝6，∴BH＝10，CH＝＝＝8，∵AB＝AC，∴＝，∴AT⊥BC，∴BT＝CT＝3，∵BO＝OH，BT＝TC，∴OT＝CH＝4，∴AT＝AO+OT＝5+4＝9，∴AC＝＝＝3，∵AB＝AC，AT⊥BC，∴∠DAO＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAO＝∠OCA，∵∠ADO＝∠CDA，∴△DAO∽△DCA，∴＝＝，2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第9页。∴＝＝，2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第9页。解得x＝，∴CD＝OD+OC＝+5＝，故答案为3，．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．5．如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF•ED的值为16．【分析】根据正方形的性质得到∠BAC＝∠ADB＝45°，根据旋转的性质得到∠EAF＝∠BAC＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ADB＝45°，∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，∴∠EAF＝∠BAC＝45°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴EF•ED＝AE2，∵AE＝4，∴EF•ED的值为16，故答案为：16．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第10页。相似三角形是解题的关键．2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第10页。二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）6．（本小题满分8分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．【分析】（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值；（3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可．【解答】解：（1）∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），∴，解得，k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），则k2＝25×0.8＝20；2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第11页。2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第11页。（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．当健身8次时，选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元），选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出y1、y2关于x的函数解析式．7．（本小题满分10分）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第12页。【分析】（1）由轴对称的性质可得CA＝CA'，可得AC+BC＝A'C+BC＝A'B，AC'+C'B＝A'C'+BC'，由三角形的三边关系可得A'B＜A'C'+C'B，可得结论；2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第12页。（2）①由（1）的结论可求；②由（1）的结论可求解．【解答】证明：（1）如图②，连接A'C'，∵点A，点A'关于l对称，点C在l上，∴CA＝CA'，∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，∵A'B＜A'C'+C'B，∴AC+BC＜AC'+C'B；（2）如图③，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB；（其中点D是正方形的顶点）；如图④，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD++EB，（其中CD，BE都与圆相切）【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，圆的有关知识，轴对称的性质，三角形的三边关系，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．8．（本小题满分12分）抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第13页。（1）试求二次函数及一次函数的解析式；2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第13页。（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+CF的值最大时，求点E的坐标．【分析】（1）首先确定点C的坐标，代入一次函数求出k，可得点B的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，构建方程求出a即可解决问题．（2）分两种情形：①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，分别求解即可解决问题．（3）设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5），构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∵一次函数y＝x+k的图象经过点B、C，∴k＝﹣5，∴B（5，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，∴﹣5a＝﹣5，∴a＝1，2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学B卷专项突破训练(3)含参考解答全文共15页，当前为第14页。∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣