第2章地理空间数学基础

地理空间参考空间数据投影空间坐标转换空间尺度第2章地理空间数学基础空间定位与数学描述将地球曲面信息展布到二维平面2.1

地球空间参考2.1.1

地球形状与地球椭球

地球表面的几何模型一.地球自然表面，起伏不平，不规则，不适合于数字建模二.大地水准面，大地体比实际地球表平滑得多，但依然存在局部的不规则起伏三.地球椭球面，旋转椭球为地球理想的模型，可以用数学公式表达地球椭球的基本元素常用符号a，b，α，e和e’

表示。符号的名称和公式为(衡量形状和大小参数）：长半轴=a；短半轴=b；扁率α=(a-b)/a；第一偏心率=第二偏心率=a

2

-

b2e

=a

2a2

-b2e¢=b2已知其中两个元素（包含a或b）,就可以推算其他三个元素。地球自然表面、大地水准面和地球椭球面之间的关系椭球定位：依据一定的条件，将具有给定参数的椭球与大地体的相关位置确定下来四.数学建模空间参照系统是指确定空间目标平面位置和高程的平面坐标和高程系，这两个系统均与地球椭球面有关。2.1.2

坐标系统1.

坐标系统的分类及基本参数空间坐标系统可分为:球面坐标(一个地球椭球与一个大地基准面)平面坐标系统(除一个地球椭球与一个大地基准面，还须指定一个投影规则)大地基准面(Datum)大地基准面规定了地球椭球与在地体的位置关系。椭球面和地球肯定不是完全贴合的，因而，即使用同一个椭球面，不同的地区由于关

心的位置不同，需要最大限度的贴合自己

的那一部分，因而大地基准面就会不同。2.

球面坐标系统建立

地理坐标分为：天文地理坐标和大地地理坐标空间直角坐标分为：参心空间直角坐标和地心地固直角坐标（1）天文地理坐标系；以地心为坐标原

点，Z

轴与地球平自转轴重合，ZOX是天文首子午面，以格林尼治平均天文台定义。（2）大地地理坐标系：是依托地球椭球用定义原点和轴系以及基本参考面标示较大地理空间位置的参照系。简称大地坐标。大地坐标确定后，空间一点的大地坐标

用大地经度L、大地纬度B和大地高度H表示。如右图所示，地面上的点P地的大地子午面

NPS与起始大地子午面所构成的二面角L，叫点P地的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，向西为负。点P地对于椭球的法线P地Kp与赤道面的夹角

B，叫做点P地的大地纬度，由赤道面起算，向北为正，向南为负。点P地沿法线到椭球面的距离H叫做大地高，从椭球面起算，向外为正，向内为负。（3）空间直角坐标系：是在参考椭球上建立的三维直角坐标O-XYZ（4）地心地固直角坐标：原点与地球质心重合，Z轴指向地球的北极，X轴指向格林尼治平均子午面与地球赤道的交点，Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系。WGS-84地心坐标系统WGS-84是美国国防部研制确定的，其几何定义为：原点在地球质心；Z轴指向BIH1984.0定义的协议地球极（CTP）方向；X轴指向BIH1984.0的零子午面和CTP 赤道交点；Y轴与Z轴，X轴构成右手坐标系。3平面坐标系（1）高斯平面直角坐标系：在高斯-克里格投影带内布置的直角坐标系统，以经中央经线为X轴，赤道为Y轴，中央经线与赤道交点为坐标原点。

为避免Y值为一负值，规定纵坐标都向西移

500km；一个投影带内都有一个直角坐标系，为区分不同的投影带，在横坐标Y值前标以投影带编号。在P36图书2.7中，有A、B两点，其横坐标分别是：yB=-148

572.3myA=238

765.2m西移500kmyA=738

765.2myB=351

427.7m加上带号，得通用坐标yA=19

738

765.2m yB=19

351

427.7m（2）地方独立平面直角坐标系

通过一些元素的确定来决定地方参考椭球与投影面。地方参考椭球一般选择与当地平均高程相对应的参考椭球，该椭球中心、轴向和扁率与国家参考椭球相同空间坐标系统67%主要是顾及投影变形、作为历史沿续、为了使用方便和便于资料保密等；地方系统GIS的研究对象是具有空间内涵的地理数据。地理数据与其位置的识别联系在一起，它是通过公共的地理基础——统一的空间坐标系统来实现。国家坐标系统33%我国的大地坐标系1949年以后，我国采用了两种不同的大地坐标系，即1954年北京坐标系和80国家大地坐标系，它们均属参心大地坐标系。不同的参考椭球确定不同的参心坐标系。相同的地球椭球元素，但定位和定向不同， 也将构成不同的参心坐标系。把地面大地网归算到地球椭球面上，确定它同大地的相关关系位置，这就是所谓椭球的定位和定向问题。54年北京坐标系我国1954年完成了北京天文原点的测定工作，建立了1954年北京坐标系。1954年北京坐标系是原苏联1942年普尔科沃坐标系在我国的延伸，但略有不同，其要点是：属参心大地坐标系；采用克拉索夫斯基椭球参数（

a=6878245m，

扁率

=

1：298.3）；多点定位；εx

=

εy

=

εz；；大地原点是原苏联的普尔科沃；大地点高程是以1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面为基准；高程异常是以原苏联1955年大地水准面重新平差结果为水准起算值，按我国天文水准路线推算出来的；1954年北京坐标系建立后，30多年来用它提供的大地点成果是局部平差结果（制作了国家系列比例尺地形图）。1980年国家大地坐标系由于1954年北京坐标系（简称54坐标系）存在许多缺点和问题，

1980年我国建立了新的大地坐标系（简称80坐标系），其要点是：属参心大地坐标系；采用既含几何参数又含物理参数的四个椭球基本参数。数值采用1975年国际大地测量学联合会（IUG）第16届大会上的推荐值，其结果是：地球长半轴=6378140m1980年国家大地坐标系地心引力常数x质量GM=

3.986005×1014m3/s2地球重力场二阶带谐数Ｊ２＝1.08263×10–3地球自转角速度ω＝7.292115×10–5rad/s。多点定位。在我国按10×10间隔，均匀选取922个点组成弧度测量方程，按最小解算大地原点起始数据（p41)；定向明确。地球椭球的短轴平行于地球质心指向1968.0地极原点(JYD)的方向，起始大地子午面平行于我国起始天文子午面，ωx

＝ωy

＝ωz

＝0；1980年国家大地坐标系大地原点定在我国中部地区的陕西省泾阳县永乐镇，简称西安原点；大地高程以1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面为基准。2.1.3

高程基准1.

概述高程是地球上一点至参考基准面(包括一个水准面和一个永久性水准点）的距离。有正高、正常高、大地高2

我国主要高程基准（1）

1956年黄海高程系（2）1858年国家高程基准空间点的高程是以大地水准面为基准来建立的。我国曾规定采用青岛验潮站求得的1956年黄海平均海水面，作为我国统一的高程基准。凡由该基准面起算的高程在工程和地形测量中均属于1956年黄海高程系。从1985年起，我国开始改用“1985年国家高程基准”，凡由该基准起算的高程在工程和地形测量中均属于1985年黄海高程系统。1985年国家高程基准与

1956年国家高程基准之水准点间的转换关系为：H85

=

H56

–

0.029m式中H85，H56分别表示新旧高程基准水准原点的正常高。高程系统在建立数字城市时，若需采用不同高程基准的地形图或工程图作为基准数据时，应将高程系统全部统一到1985年国家高程基准上。在缺少基本高程控制网的地区，不仅可建立独立平面直角坐标系，也可建立局部高程系统。凡不按

1956年黄海平均海水面或1985年国家高程基准作为高程起算数据的高程系统均称为局部高程系统。设局部高程系统的高程原点起算数据为H局，与国家高程控制网联测的高程原点高程为H联，高程原点的高程改正值为ΔH，则：ΔH=H局－H联3

深度基准面（1）深度基准面的概念深度基准面：是指海图图载水深及其相关要素的起算面。深度基准面值：平均海面至其下一定深度基面的距离，用L表示。图载水深值：是深度基准面至海底的距离，常用Z表示。LZ平均海面深度基准面海底平均海面与深度基准面的关系平均大潮高潮面高程基准面深度基准面高度起算点深度起算点各种高度基准面关系2.2

空间数据投影

为什么要进行投影？

地图投影实质

投影变形

投影方法

投影选择所考虑的因素

我国常用的投影方法2.2.1

地图投影的基本问题地图投影：为什么要进行投影地理坐标为球面坐标，不方便进行距离、方位、面积等参数的量算地球椭球体为不可展曲面地图为平面，符合视觉心理，并易于进行距离、方位、面积等量算和各种空间分析地图投影将椭球面上各点的大地坐标按照一定的数学法则，变换为平面上相应点的平面直角坐标，称为地图

投影。x=F1(L,B)y=F2(L,B)式中：（L，B）是椭球面上的大地坐标，（x,y）是该点投影平面上的直角坐标。各种不同的投影就是按照一定的条件来确定式中的函数形式F1，F2的。地球椭球面是不可展的曲面，无论用什么函数式F1，F2将其投影至平面，都会产生变形。地图投影：投影变形将不可展的地球椭球面展开成平面，并且不能有断裂，则图形必将在某些地方被拉伸，某些地方被压缩，故投影变形是不可避免的。长度变形面积变形角度变形1.

长度变形与长度比m

=ds¢/

dsVm

=

m

-1长度比m，为地面上微分线段投影后的长度

与ds其¢

相应的实地长度之比

ds=0，投影后长度没有变形；V

mVm

＜0，投影后长度缩小，V

m＞0，投影后长度增加长度比随该点的位置而变化，还随其在该点上的不同方向而变化，一点上的长度比存在最大值和最小值（a,b)，称为极值长度比，极值长度比的方向称为主方向。在经纬线正交投影中，沿经纬线方向的长度比为极值长度比。2.

面积变形与面积比P

=

dF¢/

dF之比VP

=

P

-1面积比

P，为地面上微分面积投影后的面积

与dF其¢

相应的实地面积dFVP

=0，投影后面积没有变形P；V

＜0，投影后面积缩小，P＞0V

，投影后面积增加3.

角度变形sin

w

=

a

-b2

a

+b=0，投影后角度没有变形w；w

＜0，投影后角度缩小，＞0w，投影后角度增加角度变形是指地面上某一角度投影后的角度b¢与其实际角度之差，b一点上的角度变形是由最大值来衡量的，称最大角度变形w依变形椭圆来确定投影变形情况等角投影等积投影任意投影a=b=rab=r2a≠b≠r根据投影方法的分类几何透视投影:利用透视的关系，将地球体上的点投影到投影面（几何面）上的一种方法。数学解析投影：在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，通过数学方法确定经纬交点位置的一种投影方法。几何投影2.2.2

地图投影的分类1.按地图投影的构成方法分类可以分为：几何投影与非几何投影几何投影：把椭球上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展开为平面得到。按投影面的类型和方位等还可以分为：方位投影、圆柱投影、圆锥投影；正轴投影、横轴投影、斜轴投影；切投影、割投影。圆柱方位圆锥地图投影的构成方法分类正轴

斜轴

横轴2.非几何投影伪方位投影：伪圆柱投影：伪圆锥投影：多圆锥投影：2.

按投影变形性质分类等角投影:投影后的由任意两条微分线段构成的角不产生变形，使得投影前后的形状保持不变，又称正形投影。等面积投影：投影前后的面积保持不变。任意投影：既不保持角度不变，又不保持面积不变，同时存在长度、角度、面积的变形。等距投影：面积变形小于等角投影，角度变形小于等面积投影等角与等面积是互相抵触的，等角是以牺牲等面积为代价的；同样，等面积也是以牺牲等角为前提的；任意投影虽然存在各种变形，但各种变形比较均匀。投影命名规则：投影面与地球自转轴的方位关系+投影变形+投影面与地球相割（相切）

+投影构成如：正轴等角切圆柱投影2.2.3

常用地图投影概述1.高斯——克吕格投影(Gauss

Projection)它是一种横轴等角切圆柱投影。高斯投影的条件：

中央经线和地球赤道为互相垂直的直线，且为投影的对称轴；等角投影；高斯投影变形具有以下的特点：中央经线上没有变形同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大同一条经线上，纬度越低，变形越大，赤道处为最大等变形线为平行于中央经线的直线理解：高斯投影的方法就是保持赤道和中央经线不变形，把球面摊平。方法：用一个椭圆柱套住椭球，把它投影到椭圆柱上，然后打开椭圆柱即可。高斯-克吕格投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了控制变形，我国地形图采用分带的方法，每隔3°或6°的经差划分为互不重叠的投影带。1：2.5万至1：50万的地形图采用6°分带方案。从格林威治0°经线开始，全球共分为60个投影带。我国位于东经72°到

136°之间，共11个投影带（13-23带）。1：1万以及更大比例尺地图采用3°分带方案。漫游方向漫游窗口主带中央经线邻带中央经线带

边经线高斯投影按经纬分带进行投影，各带坐标系、经纬网形状、投影公式及变形情况都相同，有利于全球拼接，是具有国际性的一种投影。自1952年起，我国将其作为国家大地测量和地形图的基本投影，亦称为主投影。其不足之处在于长度变形较大，面积变形也较大。2.

横轴墨卡托投影

UTM投影全称为“通用横轴墨卡托投影”，是等角横轴割圆柱投影（高斯-克吕格为等角横轴切圆柱投影），圆柱割地球于南纬84度、北纬84度两条等高圈。

该投影将地球划分为60个投影带，每带经差为

6度，已被许多国家作为地形图的数学基础，如美国编制的世界军用地图和地球卫星图片采用地图。UTM投影与高斯投影的主要区别在南北格网线的比例系数上，高斯-克吕格投影的中央经线投影后保持长度不变，即比例系数为1，而UTM投影的比例系数为0.9996。3

兰勃特等角投影是在双标准纬线下一“正轴等角圆锥投影”采用双标准线纬线相割，与采用单标准纬线相比较，其投影变形小而均匀2.2.4

地图投影的选择制图区域的地理位置、形状和范围制图比例尺地图内容出版方式

在中、小范围投影中，须考虑它的轮廓形状和地理位置，最好使用等变形线与制图区域的轮廓形状基本一致，以减少图上变形。数字城市中地图投影配置的一般原则所配置的投影系统与相应比例尺的国家基本图（基本比例尺地图、基本省区图、国家大地图集）投影系统一致。系统一般只考虑至多采用两种投影系统，一种服务于大比例尺的数据处理与输入输出，另一种服务于中小比例尺。所用投影以等角投影为宜。所用投影应能与网格坐标系统相适应，即所采用的网格系统（特别是一级网格）在投影带中应保持完整。GIS中地图投影设计与配置各种GIS中投影坐标系统的配置具有以下的一般特征：各国家的GIS所采用的投影系统与该国的基本地形图系列所采用的投影系统一致。各比例尺的GIS中的投影系统与其相应比例尺的主要信息源地图所用的投影一致。各地区的GIS中的投影系统与其所在区域使用的投影系统一致。各种GIS一般以一种或两种（至多三种）投影系统为其投影系统，以保证地理定位框架的统一。地图投影与GIS的关系数据获取（数据源地图的投影）数据标准化预处理（按照某一参照系数字化）数据存储（统一的坐标存储）数据处理（投影转换）数据应用（检索查询、覆盖分析等）数据输出（具有相应投影的地图）地理基础（地图投影）地图投影：GIS中地图投影GIS以地图方式显示地理信息，而地图是平面，地理信息则在地球椭球上，因此地图投影在GIS中不可缺少。GIS数据库中地理数据以地理坐标存储时，则以地图为数据源的空间数据必须通过投影变换转换成地理坐标；而输出或显示时，则要将地理坐标表示的空间数据通过投影变换变换成指定投影的平面坐标。GIS中，地理数据的显示可根据用户的需要而指定投影方式，但当所显示的地图与国家基本地图系列的比例尺一致时，一般采用国家基本系列地图所用的投影。地图投影：我国常用地图投影1：100万：兰勃投影（正轴等积割圆锥投影）大部分分省图、大多数同级比例尺也采用兰勃投影1：50万、1：25万、1：10万、1：5万、

1：2.5万、1:1万、1：5000采用高斯—克吕格投影。2.3

空间坐标转换2.3.1

基本概念空间数据转换是把空间数据从一种空间参考系中映射到另一种空间参考系中，又称投影变换坐标转换投影转换空间参考信息转换坐标转换2.3.2

空间直角坐标的转换采用7参数坐标转换模型实现O2-X2Y2Z2到O1-X1Y1Z1的转换ZX1

DX

-eY

X2

X2

e

Y

+mY

X

2

2

1

eZY

=DY

+-e

1-eXDZ

eY1

Z2

Z2

1

Z1

△X、△Y、△Z为两空间直角坐标系坐标原点的平移参数eX

eYeZ分别为绕X轴、Y轴、Z轴旋转的角度；m为尺度变化参数O2Z2X2O1Z1X1Y1Y22.3.3

投影解析转换1.同一地理坐标基准下的坐标变换（x,y)

(B,L)

(X,Y)大地坐标值的变换4个过程（1）（B，L）（2）（X，Y，Z

）84（3）（X，Y，Z）80（4）（B，L）80（X，Y，Z）84（X，Y，Z）80（B，L）80（x,

y)802.不同地理坐标基准下的坐标变换两个内容：（1）地理坐标基准的变换；（2）坐标空间大地坐标到空间直角坐标坐标基准变换空间直角坐标到空间大地坐标通过高斯投影公式计算出高斯平面坐标2.3.4

数值拟合转换没有空间参考投影信息时1.多项式拟合变换在变换区选择一些控制点，进行两种坐标的多项式拟合2.数值-解析变换选采用多项式逼近的方法确定原投影的地理坐标，然后将原确定的坐标代入新投影与地理坐标之间的解析式中，求得新投影的坐标2.4

空间尺度尺度：是指研究者选择观察世界的窗口测绘学、地图制图、地理学比例尺数学、电子学、光学、通信工程测量工具、滤波器航空摄影、遥感分辨率尺度2.4.2

观测尺度观测尺度：是指研究的区域大小或空间范围2.4.2

比例尺1.地图比例尺的意义图上的长度与地图之间的长度比例（制图区域较小，图上各处缩小比例相同）地球半径缩小的比率，通常称为地图主比例尺（制图区域较大，缩小比例不同的地点、不同的方向不同）2.地图比例尺的表示数字式：即用阿拉伯数字表示，1：100000（1：10万）文字式：用文字注解的方法表示，百万分之一图解式：用图形加注记的形式表示的比例尺，直线比例尺、斜分比例尺、复式比例尺计算机里存储了物体的实际长度、面积、体积等数据，根据需要可以很容易按比例任意缩小或放大这些数据，没有必要将地图数据固定在某一种比例尺上，称之为无级比例尺。2.4.3

分辩率图像分辩率是成像细节分辩能力的一种度量，是图像中目标细微程度的指标，是景物信息的详细程度。有：光谱分辩率（光谱细节）时间分辩率（时间间隔）空间分辩率（空间细节）2.4.3

操作尺度操作尺度：是指空间实体、现象的数据进行处理操作时应采用的最佳尺度2.5

地理格网空间区域框架：按区域储存和表达空间信息的规则。可分为：自然区域框架；行政区域框架；自然-行政综合区域框架；地理网区域框架。国家出版的基础地图——地形图都是以地理格网区域框架作为储存和表达空间数据的基础。而一般的专题地图，或是以研究的自然区域、或以自然——行政综合区域为区域框架目的：空间区域框架是保证各专业、各层次和各区域地理信息的相互匹配、交换和数据共享。是信息采集、储存、提取的共同基础。2.5.1

地理格网标准：我国1990年发布的GB12409—90国家标准《地理格网》规定了我国采用的地理系统的划分规则和代码，形成了一整套科学的格网体系，系统性强。2.5.1

地理格网1、地理格网的含义按一定的数学规则对地球表面进行划分形成地理格网。可以用于表示呈面状分布、以格网作为统计单元的地理信息。通过对地理格网划分及编码规则的深入分析研究，规定我国地理信息系统采用三种地理格网系统：100×100格网系统4

0×6

0格网系统直角坐标格网系统2、格网划分体系地理格网可以按经纬度坐标系统划分（称之为地理坐标格网），也可以按直角坐标系统划分（称之为直角坐标格网）。地理坐标格网体系着眼于全球范围宏观研究的需要直角坐标格网体系着眼于现实世界大量系统和数据生产单位实际采用直角坐标系的客观需求3、格网系统10

0×10

0格网系统以纬度100和经度100进行划分而构成的多级地理格网系统，主要适用于表示海洋、气象、地球物理等领域的信息4

0×6

0格网系统以纬度40和经度60进行划分而构成的多级地理格网系统，主要适用于表示陆地与近海地区全国或省（区）范围内各种地理信息等。它的分级如下：格网等级1234567899格网单元边长30″15″7.5″3″1.5″0.75″0.3″0.15″5″比例尺1:100万1:50万1:25万1:10万1:5万1:2.5万1:1万1:5千1:20万将地球表面按数学法则投影到平面上，再按一定的纵横坐标间距和统一的坐标原点对其进行划分而构成的多级地理格网系统。主要适用于表示陆地和近海地区进行规划、设计、施工等应用需要的地理信息。它的分级如下：直角坐标格网系统*直角坐标格网的比例尺与格网等级不是唯一对应的，一种比例尺对应两种格网等级，用户可根据需要选择一种。格网等级12345678999格网边长(m)100050025010050251052.5200100比例尺1:100万1:50万1:25万1:10万1:5万1:2.5万1:1万1:5千1:20万在地理信息系统中，还需要用到1:2000、1:1000和1:500的地形图，在国家标准中未规定它们的格网等级和格网单元边长，可根据实际需要自行设计（一般为2.5m、2m、1m或0.5m的格网）。自行设计的格网系统上述三种地理格网均按地球象限、经纬度或直角坐标进行划分，具有严格的数学基础，因此它们之间可以相互转换。三种格网的分级各呈一定的层次关系，构成完整的系列，便于组成地区的、国家的或全球的格网体系。在建立数字城市时，通常采用直角坐标格网系统。它具有实地格网大小相等，便于将大比例尺解析测图仪生产作业的数据作为信息系统的数据源和便于同卫星图像、

DTM数据重叠匹配等优点。但采用高斯投影时，在分带边缘会产生许多不完整的网格，难以将分带计算产生的网格拚接在一个坐标系中。因此，若一个城市区域跨带时需先进行换带计算，使整个城市纳入一个投影带，然后再建立地理格网。4、格网设计原则《地理格网》标准的设计遵循如下原则。（1）科学性。三种格网系统可以相互转换，具有严格的数学基础.（2）系统性.三种格网的分级各呈一定的比例关系，构成完整的系列.（3）实用性。格网的划分，充分考虑不同用户需要及现行的测绘基础.（4）可扩展性。格网的分级与编码设计，充分考虑了发展的需要.2.5.2区域划分标准1.区域多边形系统的含义及其划分原则1）区域多边形系统的含义

地球上各种地理要素都是按一定的空间位置在一定范围内分布的，这些不同性质的范围形成各种各样的区域，每种区域都有它明确或模糊的边界。

这种界线或者是由地理要素自然分布的现象所确定的，也可能是因管理和发展需要而划分的，这些区域在实地表现为多种多样，按一定数字法则反映在地图上时，