湖北省武汉市蔡甸区第二中学2021年高二数学理期末试题含解析

湖北省武汉市蔡甸区第二中学2021年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.两人约定在8点到9点之间相见，且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，则两人在约定时间内能相见的概率是

（

）A．

B．

C． D．参考答案：B略2.已知条件：，条件：，则是成立的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既非充分也非必要条件参考答案：B略3.已知一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，，4，若该长方体的顶点都在一个球的球面上，则这个球的体积为（）A．288π B．144π C．108π D．36π参考答案：D【考点】球的体积和表面积．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，得出长方体内接于球，球的直径等于长方体的对角线长，由此求出球的半径与体积．【解答】解：根据题意，长方体内接于球，所以球的直径为该长方体的对角线；即（2R）2=32++42=36，解得R=3；所以这个球的体积为V球=πR3=×π×33=36π．故选：D．【点评】本题考查了球的内接长方体以及球的体积的应用问题，也考查了空间想象能力，是基础题．4.下列命题：①命题“若，则”的逆否命题：“若，则”②命题，则③“”是“”的充分不必要条件。④若为真命题，则均为真命题其中真命题的个数有（

）A．4个

B．3个

C．2个

D．1个参考答案：B5.若函数为偶函数，则函数的一条对称轴是

A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.直线的斜率为A.

B.

C.

D.参考答案：A7.程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.已知函数是定义在上的偶函数，为奇函数，，当时，log2x，则在内满足方程的实数为（

）A、

B、

C、

D、

参考答案：C略9.已知，其中为虚数单位，则（

）A． B． C． D．参考答案：B略10.如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，那么抛物线的方程是（

）A.

y2＝－16x

B.

y2＝12x

C.

y2＝16x

D.

y2＝－12x参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若有极值，则的取值范围是

.参考答案：略12.给出下列等式：×=1﹣；；…由以上等式推出一个一般结论：对于n∈N*，=

．参考答案：1﹣【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为×，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为，由此即可得到结论．【解答】解：由已知中的等式：×=1﹣；；…由以上等式我们可以推出一个一般结论：对于n∈N*，=1﹣．故答案为：=1﹣．【点评】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．13.已知直线与函数的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是

.参考答案：14.设函数，，则

。参考答案：略15.设函数，则满足的的取值范围是___________.参考答案：略16.设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为________________.参考答案：17.（几何证明选讲选做题）如图所示，圆的直径，为圆周上一点，．过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点，则线段的长为

．参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）设椭圆的左焦点为，离心率为，过点F且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）设A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为的直线与椭圆交于C、D两点，若的值.参考答案：19.宇宙深处有一颗美丽的行星，这个行星是一个半径为r（r>0）的球。人们在行星表面建立了与地球表面同样的经纬度系统。已知行星表面上的A点落在北纬60°，东经30°；B点落在东经30°的赤道上；C点落在北纬60°，东经90°。在赤道上有点P满足PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离。（1）求AC两点间的球面距离；（2）求P点的经度；（3）求AP两点间的球面距离。参考答案：设球心为O，北纬60°圈所对应的圆心为O’，（1）那么OO’=。O’A=O’C=。又因为∠AO’C=60°。所以AC=。那么∠AOC=（）两点间的球面距离为（）（2）PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离，所以PB=AB。可知∠POB=∠AOB=60°，又P点在赤道上。所以P点的经度为东经90°或西经30°。（3）显然P点的两种可能对应的AP间的球面距离相等。不妨P所在的经度为东经90°。由条件可知O’A平行OB且等于OB的一半，延长BA与OO’交于D点，那么。而O’C平行OP且等于OP的一半，所以D、P、C共线且。可知AC∥BP，所以A、B、C、P共面。20.如图，圆锥中，、为底面圆的两条直径，，且，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求圆锥的表面积.参考答案：解：（1）连结，

、分别为、的中点，，，平面.（2），

，，

.

略21.夏天喝冷饮料已成为年轻人的时尚.某饮品店购进某种品牌冷饮料若干瓶，再保鲜.（Ⅰ）饮品成本由进价成本和可变成本（运输、保鲜等其它费用）组成根据统计，“可变成本”y（元）与饮品数量x（瓶）有关系.y与x之间对应数据如下表：饮品数量x（瓶）24568可变成本y（元）34445

依据表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；如果该店购入20瓶该品牌冷饮料，估计“可变成本”约为多少元？（Ⅱ）该饮品店以每瓶10元的价格购入该品牌冷饮料若干瓶，再以每瓶15元的价格卖给顾客。如果当天前8小时卖不完，则通过促销以每瓶5元的价格卖给顾客(根据经验，当天能够把剩余冷饮料都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进)．该店统计了去年同期100天该饮料在每天的前8小时内的销售量(单位：瓶)，制成如下表：每日前8个小时销售量（单位：瓶）15161718192021频数10151616151315

若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，若当天购进18瓶，求当天利润的期望值.（注：利润=销售额－购入成本－“可变本成”）参考公式：回归直线方程为，其中参考数据：，

.参考答案：(Ⅰ)，可变成本”约为元；(Ⅱ)利润的期望值为元【分析】（Ⅰ）将关于之间对应的数据代入最小二乘法公式求出与，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程可得出“可变成本”的值；（Ⅱ）根据利润公式分别算出当销量分别为瓶、瓶、瓶、瓶时的利润和频率，列出利润随机变量的分布列，结合分布列计算出数学期望值，即可得出答案。【详解】（Ⅰ），，，，，，所以关于的线性回归方程为：当时，，所以该店购入20瓶该品牌冷饮料，估计“可变成本”约为元；（Ⅱ）当天购进18瓶这种冷饮料，用表示当天的利润（单位：元），当销售量为15瓶时，利润，；当销售量为16瓶时，利润，；当销售量为17瓶时，利润，；当销售量为18瓶时，利润，；那么的分布列为：52.162.172.182.1

的数学期望是：，所以若当天购进18瓶，则当天利润的期望值为元.【点睛】本题考查回归直线方程以及随机变量的分布列与数学期望，在求解随机变量分布列时，关键要弄清楚随机变量所服从的分布类型，掌握各分布类型的特点，考查分析问题能力与计算能力，属于中等题。

22.从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：①、能组成多少个没有重复数字的七位数？②、上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？③、在①中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？④、在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？.参