山西省晋城市川底中学2021年高二数学文联考试题含解析

山西省晋城市川底中学2021年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．都是奇数B．都是偶数C．中至少有两个偶数D．中至少有两个偶数或都是奇数10.计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：，则A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.下列导数运算错误的是（）A．（x﹣2）′=﹣2x﹣1 B．（cosx）′=﹣sinx C．（xlnx）′=1+lnx D．（2x）′=2xln2参考答案：A【考点】导数的运算．【分析】根据基本求导公式求导即可．【解答】解：对于A：（x﹣2）′=﹣2x﹣3，故错误，对于B，（cosx）′=﹣sinx，故正确，对于C（xlnx）′=1+lnx，故正确，对于D，（2x）′=2xln2，故正确，故选：A．3.函数的极值点的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D4.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是()

A. B.

C. D.参考答案：A略5.一组数据的平均数是，方差是，若将这组数据中的每一个数据都加上，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D6.在等比数列中，表示前n项和，若，则公比（

）A．-3

B．3

C．-1

D．1参考答案：B7.已知，则“”是“恒成立”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B8.已知数列则是它的

（

）A.

第项

B.

第项

C.

第项

D.

第项参考答案：B9.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C10.若函数和的定义域、值域都是，则不等式有解的充要条件是（

）A．

B．有无穷多个，使得C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设正数等比数列{}的前n项和为，若

参考答案：912.已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为．参考答案：

【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件列出不等式，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，可得：，，解得e=．故答案为：．13.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第个图有个树枝，则与之间的关系是．参考答案：略14.已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤．（1）当满足条件

时，有；（2）当满足条件

时，有．参考答案：15.点M（2，1）到直线的距离是

．参考答案：【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】利用点到直线的距离公式即可求得答案．【解答】解：设点M（2，1）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为d，由点到直线的距离公式得：d==．故答案为：．【点评】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．16.向平面区域{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}内随机投入一点，则该点落在区域{（x，y）|x2+y2≤1}内的概率等于

．参考答案：【考点】几何概型．【专题】转化思想；数形结合法；概率与统计．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的几何面积，利用几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：平面区域{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}对应的区域为正方形ABCD，对应的面积S=2×2=4，区域{（x，y）|x2+y2≤1}对应的区域为单位圆，对应的面积S=π，则对应的概率P=，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应区域的面积是解决本题的关键．17.在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为

．参考答案：50π【考点】球的体积和表面积．【专题】球．【分析】根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，此时过点P和Q的所有球中，表面积最小的球，即可求解．【解答】解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，内部图形如图．则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线，过点P和Q的所有球中，此时外接球的表面积最小．∴2r==．∴r=由球的表面积公式得：S=4πr2=50π故答案为：50π．【点评】本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系．判断长方体的对角线是过P和Q的所有球中，最小的球是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，，都有，则称S具有性质P．（1）当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由．（2）若时①若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由；②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.试题分析：（1）当时,,结合新定义的性质P可知集合不具有性质.集合具有性质.（2）当时,,①若集合具有性质,那么对于中的任意两个元素,存在成立,则对于中的任意两个元素成立,所以集合一定具有性质.②已知,设是中最小的元素,则,并且.可得集合中元素最多的理想状态是集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多出一整组（个）,即有组元素在集合中,组元素不在集合中,此时满足.很明显不存在满足上式的,理想状态不存在.接下来,令集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多个,讨论可得集合中元素个数的最大值是.试题解析：（1）当时,,,对于中的任意两个元素,不存在,所以集合不具有性质.,对于中的任意两个元素,存在,所以集合具有性质.（2）当时,,①若集合具有性质,那么对于中的任意两个元素,存在成立,集合{},则对于中的任意两个元素,一定存在成立,所以集合一定具有性质.②已知,设是中最小的元素,则有,并且,并且,以此类推,并且.因为要求集合中元素个数的最大值,不妨从集合中排除不满足条件的元素.令,则有,并且.故集合中的元素被分为两部分,从开始以个数为一组进行分组,第一组的元素在集合中,第二组的元素不在集合中,第三组的元素在集合中,第四组的元素不在集合中,以此类推,一直到集合中没有元素.所以集合中元素最多的理想状态是集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多出一整组（个）,即有组元素在集合中,组元素不在集合中,此时满足.因为是奇数,是偶数,所以为偶数,则有.然而是质数,不存在满足上式的,理想状态不存在.接下来,令集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多个,此时满足,即,此时显然越大,集合中元素越多.取,得,此时集合中元素最多,为.所以,集合中元素个数的最大值是.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.19.如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，求此抛物线的方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，可求得p的值，即求得抛物线的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），过焦点F（，0）的直线l设为y=k（x﹣），代入抛物线方程，可得k2x2﹣p（k2+2）x+=0，x1x2=．k不存在，上式显然成立．作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6?x=1，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，∴（3﹣）（1﹣）=，解得p=．即有抛物线的标准方程为y2=3x．【点评】此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定要注意对几何图形的研究，以便简化计算．20.（本题满分12分）已知曲线：（为参数），：（为参数）．（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线：（为参数）距离的最小值．

参考答案：两式平方相加消去参数，得曲线的普通方程为：．为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．………………6分（Ⅱ）因为上的点对应的参数为，故，又为上的点，所以，故中点为．21.在中，内角A，B，C的对边分别是，．

(1)求角C的大小；(2)若，求边的长.参考答案：

，（2）由余弦定理得，，即，代入得，，因此略22.已知曲线C：f（x）=x3﹣x+3（1）利用导数的定义求f（x）的导函数f'（x）；（2）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）运用导数的定义，求得△y，和f'（x）=，计算即可得到所求；（2）由导数的几何意义，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可得到