机械工程控制基础及应用PPT完整全套教学课件

机械工程控制基础及应用学习情境一绪论单元一控制系统的基础1.自动控制理论的发展和应用2.自动控制系统的基本概念3.控制系统的基本控制方式4.闭环控制系统的典型组成和基本概念5.自动控制的基本类型6.对控制系统的基本要求7.控制理论在机械制造工业中的应用8.控制工程的主要任务学习情境一绪论学习目的1.掌握控制系统的工作原理、组成及其分类

2.理解对控制系统的基本要求

3.了解控制工程的发展概况内容提要本章主要阐述控制系统的工作原理、组成及其分类和对控制系统的基本要求重

点控制系统的工作原理难

点确定系统的输入量和输出量；寻找反馈通道情境导入飞机自动驾驶系统

控制工程作为一门基础的学科在我们日常生活中的应用非常广泛，小到电风扇，洗衣机；大到飞机，火箭等都离不开控制工程的知识。在这就以飞机自动驾驶系统来说明控制系统的工作原理。学习情境一绪论学习导航

为了减轻飞行员的负担，使飞机自动按设定的姿态、航向、高度和马赫数飞行，人们利用控制工程的知识为飞机制造安装了飞机自动驾驶仪系统。学习情境一绪论自动驾驶仪系统原理图

如同飞行员操纵飞机一样，自动驾驶仪控制飞机飞行是通过控制飞机的3个操纵面的偏转，改变多面的空气动力特性，以形成围绕飞机质心的旋转转矩，从而改变飞机的飞行姿态和轨迹。图1-1a为飞机一自动驾驶仪系统稳定俯仰角的工作原理示意图。学习情境一绪论飞机一自动驾驶仪系统学习情境一绪论图1-1图中，垂直陀螺仪作为测量元件用以测量飞机的俯仰角，当飞机以给定俯仰角水平飞行时，陀螺仪电位器没有电压输出；如果飞机受到扰动，使俯仰角向下偏离期望值，陀螺仪电位器输出与俯仰角偏差成正比的信号，经放大器放大后驱动舵机，一方面推动升降舵面向上偏转，产生使飞机抬头的转矩，以减小俯仰角偏差；同时还带动反馈电位器滑臂，输出与舵偏角成正比的电压并反馈到输入端。随着俯仰角偏差的减小，陀螺仪电位器输出信号越来越小，舵偏角也随之减小，直到俯仰角回到期望值，这时舵面也恢复到原来状态。一自动控制理论的发展和应用自动控制理论大致可分为三个时期。学习情境一绪论1.经典控制理论是以传递函数为基础的一种控制理论，控制系统的分析与设计是建立在某种近似的和(或)试探的基础上的、控制对象一般是单输入单输出、线性定常系统2.现代控制理论是建立在状态空间上的一种分析方法，它的数学模型主要是状态方程，控制系统的分析与设计是精确的。3.智能控制理论是一种能更好地模仿人类智能的、非传统的控制方法，它采用的理论方法则主要来自自动控制理论、人工智能和运筹学等学科分支。二自动控制系统的基本概念自动控制系统的工作的基本原理学习情境一绪论为了更好的理解自动控制的含义，下图是一个水箱水位控制系统的示意图a为人工控制示意图，人根据自己的观察实际水位，并与想要得到的水位相比较，得出偏差，根据偏差调节阀门的开度，使水箱的水位与要求值一致。b为自动控制水位的系统示意图，当水位低于要求水位时，电位器输出电压为正值，且其大小反应了实际水位与要求水位的差值，放大器将有正的变化，电动机带动减速器使阀门的开度增大，直到实际水位与要求相等。三控制系统的基本控制方式学习情境一绪论1开环控制定义：开环控制是指系统的输出端和输入端之间不存在反馈回路，或者说，系统的输出量不对系统的控制产生任何作用的控制过程特点：①系统输出量对控制作用无影响;②无反馈调节；③出现干扰时，只能靠人工消除；④无法实现高精度控制。

示例：房间温度控制系统被控对象房间这个动态系统的输入是热量，输出是房间温度，控制目的是保持室温在预定值。采用开环控制的方案如上图所示。可根据一天中室内外气温变化的大概规律，通过预定程序控制器控制加热器的燃料，从而控制房间的温度。缺点：不能有效对付干扰，如门窗的开、关，室外风速引起的变化，人的流动、房屋模型建模不准确导致预定程序不准确等干扰因素三控制系统的基本控制方式学习情境一绪论2闭环控制定义：闭环控制是指系统的输出端和输入端之间存在反馈回路，或者说，系统的输出量至接或间接的参与了系统控制作用的控制过程。特点：①系统输出量对控制作用有影响;②有反馈调节；③出现干扰时可以自动减弱其影响；④可以实现高精度控制。由11台小型电动机驱动的战神汽车sojourner四闭环控制系统的典型组成和基本概念

采用反馈控制的方案如图a所示，即利用温度自动调节器来调节温度。一旦温度到达新的值，就开始在某一幅值范围（σ为温度自动调节器的偏差）内振动，振动是由于室温的上升有很大的惯性滞后造成的。采用图a所示反馈控制系统后，当设定温度阶跃变化后，房间温度的变化曲线如图b所示。学习情境一绪论图a图b

典型的闭环控制系统的基本组成如下图所示，分为被控对象和控制装置两大部分。在不同的系统中，控制装置包含的基本元件有所不同，按照功能可以分成以下几类。学习情境一绪论学习情境一绪论

1.测量元件；检测被控量并将其转换成需要的物理量形式。例如，测速发电机测量电动机转速，并转换成对应的电压信号传递回输入端；自整角机测量角位移并转换成电压信号；热电偶测量温度，转换为电压信号。

2.比较元件；将检测环节反馈回来的信号与给定量进行比较，确定两者之间的偏差。电压信号的比较通常可以通过电路实现，其他常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置、自整角机等。3.放大元件；比较得到的偏差量通常较小，功率不够，不能直接作用于执行机构，需要经过放大环节。例如可采用集成电路、晶闸管、全控型开关器件等组成放大电路对电压偏差信号加以放大。

4.执行元件；直接作用于被控对象，使被控量按照期望发生变化。常用执行元件有阀、电动机等。

5.校正元件；是人为加入系统的可以直接调整结构或参数的元件。接入系统的方式有串联、反馈等，目的是改善系统的各项性能。五自动控制的基本类型

控制系统的种类很多，在实际工程中，除了按控制方式，还可以从不同的角度对控制系统进行分类。学习情境一绪论（一）按输入量的特征分类

1.伺服系统学习情境一绪论

伺服系统在工业部门又称随动系统。这种系统的输入信号的变化规律一般是不能预先确定的。当输入信号发生变化时，则要求输出信号迅速而平稳地跟随着变化，且能排除各种干扰因素的影响，准确地复现输入信号的变化规律。控制输入指令可以由操作者根据需要随时发出，也可以由目标物或相应的测量装置发出例右图所示为液压仿形刀架工作原理图。学习情境一绪论当滑阀阀芯9处于图示中间位置时，没有压力油进入液压缸前后两腔，液压缸不动。当滑阀阀芯偏离中位，例如触销上抬，阀芯向前移动时，节流口b、d保持关闭，节流口a、c打开，压力油经节流口c进入液压缸前腔，而其后腔的油液经节流口a流回油箱，缸体带动刀具向前运动；同样，当滑阀阀芯偏离中位向后移动，节流口a、c关闭，b、d打开，压力油经节流口b进入液压缸后腔，而缸前腔的油液则经节流口d流回油箱，缸体带动刀具向后运动。图中，液压缸缸体和控制阀阀体连成一体，形成液压缸运动的负反馈，使液压缸缸体与阀芯的运动距离和方向始终保持一致，所以液压缸缸体6完全跟随滑阀阀芯9（触销10）运动。因此，这是一个随动（伺服）系统。更换样件11，就可以仿形加工各种复杂零件。液压仿形刀架工作原理图

2.恒值控制系统学习情境一绪论这种控制系统的输入量是一个恒定值，一经给定在运行过程中就不再改变（可在停止期校准或改）；恒值控制系统的任务是保证在各种扰动作用下，系统的输出量为恒值。工业生产中的温度、压力、流量、液面等参数的控制，有些原动机的速度控制，机床的位置控制，电力系统的电网电压、频率控制等，均属此类。

3.程序控制系统学习情境一绪论这种系统的输入量不为常值，但其变化规律是预先知道和确定的。可以预先将输入量的变化规律编成程序，由该程序发出控制指令，在输入装置中再将控制指令转换为控制信号，经全系统作用，使控制对象按指令的要求而运动计算机绘图仪就是典型的程序控制系统。化学工业中，化工处理的过程常用程序控制系统。例下图表示一个用于机床切削加工的程序控制系统。（二）按系统中传递信号的性质分类

1.连续控制系统学习情境一绪论系统中各部分传递的信号都是连续时间变量的系统称为连续控制系统。连续控制系统又有线性系统和非线性系统之分。能用线性微分方程描述的系统称为线性系统，不能用线性微分方程描述、存在着非线性部件的系统称为非线性系统。

（二）按系统中传递信号的性质分类

2.离散控制系统学习情境一绪论

系统中某一处或数处的信号是脉冲序列或数字量传递的系统称为离散控制系统。在离散系统中，数字测量、放大、比较、给定等部件一般均由微处理机实现计算机的输出经D/A转换加给伺服放大器，然后再去驱动执行元件；或由计算机直接输出数字信号，经数字放大器后驱动数字式执行元件。

1.连续控制系统

系统中各部分传递的信号都是连续时间变量的系统，称为连续控制系统。（三）按系统的数学描述性质分类

1.线性控制系统学习情境一绪论能用线性运动微分方程描述的系统，称为线性控制系统。线性系统的重要特性是满足叠加原理

叠加原理包含叠加性和齐次性。所谓叠加性是指，作用于线性系统的多个输入信号产生的总响应等于各个输入信号单独作用于系统时产生的响应的代数和；叠加性也指，系统对输入信号的微分或积分的响应等于系统对输入信号响应的微分或积分。所谓齐次性是指，如果输入信号（t）作用于线性系统引起响应(t)，那么在（t）的作用下，该系统的响应相应地为（t）。在这里，k为常数。线性系统的叠加原理可用右图形象地描述。学习情境一绪论2.非线性系统

不能用线性运动微分方程描述的系统，称为非线性控制系统。非线性系统的重要特点是含有（即使只有一个）非线性元件，它的输出一输入关系要用图非线性微分方程描述，系统的分析需要应用非线性控制理论。必须指出，本课主要研究线性控制系统。

此外，还可按系统部件的物理属性分为机械、机电、液压、电气、气动、热力等控制系统。六对控制系统的基本要求学习情境一绪论2快速性：这是在系统稳定的前提下提出的，是指当系统输出量与给定的输人量之间产生偏差时，消除这种偏差过程的快慢程度。1稳定性：系统往往存在惯性，当系统的各个参数设置不当时，将会引起系统的振荡而失去工作能力。稳定性就是指动态过程的振荡倾向和系统能够恢复平衡状态的能力。输出量偏离平衡状态后应该随着时间收敛并且最后回到初始的平衡状态。稳定性的要求是系统工作的首要条件。3准确性：是指在调整过程结束后输出量与给定的输人量之间的偏差，或称为精度，这也是衡量系统工作性能的重要指标。例如，数控机床精度越高，则加工精度也越高。七控制理论在机械制造工业中的应用

随着控制理论的发展，控制理论在机械制造工业中的应用越来越广泛。学习情境一绪论例1

在机械行业中广泛使用的数控机床，其进给系统是典型的反馈控制系统。图1-9表示一种三坐标闭环数控机床。其中，x方向控制工作台沿丝杠轴方向水平移动工件；y方向控制立铣头沿与丝杠轴正交的水平方向移动；z方向控制垂直进刀学习情境一绪论

学习情境一绪论例3一个用于制造纸张的机器如图1-11所示。其中有两个参数使用了反馈控制：一个是纤维的稠密度，控制的是从压头箱流到造纸网的厚坯的浓度；另一个是从干燥机出来的最终产品的含水量。成浆池流出造纸原料由白水稀释，白水由造纸网回流得到并受控制阀控制（CV）。系统中有仪表提供稀释后原料浓度的读数。在机器后面的干燥部分有湿度传感器。学习情境一绪论例4右图为谷物湿度自动控制系统示意图。在将谷物磨成粉的生产过程中，有一个出粉最多的湿度。因此磨粉之前要先给谷物加水以得到给定的湿度。图中的谷物用传送带按一定的流量通过加水点，加水量由自动阀门控制。加水过程中，谷物流量、加水前谷物的湿度以及水压都对谷物湿度控制起扰动作用。为了提高控制精度，系统中采用了谷物温度的顺馈控制。学习情境一绪论例5柔性制造系统是控制理论实现整个加工车间自动化的具体应用。在柔性制造系统中，将计算机数控加工中心、工业机器人以及自动导引车连接起来，以适应加工成组产品。右图表示了一柔性制造系统。它由l台铣削数控加工中心、1台车削数控加工中心、1台关节式工业机器人、1台门吊式工业机器人、3辆自动导引车、装卸站以及刀具库等组成，并通过单元控制器与局域网相连，以实现各个独立设备之间的通信。八控制工程的主要任务控制工程基础主要研究工程中各种物理本质不同的控制系统共同存在的控制规律，研究工程系统状态变量的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能之间的确定的、定量的关系。主要研究两方面的问题：学习情境一绪论（1）系统分析：在控制系统的结构和参数己经确定的条件下，对系统的性能进行分析，并提出改善性能的途径。（2）系统综合：根据控制系统要实现的任务，给出稳态和动态性能指标，要求组成一个系统，并确定适当的参数，使系统满足给定的性能指标。学习情境一绪论难点回顾1.控制系统的工作原理2.确定系统的输入量和输出量；寻找反馈通道机械工程控制基础及应用学习情境二控制系统的数学模型学习情境二控制系统的数学模型单元一控制系统的数学模型

单元二控制系统的数学模型1拉氏变换定义和意义2几种典型函数的拉普拉斯变换3拉氏变换的主要定理4拉氏变换的反变换5求解线性微分方程的拉氏变换应用学习情境二控制系统的数学模型单元三控制系统的传递函数描述1传递函数的定义2传递函数的性质3特征方程、极点和零点学习情境二控制系统的数学模型单元五控制系统的结构图和信号流图1系统结构图2信号流图3梅逊公式

单元四典型环节的传递函数1比例环节2惯性环节3积分环节4微分环节5二阶微分环节6振荡环节7延迟环节学习情境二控制系统的数学模型学习目的1.

了解建立系统数学模型的一般步骤2.掌握拉氏变换和反变换方法3.掌握建立系统数学模型的各种方法（包括时域、复数域；解析式、图示式）4.了解非线性数学模型线性化的方法

内容提要本章主要阐述控制系统数学模型的基本概念、时域模型——运动微分方程和复数域模型——传递函数的建立、数学模型的图示法——方框图和信号流图的建立步骤与方法，介绍拉氏变换与拉氏反变换

重

点传递函数概念的建立、典型环节和控制系统传递函数的推导难

点实际物理系统，特别是机械系统传递函数的推导单元一控制系统的数学基础学习情境二控制系统的数学模型一、拉氏变换定义和意义拉普拉斯变换属于积分变换的一种形式，它可以将一个时域函数变换为一个复域函数。设时域函数满足以下条件：（1）为实函数；（2）当时，；（3）当时，的积分在s的某一域内收敛，s为复变数；则函数的拉普拉斯变换存在，并定义为F(s)称为函数的拉普拉斯变换或象函数；称为F(s)的原函数；L为拉普拉斯变换的符号（本书中如果不做特别说明，小写字母表示原函数，大写字母表示象函数）。学习情境二控制系统的数学模型在控制系统中的一些时间函数大都是满足以上条件的，因此一般来说，拉普拉斯变换的定义式总是成立的10tf(t)单位阶跃函数学习情境二控制系统的数学模型二、几种典型函数的拉普拉斯变换（一）单位阶跃函数的拉氏变换（二）指数函数的拉氏变换（a为常数）指数函数0tf(t)1学习情境二控制系统的数学模型（三）正弦函数与余弦函数的拉氏变换正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由欧拉公式，有：

学习情境二控制系统的数学模型从而：同理：学习情境二控制系统的数学模型（四）单位脉冲函数的拉氏变换0tf(t)单位脉冲函数1由洛必达法则：所以：学习情境二控制系统的数学模型学习情境二控制系统的数学模型（五）幂函数的拉氏变换（六）单位速度函数的拉氏变换10tf(t)单位速度函数1学习情境二控制系统的数学模型（七）单位加速度函数的拉氏变换单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。

学习情境二控制系统的数学模型三、拉氏变换的主要定理

学习情境二控制系统的数学模型性质1

线性定理齐次性设，则叠加性设，，则性质2衰减定理，设，则性质3延时定理，设，则学习情境二控制系统的数学模型

性质4微分定理，设，则两个重要推论：推论一：推论二：零初始条件下，则上式可简化

性质5积分定理，设，则学习情境二控制系统的数学模型两个重要推论：式中：，，...，为的各重积分在t=0时刻的值②零初始条件下，则上式可简化①学习情境二控制系统的数学模型学习案例：衰减震荡过程，求其拉氏变换的象函数F(s)案例分析：看此函数结构，跟公式、性质对比没有直接可以变换的，所以先将公式变形成跟公式、定理一样的，再进行运算。

根据三角函数性质，有学习情境二控制系统的数学模型利用叠加定理和衰减定理，得四、拉氏变换的反变换学习情境二控制系统的数学模型拉普拉斯反变换是从象函数F(s)变换为原函数的过程。在控制工程领域中，经常需要拉普拉斯反变换。拉普拉斯反变换的公式为式中：为拉普拉斯反变换的符号下面，分两种情况讨论通过部分分式展开法求拉氏反变换的方法学习情境二控制系统的数学模型（一）无重根，含有不同单极点式中，是待定系数，它是处的留数，其求法如下再根据拉氏变换的叠加定理，求原函数学习情境二控制系统的数学模型例2.1求的原函数解：将的分母因式分解，则有求系数和学习情境二控制系统的数学模型因此（二）有重根，含有相同的单极点若A(s)包含在实数域中不可分解的二次因式，则F(s)必含有共轭复数极点。式中学习情境二控制系统的数学模型上式中和可以根据下面的公式，通过待定系数法求出令上式左右两边实部和虚部对应相等，即可求出例2.2求F(s)的拉氏变换，解：将的分母因式分解，则有学习情境二控制系统的数学模型式中所以原函数为学习情境二控制系统的数学模型五、求解线性微分方程的拉氏反变换应用学习案例：设有线性微分方程，初始条件求其解案例分析：设，对方程两边进行拉普拉斯变换代入初始条件，得学习情境二控制系统的数学模型部分分式展开法求得拉普拉斯反变换为了此即为该线性微分方程的解学习情境二控制系统的数学模型（一）电气系统如图2-3所示的是简单地R-C无源网络，常作为控制系统的校正元件。电阻值R和电容值C都是常量。设系统的输入电压为，输出电压为图2-3R-C无源网络根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有学习情境二控制系统的数学模型（二）机械系统如图2-2所示为常见的机械系统的质量-弹簧-阻尼系统，输入外力,作用于系统时产生输出位移，K为弹簧弹性系数，B为阻尼系数。图2-2质量-弹簧-阻尼系统根据牛顿第二定律，对质量m作受力分析，有式中：和分别为弹簧和阻尼筒对质量块的作用力学习情境二控制系统的数学模型令,为时间常数，上式可写成如下形式此R-C无源网络的数学模型为一阶微分方程，对应电路中储能元件C的运动规律学习情境二控制系统的数学模型低通滤波器允许输人信号中频率低于设定截止频率的信号分量通过，而会阻止频率高于截止频率的信号分量。如图2-3所示，输入信号为，输出信号为，、、L和C为常量，试写出之间的动态关系式。图2-3低通滤波器的R-L-C电路实现在输入电压的改变，电阻R、电容C和电感L的两端电压发生改变，建立微分方程。学习案例：学习情境二控制系统的数学模型解：(1)确定系统的输人量和输出量。输人电压为系统输入量，输出电压为电容器C两端电压输出量。电路中的电流为中间变量。列出各环节的原始微分方程。由电路理论中的基尔霍夫定律和欧姆定律，有（2-5）（3）消去中间变量，得到输入输出微分关系式为（2-6）案例分析：学习情境二控制系统的数学模型可以看出，此电路包含两个储能元件，所以式（2-6）中的导数项最高阶数为2，表现为一个线性定常系统二阶微分方程。学习情境二控制系统的数学模型单元三控制系统的传递函数描述一、传递函数的定义对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与引起输出的输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数关于传递函数的几点说明：（一）传递函数是线性定常系统的一种输入输出关系描述，可作为线性定常系统的态数学模型，取决于系统（或元件）的结构和参数，与输入函数无关。学习情境二控制系统的数学模型（二）设系统传递函数具有m个零点个极点，则系统传递函数写成零极点形式的零极点分布决定系统的动态特性（三）由传递函数定义式，有从而当输入为单位脉冲函数时，即，所以学习情境二控制系统的数学模型令为系统的单位脉冲响应函数，则即系统脉冲响应函数为本身传递函数的拉普拉斯反变换（四）传递函数的框图形式如图2-7所示。两端的箭头表示输人量和输出量，方中写明该环节的传递函数图2-7传递函数的框图学习情境二控制系统的数学模型（五）传递函数的应用条件：1.系统的初始状态为零对初始状态不为零的系统，需要返回到微分方程形式，代人初始状态进行分析；2.系统为单输人传递函数的框图单输出（SISO）线性系统。对多输人多输出（MIMO）系统，需将传递函数扩展为传递函数矩阵的形式；3.传递函数只能反映系统输人输出系，不能反映系统内部各变量之间及其与输人、输出变量之间的关系。讨论内部变量系，需要采用现代控制论中的状态空间方法。学习情境二控制系统的数学模型（一）比例环节（或称放大环节、零阶环节）凡输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟而按比例地反映输人的环节称为比例环节其微分方程式为，其中K为常数，称为放大系数或增益。比例环节传递函数的典型形式为单元四典型环节的传递函数学习情境二控制系统的数学模型（二）惯性环节（或称一阶惯性环节）其微分方程的一般形式为惯性环节传递函数的典型形式为式中：T为惯性环节的时间常数

例2.3图2-9中的为无源RC滤波网络，为输人电压，为输出电压，R为电阻，C为电容。求其传递函数学习情境二控制系统的数学模型图2-9无源RC滤波网络解：根据克希荷夫定律有：学习情境二控制系统的数学模型消去得传递函数为可见，该环节的时间常数，本系统之所以成为惯性环节，是由于含有容性储能元件C和阻性耗能元件R学习情境二控制系统的数学模型（三）积分环节凡具有输出正比于输人对时间的积分，即具有微分方程式的环节称为积分环节。显然，其传递函数为式中：T为积分环节的时间常数积分环节的一个重要特点是具有明显的滞后作用，而当输入消失，输出具有记忆功能。学习情境二控制系统的数学模型（四）微分环节具有输出正比于输人的微分，即具有微分方程式的环节称为微分环节。显然，其传递函数为式中：T为微分环节的时间常数学习案例：图2-11所示微机械-液压阻尼器的原理图。图中A为活塞面积，K为弹簧刚度，R为节流阀液阻，、分别为液压缸左、右腔油液的工作压力，为活塞位移，是输人量，为液压缸位是输出量学习情境二控制系统的数学模型（五）二阶微分环节

式中，r为二阶微分环节的时间常数；为阻尼比运动方程：传递函数学习情境二控制系统的数学模型（六）振荡环节

含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：

传递函数：学习情境二控制系统的数学模型式中，T—振荡环节的时间常数

—阻尼比，对于振荡环节，0<<1

K—比例系数振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K=1）：n称为无阻尼固有频率。学习情境二控制系统的数学模型例2.4求图2-13所示机械平移系统的传递函数，输入力为，输出位移解：根据牛顿第二定律图2-13机械平移系统式中：为弹簧所产生的阻力，为阻尼器的阻尼力，代入上式，整理后得到系统的微分方程式：学习情境二控制系统的数学模型其传递函数为学习情境二控制系统的数学模型（七）延时环节延时环节是输出滞后输入时间但不失真地反映输入的环节延时环节和惯性环节有类似之处，二者的输出都要延迟一段时间才能达到给定的输入值。但与惯性环节不同，惯性环节从输入开始时刻起就已有了输出。而延时环节在输入开始之初的时间内并无输出，在后，输出就完全等于从一开始起的输入，且不再有其他滞后过程；简言之，输出等于输入，只是在时间上延时了一段时间间隔下图是延迟环节在阶跃信号作用下的输出学习情境二控制系统的数学模型单元五控制系统的结构图和信号流图系统结构图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。（一）系统结构图的组成一、系统结构图学习情境二控制系统的数学模型1.函数方块G(s)X1(s)X2(s)函数方框函数方框具有运算功能，即：

X2(s)=G(s)X1(s)传递函数的图解表示。系统结构图的结构要素学习情境二控制系统的数学模型2.信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。X(s),x(t)信号线学习情境二控制系统的数学模型3.引出点

表示信号引出或测量的位置和传递方向。

同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。

引出线X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)学习情境二控制系统的数学模型4.比较点信号之间代数加减运算的图解。用符号“”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。

相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。

X1(s)X2(s)X1(s)X2(s)学习情境二控制系统的数学模型ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。

学习情境二控制系统的数学模型求和点函数方框函数方框引出线Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框图示例任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。

学习情境二控制系统的数学模型（二）系统结构框图的绘制

步骤1建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。

2对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。3按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。

图示为一个机械系统。设作用力、位移分别为系统的输人量、输出量。如何用系统结构框图表示学习情境二控制系统的数学模型m1fi(t)K1Cx(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC学习情境：学习情境二控制系统的数学模型m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fCx(t)0xo(t)0案例分析：学习情境二控制系统的数学模型学习情境二控制系统的数学模型Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)(a)K1X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)学习情境二控制系统的数学模型Xo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s)(c)K2Xo(s)FK2(s)(d)学习情境二控制系统的数学模型Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)Xo(s)FK2(s)K1Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2机械系统方框图学习情境二控制系统的数学模型（三）系统结构图的简化1．方框的运算法则（1）串联连接G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s)...G(s)=G1(s)G2(s)···Gn(s)Xi(s)Xo(s)学习情境二控制系统的数学模型(2）并联连接Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)++Gn(s)...Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+

+Gn(s)学习情境二控制系统的数学模型（3）反馈连接G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)学习情境二控制系统的数学模型2.系统结构图的等效变换法则

（1）求和点的移动G(s)ABC±求和点后移G(s)ABC±求和点前移G(s)ABCG(s)±G(s)ABC±学习情境二控制系统的数学模型（2）引出点的移动引出点前移G(s)ACC引出点后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA学习情境二控制系统的数学模型例：求下图所示系统的传递函数。学习情境二控制系统的数学模型学习情境二控制系统的数学模型学习情境二控制系统的数学模型二、信号流图信号流图起源于梅逊（S.J.MASON）利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。（一）信号流的组成1.节点表示变量或信号，其值等于所有进人该节点的信号之和。例如：下图中、和是信号流图的节点学习情境二控制系统的数学模型2.输入节点

表示只有输出的节点，也称源点。例如，下图中是一个输人节点3.输出节点（阱节点、汇点）

只有输入的节点，代表系统的输出变量。

源节点汇点x1x2x3x4x5x51eafbdc1g学习情境二控制系统的数学模型4.混合节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可将混合节点变为输出节点。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g学习情境二控制系统的数学模型1.支路表示定向线段称为支路，其上的箭头表明信号的流向，各支路上还标明了增益，即支路的传递函数。例如，下图中从节点到为一支路，其中为该支路的增益；（二）信号流的术语学习情境二控制系统的数学模型2.通路沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。3.前向通路

从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g学习情境二控制系统的数学模型4.回路起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用La表示。

x1x2x3x4x5x51eafbdc1g5.不接触回路相互间没有任何公共节点的回路。

学习情境二控制系统的数学模型（三）信号流图的等效变换法则信号流图也可以等效变换，具体如下：

图2-31信号流图等效代换法则学习情境二控制系统的数学模型1.并联支路的总增益，等于所有支路增益的代数和。因此通过支路相加，可以将并支路合并为单一支路，如图2—31a)所示；2.串联支路的总增益，等于所有支路增益的乘积。因此通过支路相乘，可以将串联路合并为单一支路，如图2-31b）所示；3.回路可以消除，如图2—31c）所示，根据支路运算法则,,因此，消去回路；4.混合节点可以消除，如图2—31d）所示。信号流图广泛地应用于线性控制系统分析中。信号流图可以根据系统的微分方程式来画出来。学习情境二控制系统的数学模型学习案例:绘制下图所示系统结构框图对应的信号流图

案例分析：绘制信号流图时，方块图中的输人变量，输出变量，引出点、、以及三个比较点分别转换为信号流图中的相应节点，用小圆圈表示。信号线转化为支路，信号线上的方块图单元转换为带符号的增益写在支路的上方，增益的符号与比较点的符号一致。学习情境二控制系统的数学模型系统的信号流图如上图所示

三、梅逊公式学习情境二控制系统的数学模型式中，P—系统总传递函数Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益）—流图特征式学习情境二控制系统的数学模型—所有不同回路的传递函数之和；—每两个互不接触回路传递函数乘积之和—每三个互不接触回路传递函数乘积之和学习情境二控制系统的数学模型k—第k条前向通路特征式的余因子，即对于

流图的特征式，将与第k条前向通路相

接触的回路传递函数代以零值，余下的

即为k。

学习情境二控制系统的数学模型Ui(s)I1(s)–I2(s)UA(s)-11I2(s)-11-1Uo(s)1用梅逊公式求系统传递函数对于二阶RC电路网络，输入Ui(s)与输出Uo(s)之间只有一条前向通路，其传递函数为：学习案例：学习情境二控制系统的数学模型Ui(s)I1(s)–I2(s)UA(s)-11I2(s)-11-1Uo(s)1三个不同回路的传递函数分别为：L1L2L3学习情境二控制系统的数学模型流图特征式为：前向通路特征式的余因子为：所以，难点回顾1.传递函数概念的建立、典型环节和控制系统传递函数的推导2.实际物理系统，特别是机械系统传递函数的推导学习情境二控制系统的数学模型机械工程控制基础及应用学习情境三控制系统的时间响应分析单元一时域响应及典型的测试信号单元二一阶系统的时间响应分析1一阶系统的单位阶跃响应2一阶系统的单位速度响应3一阶系统的单位脉冲响应4线性定常系统时间响应的性质单元三二阶系统的时间响应及性能指标分析1二阶系统的时间响应2二阶系统的单位阶跃响应3二阶系统的单位脉冲响应4二阶系统的性能指标七、时域特性的计算机辅助分析八、小结学习情境三控制系统的时间响应分析单元四高阶系统的时间响应分析单元五常用系统的稳定性分析单元六系统的误差分析和计算学习情境三控制系统的时间响应分析学习目的

1.掌握一阶、二阶系统在典型输入信号作用下的时域响应和时域性能指标2.了解高阶系统时域响应的特点和主导极点的意义3.掌握系统误差的概念和计算稳态误差的方法4.掌握系统稳定的概念和分析、判别系统稳定的方法内容提要

本章主要阐述控制系统的时域响应、时域性能指标、误差分析与计算、稳定性分析与判别重

点

二阶系统的时域响应及其性能指标难

点二阶系统时域响应的数学表达式学习情境三控制系统的时间响应分析为了分析系统的性能，首先要建立其数学模型，尔后可用各种不同的分析方法对其进行分析研究。对于线性定常系统，常用的工程方法有时域分析法、根轨迹法和频率响应法。本章仅讨论控制系统的时域分析法。所谓系统的时域分析，就是对一个特定的输入信号，通过拉氏反变换，求取系统的输出响应。由于系统的输出量一般是时间t

的函数，故称这种响应为时域响应。一个稳定的控制系统，对输入信号的时域响应由两部分组成：瞬态响应和稳态响应。瞬态响应描述系统的动态性能；而稳态响应则反映系统的稳态精度。两者都是控制系统的重要性能，因此，在对系统设计是必须同时给予满足。单元一时域响应及典型的测试信号学习情境三控制系统的时间响应分析

一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动，扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时其函数形式也不可能事先获得。在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。例如，为了研究机床的动态特性，用电磁激振器给机床输入一个作用力F=Asin

以，这个作用力就是一个确定性信号。非确定性信号是其变量和自变量之间的关系不能用某一个确定的函数描述的信号，也就是说，它的变量和自变量之间的关系是随机的，只服从于某些统计规律。例如，在车床上加工工件时，切削力就是非确定性信号，由于工件材料的不均匀性和刀具实际角度的变化等随机因素的影响，所以无法用一确定的时间函数表示切削力的变化规律。学习情境三控制系统的时间响应分析尽管在实际中，输入信号很少是典型输入信号，但系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意信号的时间响应之间存在一定的关系，即(3-1)或写成（3-2）可见，只要求出系统对典型输入信号的响应，就能知道系统对其他任意输入信号的响应。典型输入信号的选取应满足以下几个要求：l）选取的输入信号应反映系统工作的大部分实际情况。2）所选输入信号的形式应尽可能简单，便于用数学式表达及分析处理。3）应选取那些能使系统工作在最不利的情况下的输入信号作为典型输入信号。学习情境三控制系统的时间响应分析

如果系统在典型输入信号下其性能满足要求，可以断言系统在实际输入信号下的性能也能令人满意。常见的典型输入信号主要有：单位阶跃、单位速度、单位加速度、单位脉冲和正弦等典型输入信号的数学表达式、图形及其拉氏变换式。它们已在第2章中详述，这里不再重复。学习情境三控制系统的时间响应分析单元二一阶系统的时间响应分析凡是能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，他的典型形式是一阶惯性环节，其传递函数为(3-3)式中：T—时间常数。下面分析一阶惯性环节在典型输入信号作用下的时间响应。3.2.1一阶系统的单位阶跃响应因为单位阶跃函数的拉氏变换为,则系统的输出为(3-4)一、一阶系统的单位阶跃响应学习情境三控制系统的时间响应分析对上式（3.4）取拉氏变换，得(3-5)比较式（3-4）、式（3-5），可知R(s)的极点是形成系统响应的稳态分量，传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。由式（3-5）可知，系统的单位阶跃响应是一单调上升的指数曲线，如图3-1

所示由于的终值为l

，因而系统阶跃输人时的稳态误差为零。当t=T时,学习情境三控制系统的时间响应分析这表示阶跃响应曲线达到其终值的63.2％的时间，就是该系统的时间常数T，这是一阶系统阶跃响应的一个重要特征量。由式（3-5）可知，响应曲线在t=0时的斜率为1/T，如果系统输出响应的速度恒为1/T，则只要t=T时，输出就能达到其终值，如图3-1所示。二、一阶系统的单位速度响应令，即，则系统的输出为对上式取拉氏反变换，得

(3-6)因为学习情境三控制系统的时间响应分析所以一阶系统跟踪单位速度响应的稳态误差为这就是说，一阶系统在单位速度信号作用下的稳态误差为T。如图3.2所示。显然，时间常数T越小，其稳态误差就越小。三、一阶系统的单位脉冲响应

系统在单位脉冲信号作用下的输出称为单位脉冲响应。单位冲信号的拉氏变换为，则一阶系统的单位脉冲信号作用下的输出的拉氏变换为学习情境三控制系统的时间响应分析上式进行拉氏反变换，得出一阶系统的单位脉冲响应为(3-7)根据式（3-7），可以求得其时间响应曲线，如图3.3所示，它是一条单调下降的指数曲线。学习情境三控制系统的时间响应分析四、线性定常系统时间响应的性质已知单位脉冲信号、单位阶跃信号以及单位速度信号t之间的关系为（3-8）

又已知一阶系统在这三种典型输入信号作用下的时间响应分别为学习情境三控制系统的时间响应分析显然可以得出

（3-9）由式（3-8）和式（3-9）可见，单位脉冲、单位阶跃和单位速度三个典型输入信号之间存在着微分和积分的关系，而且一阶惯性环节的单位脉冲响应、单位阶跃响应和单位速度响应之间也存在着同样的微分和积分的关系。因此，系统对输入信号导数的响应，可以通过系统对该输入信号响应的导数来求得；而系统对输入信号积分的响应，可以通过系统对该输入信号响应的积分来求得，其积分常数由初始条件确定。这是线性定常系统时间响应的一个重要性质，即如果系统的输入信号存在微分和积分关系，则系统的时间响应也存在对应的微分和积分关系。学习情境三控制系统的时间响应分析单元三二阶系统的时间响应及性能指标一、二阶系统的时间响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统从物理意义上讲，起码包含两个储能元件，能量有可能在两个元件之间交换，引起系统具有往复振荡的趋势。所以，典型的二阶系统就是二阶振荡环节，其动态微分方程及传递函数分别为

（3-10）（3-11）式中，为系统无阻尼振荡的固有频率；为系统的阻尼比。不同系统的和值，取决于各系统的元件参数。显然，和是二阶系统的特征参数，它们表明了二阶系统本身与外界无关的特性。学习情境三控制系统的时间响应分析

典型二阶系统的控制框图如图3.4所示，单位负反馈二阶系统的开环传递函数为

(3-12)由二阶系统的微分方程或传递函数可得系统的特征方程为（3-13）则方程的两个特征根为

（3-14）学习情境三控制系统的时间响应分析方程的特征根就是传递函数（系统）的极点。并且随着阻尼比取值不同，二阶系统的特征根也不同。1）当=0时，称为零阻尼状态。系统有一对虚根，即(3-15)学习情境三控制系统的时间响应分析极点分布如图3.5a所示。这时的系统称为无阻尼系统，其单位阶跃响应如图3.5b所示。2)当0<<1时，称为欠阻尼状态，方程有一对实部为负的共轭复根，即

（3-16）极点分布如图3.6a这时的系统称为欠阻尼系统，其单位阶跃响应如图3.6b所示。学习情境三控制系统的时间响应分析当=1时，称为临界阻尼状态。系统有一对相等的负实根，即

（3-17）极点分布如图3.7a所示。这时的系统称为临界阻尼系统，其单位阶跃响应如图3.7b所示。3)当>1时，称为过阻尼状态，方程有两个不等的负实根，即（3-18）学习情境三控制系统的时间响应分析极点分布如图3.8a所示。这时的系统称为过阻尼系统，其单位阶跃响应如图3.8b所示。当<0时，为负阻尼状态，方程的根为

（3-19）学习情境三控制系统的时间响应分析极点分布如图3.9a、c所示，单位阶跃响应如图3.9b、d所示。由以上分析可知，系统处于负阻尼状态时，系统的极点处于s平面的右半平面。二阶系统的实例很多，如前述的RCL网络、带有惯性载荷的助力器、质量—弹簧—阻尼机械系统等图3.9学习情境三控制系统的时间响应分析二、二阶系统的单位阶跃响应下面讨论二阶系统不同阻尼比时的单位阶跃响应。单位阶跃输入信号的拉普拉斯变换为，二阶系统单位阶跃响应的拉普拉斯变换为（3-20）1)当=0时，称为零阻尼系统取拉普拉斯反变换为

(3-21)响应曲线如图3.5b所示，即零阻尼系统的响应曲线为等幅振荡曲线，其振荡频率为。学习情境三控制系统的时间响应分析当0<<1时，称为欠阻尼系统式中，称为有阻尼固有频率，取拉普拉斯反变换为

（3-22）响应曲线如图3.6b所示，可见，欠阻尼系统的响应曲线为衰减振荡曲线。式中或者，如图3.6a所示。由图可看出，根离负实轴越近，阻尼比越大；根离负实轴越远，阻尼比越小。如果二阶系统的阻尼比不变，则依的不同，特征根位于由原点出发和负实轴交角为的射线上。如果不变，则根位于s平面左半部分以原点为圆心，以为半径的半圆上。学习情境三控制系统的时间响应分析由式（3-22）可知第一项是稳态项；第二项是瞬态项，是随时间t增加而衰减的正弦振荡函数，振荡的频率为，振幅衰减速度取决于时间衰减常数。从极点在坐标图上的分布来看，极点高度高，则振荡频率大；极点距虚轴的距离远，则衰减快；极点距虚轴的距离近，则衰减慢。3)当=1时，称为临界阻尼系统取拉普拉斯反变换为

（3-23）响应曲线如图3.7b所示，可见临界阻尼系统的响应曲线为单调上升曲线。学习情境三控制系统的时间响应分析4)当>1时，称为过阻尼系统取拉普拉斯反变换为

（3-24）式中，。响应曲线如图3.8b所示，可见，过阻尼系统响应曲线为单调上升曲线。5）当<0时，响应曲线如图3.9b、d所示，其响应表达式的指数项变为正指数，故时间时，其输出，即负阻尼系统的单位阶跃响应应是发散或振荡发散曲线，系统不稳定。学习情境三控制系统的时间响应分析由以上分析可知，当二阶系统的阻尼比＞0

时，系统的极点位于s复平面的左半平面，系统的输出响应收敛或振荡收敛于稳态值而处于稳定状态；当二阶系统的阻尼比＜0

时，系统的极点位于s复平面的右半平面，系统的输出响应发散或振荡发散而处于不稳定状态；当二阶系统的阻尼比＝0

时，系统的极点位于s复平面的虚轴上，系统的输出响应等幅振荡而处于临界稳定状态。但实际的二阶系统总是存在阻尼比＞O

，故二阶系统肯定是稳定的系统。三、二阶系统的单位脉冲响应当输入信号为单位脉冲信号时，分别对不同阻尼比情况下的单位阶跃响应进行微分，就可以得到二阶系统的单位脉冲响应，即1)当=0时，有（3-25）2)当0<<1时，有

（3-26）3)当=1时，有

（3-27）4)当>1时，有

（3-28）二阶系统的单位脉冲响应如图3.10所示，随着阻尼比的减小，系统的振荡幅度加大。当>0时，随着，系统的响应趋近于零，说明系统跟踪单位脉冲信号时，其稳态误差为零。学习情境三控制系统的时间响应分析学习情境三控制系统的时间响应分析图3.10二阶系统的单位脉冲响应二阶系统对单位脉冲、单位速度输入信号的时间响应，其分析方法相同，这里不再作详细说明例3.1已知系统的传递函数为，试求系统在单位阶跃响应和单位脉冲响应。学习情境三控制系统的时间响应分析解（1）当单位阶跃信号输入时，，则系统在单位阶跃信号作用下的输出的拉氏变换为将上式进行拉氏反变换，得出系统的单位阶跃响应为（2）当单位脉冲信号输入时，，由式（3.8）可知，，根据线性定常系统时间响应的性质，如果系统的输入信号存在微分关系，则系统的时间响应也存在对应的微分关系，因此系统的单位脉冲响应为学习情境三控制系统的时间响应分析四、二阶系统的性能指标控制系统的稳定性说明系统在扰动作用后能否建立新的平衡状态，这是系统能否工作的前提条件。而准确性则说明系统在建立了新的平衡状态以后，其静态精度如何。显然，这里还存在一个系统由接受外作用开始到新的平衡状态出现的中间过程，即瞬态响应过程。瞬态响应过程的性能，如时间响应过程的快速性、静态精度、系统的相对稳定性等，通常可用相应的指标来衡量，这些指标称为时域性能指标。下面对这些指标进行介绍。时域性能指标通常是以系统在单位阶跃输入作用下的衰减振荡过程（或称欠阻尼振荡过程）为标准来定义的。系统在其他典型输入作用下定义的时域性能指标，均可以直接或间接求出与这一指标的关系。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程。为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，如图3.11所示，通常采用下列一些性能指标。学习情境三控制系统的时间响应分析图3.11控制系统的典型单位阶跃响应（1）延迟时间响应曲线从零上升到稳态值的50%所需要的时间。由定义得由此就可求出系统响应的延迟时间。

（3-29）学习情境三控制系统的时间响应分析（2）上升时间在瞬态过程中，响应曲线从零时刻到首次达到稳态值所需的时间（对于过阻尼的情况，则指响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间），即

（3-30）（3）峰值时间响应曲线从零时刻到达第一个峰值所需的时间，即

（3-31）（4）最大超调量单位阶跃输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值的差。最大超调量的数值也用来度量系统的相对稳定性，通常用百分数表示，即

（3-32）学习情境三控制系统的时间响应分析（5）调节时间响应曲线与其对应于稳态值之间的偏差达到容许范围（一般取或）所经历的瞬态过程时间（从开始计时）。可用不等式表示，即

（3-33）（6）振荡次数N把过渡过程时间内，穿越稳态值的次数的一半定义为振荡次数。（7）稳态误差系统的期望输出量与实际输出的稳态值之差。对于单位反馈系统，要求实际的稳态输出量无误差而准确地跟随给定输入量（给定值）的变化，故输入量就是期望输出量，稳态误差也就等于给定输入量与实际输出稳态值之差，即（3-34）学习情境三控制系统的时间响应分析学习情境三控制系统的时间响应分析在工程实践中，二阶系统的性能指标是根据欠阻尼状态下的二阶环节对单位阶跃输入的响应给出的。因为完全无振荡的二阶系统的过渡过程时间太长，除那些不允许产生振荡的系统外，通常都允许系统有适度的阻尼，其目的是为获得较短的过渡过程。这就是研究二阶系统的性能指标选择在欠阻尼状态下的原因。之所以以单位阶跃信号作为输入信号，其原因有二：一是产生单位阶跃信号比较容易，而且从系统单位阶跃输入的响应也较容易求得对任何输入的响应；二是在实际中，许多输入与阶跃输入相似，而且阶跃输入又往往是实际中最不利的情况。1.上升时间根据定义，当时，，由式（3-22）得学习情境三控制系统的时间响应分析且在未到稳态之前有，要使上式成立，即要求。考虑到上升时间是第一次达到稳态值，故取，即(3-35)由式（3-29）可知，当一定时，增大，上升时间就缩短；而当一定时，越大，上升时间就越长。2.峰值时间响应曲线出现第一个峰值时，单位阶跃响应随时间的变化率为零。对式（3-22）求导，并令，可解得学习情境三控制系统的时间响应分析即所以有，根据定义，当n=1时，对应的峰值时间为（3-36）从响应曲线也可直接看出到达峰值的时间刚好是半个周期的长度，而有阻尼振荡的周期为，所以。当一定时，增大，峰值时间就缩短；而当一定时，越大，峰值时间就越长。3.最大超调量最大超调量发生在峰值时间处，将值带入式（3-22）求得，令，学习情境三控制系统的时间响应分析由式(3-32)可得又得

（3-37）由分析可知，二阶系统性能指标的特点为：1）可见唯一地决定于值，而与无阻尼振动固有频率无关。2）随着增大，逐渐减小。当时，阶跃响应曲线单调上升，所以=0。3）随着增大，逐渐减小。响应平稳，但、等值也随着增大，使响应速度变慢。根据经验学习情境三控制系统的时间响应分析阻尼比以在0.4-0.8之间为佳，此时单位阶跃响应的快速性和平稳性得到兼顾，故实用中二阶系统的阻尼比在此范围内取值。其中，系统的超调量小，上升时间也很小，故称为最佳阻尼比。学习情境三控制系统的时间响应分析整理得可近似取值为（3-38）（3-39）注意，这里求得的调节时间一定是振荡过程的调节时间（针对的是），当时则阶跃曲线单调上升，此时调节时间不能按此法求学习情境三控制系统的时间响应分析5.振荡次数有阻尼振荡的周期为，由振荡次数的定义可求得由于或所以（3-40）N与一样只取决于而与无关，且随着增大而减小，所以N是反映系统阻尼特性的另一个指标。学习情境三控制系统的时间响应分析由以上讨论，可得出如下结论：1）要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合适的阻尼比和无阻尼固有频率。可以提高二阶系统的响应速度，减少上升时间、峰值时间和调节时间；增大，可以减弱系统的振荡性能，即降低超调量使响应平稳，减少振荡次数N，但增大上升时间和峰值时间。由于超调量唯一由决定，所以在设计系统时首先根据允许的超调量来选择阻尼比。2）系统的响应速度与振荡性能之间往往存在矛盾。譬如，对于系统，由于，所以的提高一般是通过提高k值来实现的；另外，又由于，所以要增大，当然希望减小k值。因此，既要减弱系统的振荡性能，又要系统具有一定的响应速度，那就只有选取合适的和值才能实现。这些性能指标主要反映系统对输入响应的快速性。这对于分析、研究及设计系统都是十分有用的。读者可以证明，这些性能指标和有关结论都同二阶系统的传递函数的分子是还是另一常数无关，只是是否为1才同分子是否为有关学习情境三控制系统的时间响应分析例3.2图3.12a所示为一机械系统，当在质量m上施加8.9N的阶跃力后，其位移的时间响应曲线如图3.12b所示，试求系统的质量m、弹簧刚度K和粘性阻尼系数B解：根据牛顿第二定律，列出系统的微分方程学习情境三控制系统的时间响应分析在零初始条件下进行拉氏变换，整理后可得系统的传递函数此系统为比例环节与二阶振荡环节的串联，其中已知系统的输入为阶跃力，其拉氏变换为又已知系统的稳态响应为学习情境三控制系统的时间响应分析根据拉氏变换的终值定理，有可解得已知系统的最大超调量可解得已知系统的峰值时间学习情境三控制系统的时间响应分析可解得单元四高阶系统的时间响应分析实际上，大量的系统都应该用高阶微分方程来描述。这种用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。一般来说，对于高阶系统的研究和分析是比较复杂的，这就要求在分析高阶系统时，抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题简化。对于单输入单输出的线性定常高阶系统，其闭环传递函数一般可以表示为学习情境三控制系统的时间响应分析在单位阶跃信号的作用下，该高阶系统的输出为如果其极点互不相同，则上式可以展开成部分分式的形式其中，、是与在复数极点处的留数有关的常数。学习情境三控制系统的时间响应分析对上式进行拉氏反变换，得该高阶系统的单位阶跃响应为（3-41）由上式可以看出，高阶系统的单位阶跃响应是由一阶系统的单位阶跃响应和二阶系统的单位阶跃响应叠加而成的。下面分析高阶系统单位阶跃响应的特点。（1）由式（3-41）可见，如果所有闭环极点都在平面左半平面内，即所有闭环极点都具有负实部，也即和都为正值，则随着时间，指数项分量和阻尼指数项分量都将趋于零，则系统是稳定的，其稳态分量。（2）由式（3-41）可见，高阶系统的各个闭环极点对系统时间响应的影响程度是不相同的。在平面左半平面内，距离虚轴越远的极点，其负实部的绝对值就越大，也即和的数值越大，与这些极点相对应的指数项分量和阻尼指数项分量衰减越快。学习情境三控制系统的时间响应分析因此，对高阶系统的时间响应进行近似分析时，可以忽略这些分量的影响。相反的，距离虚轴很近的极点则对系统的时间响应起主导作用，因而这种极点就被称为主导极点。在工程上，一般将高阶系统的闭环极点中周围没有闭环零点、距离虚轴最近、其实部的绝对值为其他极点实部绝对值的或更小的极点作为主导极点。例如，某一系统的闭环极点在平面上的分布如图3.13a

所示，可见极点、即是系统的主导极点，图3.13b

表示了该系统的单位脉冲响应的各个分量。学习情境三控制系统的时间响应分析（3）由式（3-41）可见，高阶系统的各个闭环极点对系统时间响应的影响程度还取决于在各个闭环极点上的留数的相对大小。如果有一对靠得很近的零点和极点，那么就会使此极点上的留数很小，这可以从计算留数的公式中看出。所以，一对靠得很近的零点和极点，在输出中与该极点相对应的分量会很小而可以忽略，也即这一对靠得很近的零点和极点可以一起消掉，这种情况称为偶极子相消。经验指出，如果闭环零点和极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则这一对零点和极点就构成了偶极子。偶极子对控制系