经济类数学线性代数第二章习题复习资料

习题二参考答案

(A)

’1312、<-242-2、

1.设4=3121,8=42-2-2求

5)1-24

J34-2

(1)2A+3B；

(2)若X满意2A—X=B+X,求X.

312]J242-2]

解：(l)2A+33=3121+42-2-2

3345,「24-24,

(2)由2A—X=3+X得，2X=2A-B,所以

2.计算

'17、

解:-3

、24,

r-i-4)

，3-21、,4-16、

⑵-23

<1-2b、6-8>

、3

3、

6

9,

“13丫王

“33人

3.已知两个线性变换

(D试把这两个线性变换分别写成矩阵形式；

(2)用矩阵乘法求连续施行上述变换的结果.

解：（1）写成矩阵形式为

（2）连续施行上述变换有

4.某企业在一月份出口到三个国家的两种货物的数量以及两种货物的

单位的价格、重量、体积如下表:

出、国单位单位单位

口'窗

美国德国法国价格重量体积

（万元）（吨）（米3）

A1200012008800.30.0120.12

A2100013006000.20.050.6

利用矩阵乘法计算该企业出口到三个地区的货物总价值、总重量、总体积各

为多少？

解：设矩阵

0.12

V=,则该企业出口到三个地区的货物总价值为

0.6

总重量为

总体积为

5.计算下列矩阵（其中〃为正整数）.

1AV

007

1-1-1-1Y1

'a00Y'

11-1-1

⑶0b0

1-1-1

0的

、—1—1—11

1Y111/1”

解:”=2时,010。厂10oj

（1lYfi1、、

假设当〃=左时，八八八成立，则

S。乂

00,:0J

当〃=左+1时，,有归纳法有

10o儿0）I。oj

1%、212Y1九、(124、

(2)〃=2时,o山b

01J101>

fiAYfi口）

假设当"=%时，=成立，则

I。410

当〃〃+时112Y71力)_/](k+l)A

101J01J[o1厂101

有归纳法有

（3）〃=2时，

假设当〃=%时,

00?J00）

0b0=0bk0成立，则

、00c)00ck

/

当〃=z+1时,

有归纳法有

1T-1-1、

-11-1-1

(4)A=

-1-11-1

、一1-1

H=2时,

“=3时，A3-A2A^22A,

于是，当〃=2攵（%为正整数）时，

当〃=2后+1（Z为正整数）时,

2"E（〃为偶数）

因此得4"=

2n~'E（〃为奇数）

1

6.设/(x)=anx"+a^x"H---Fa/+即,记

称/（A）为方阵A的〃次多项式.

‘3-ir

现设/(》)=/—x+l,A=210,求/(A).

J12,

解：f(A)=A2-A+E

7.设矩阵A、6是可交换的，试证：

(1)(A+B)(A-B)=A2-B2；

⑵(A+6)2^A2+2AB+B2.

证明：因为矩阵A、B是可交换的，所以AB=R4,

因此有(1)(4+3)(4-3)=42+&4-48-32=42—32,

(2)(A+B)2=A2+_BA+AB+B2A2+2AB+B2.

8.设A、3是同阶矩阵，且4=g(B+E),证明：42=人的充分

必要条件是8?=E.

证明：必要性假如A2=A,则[g(B+E)]2=g(3+E),

由于矩阵3及£是可交换的，由上式得

整理得B2=E.

充分性假如82=石，则

9.设矩阵

bcd、

a-dc

（a,b,c,d均为头数）,

da-b

-cba；

⑴计算AA‘；

(2)利用(1)的结果，求|A卜

abc

-ba-d

解：(1)AAT

da

-cb

^a2+b2+c2+d2000

0a2+b2+c2+d200

00a2+b2+c2+d20

、000a2+b2+c2+d\

由(1)有

所以+6+°2+/2)2.

10.证明题:

(1)对于随意的加x〃矩阵A,则AA，和A'A均为对称矩阵.

(2)对于随意的〃阶矩阵A,则A+4,为对称矩阵；而A-A7■为反

对称矩阵.

证明：(1)因为(44「尸=(AT)TA「=44、所以AA「为对称矩阵；

又因为("A)，=A7(A7y=A'A,所以"A为对称矩阵.

(2)因为(A+A，)'=A1'+(Ar)r=A+Ar,所以A+为对称矩

阵；

又因为(A—A7y="—(A7y=A‘—A=一(A—AT),所以

A+A，为反对称矩阵.

11.假如A、8是同阶对称阵，则A8是对称阵的充分必要条件是A8

证明：必要性假如AB是对称阵，则(AB)，=AB,即BTAT=AB,

由已知有AT=A,BT=B,所以AB=R4.

充分性假如A8=A4,则

所以A8是对称阵.

12.设〃阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明

⑴若⑷=0,则|A*|=O；(2)|A*|=|A『T.

证明：(1)假设|A*卜0,则A*(A*『=E,

由此得A=AA*(A*)-'=l^lE,CA*)-1=O>

所以4*=O,这及相冲突，故|A|=0时，有

⑵由44=同£得，|4||A*|=|A「，

若|A|HO时,有⑷=同1,

若|川=0时，由⑴知|A[=O,等式也成立，故有

13.设〃阶矩阵A,B,C满意ABC=E,则下列各式中哪一个必定成

立？简述理由.

(1)ACB=E,(2)CBA=E,(3)BAC=E,(4)BCA=E.

解：由A3C=E可改写为48C)=E,即BC是A的逆矩阵，所以

有(BC)A=E,即(4)必定成立.

类似可得(1)、⑵、(3)未必成立.

14.设A,B均为〃阶可逆矩阵，下列各式肯定成立的有哪些？简述理由.

⑴[(AT)T]T=[(")-『；

rr11|r

(2)[(A)]-=[(A-)-];

⑶(A，T=(AT)«(k为正整数)；

⑷(A+B)T=I+B，

Trr

(5)[(AB)Y'=(A-')(B-');

A-)

tAo(o

(6)=.

"Oj(B-lO)

解：⑴由于KAT)T]T=",=",所以

[(A-')-'f=[(AT)T「，即(1)式肯定成立.

(2)由于=A-l[(AT)-」'=A"即(2)式不肯定成立.

⑶(A")T=(AA…A)T=A"AT…A"(3)式肯定成

H.

fl0、(-}

⑷设4=，B=，明显A、3都可逆，但是

〔。UI。

不行逆，故（4）式不成立.

（5）由于

即（5）式肯定成立.

OA丫°

（6）由于O厂[O

BBAT'

但是AB7和84T不肯定等于E，故⑹式不肯定成立

15.设A是”阶矩阵，满意A"=。（攵是正整数），求证：E-A可逆,

并且(E-A)T=E+A+A2+---+Ak-'.

证明：因为(E—A)(E+A+A2+….+MT)

所以E-A可逆，并且(E-A)T=E+A+A2+---+Ak-'.

16.设A是可逆矩阵，证明：其伴随矩阵A*也可逆，且

证明：因为A是可逆矩阵，所以网。0,由于

二AA*=E,

有Ml

因此，伴随矩阵A*也可逆.

由上述证明可知（A*）r=二4,

又因为(A-I)(A-1)*=忙|忸,

所以

故(AT=(1)*.

17.设A、8和A+3均是可逆矩阵，试证：AT+8-I也可逆，并

求其逆矩阵.

解：A-1+fi-1^A-'+A'AB'

由于A、6和A+8均是可逆矩阵，它们的乘积也可逆，所以有

18.设4为三阶矩阵，A*是矩阵A的伴随矩阵，已知|川=；,求

解：因为|A|=；,所以有A可逆，且有内［=|A-=2.而

AA=\^E,于是A*=|A|AT

*5-

因此有|(3A)T-2AA-1

19.用分块矩阵的乘法计算.

rl000、2-24、

0100-212

⑴二丁一i一丁一一鼠

2""6'"i

J-10-101-17

(10-1Y20-2、

⑵T-"-i'12-22

0一「0人°2

EO

解:

AB

7

ED

则

AAD+BF

而

于是

’10-P-2、

(2I;0

⑵设i一二丁一丁2i-2

2=(用B2a),

。一「一司

、0：2

7心4当、

A,B2

则4(B,当4)=AB,

A2B2A2B3

A3B2A383J

而4与=(1

(\o-1Y2；0-2、'2-2-2、

于是f--i24-2204-4

0一一丁1

h

0人03-2

20.求分块矩阵的逆矩阵.

2

1

/-\

(7

\-0

0

5,、、(23、fl

解：⑴记A=|,B=

所以A、8都可逆，且有

/p3、

23-0o

b

1110O

是

于

---.■■-2一-.■-

0t-T

0no4-1

;O

003O3-1

L1/

'-1、

(2)记人=-2-1-2B=(2),C=1

、433,

1-12

因为|A|=-2-1-2=4/0,同=|2|=2/0,所以A、8均是可

433

逆矩阵，且有

依据例2.17的结论有

（394i-5>

<A

所

以

O

1

\

21.设4为三阶矩阵，|同=一2,把A按列分块为A=（4，&，4），

其中40=1,2,3)为A的第/列，求

⑴14，-2A3，&|；⑵一34,24,A

解：⑴IA，-2A3，&|=-2%，4，&|

⑵区-34,2A2,4|=|43,24，4|

22.设A为〃阶矩阵，把A按列分块为A=（以，夕2,…，瓦），

储（；=1,2,…为A的第/列，试用以，22,…，凡表示A'A.

（明

8T

解:"4=（■血，…，凡）

A

「4、

23.设A为三阶可逆矩阵，若A按行分块为A=A2,按列分块为

人

4=（用，层,当），试推断下列分块矩阵是否可逆.

'A+&、

（1）A2+A3；（2）（Bj-B2,B2—B3,—BJ）.

解：（i）利用行列式的性质计算分块矩阵的行列式

认+4、

从而可逆.

A2+A3

、4+A1,

（2）

|B,-B2,B2-B3,B3-B1|=|O,B2-B3,B3-BI|=O,

从而（耳一线,。一83,83-耳）不行逆.

24.设矩阵

’010)(100、

片=100,鸟=010,则下列各式中哪一个必定成立？简

、001J[1

01,

述理由.

(1)AP}P2=B；(2)AP2P.=B；(3)PtP2A=B；(4)P2P,A=B.

解：因为4的第一行加到第三行,再交换的第一行和第二行，从而得

得到8,故用22左乘A,再左乘即WB,(3)式必定成立.

25.求下列矩阵的等价标准形.

(\1111

1-12、1—2、

20-321

⑴321;(2)2-3;(3)

13612

1-2°,-347

42643,

'1-12、1-12、100、

解:⑴32I05-505-5

-2(0-1一2)(0-1~2)

'1-2、」-2、’10、

⑵2-30101

【一34JI。-2J10-2J

1111n1111

20-32I0-2-50-1

⑶

1361202501

、42643,0-2201

26.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.

1111、

1-1035

、、I1-1-1

⑴223⑵024；⑶

1-11-1

-12003>

-1-11>

’06000

00a200

(4)%H0,(i=1,2,•••,«).

0000an-\

000o

1-1000、fl0100)

解：⑴223010->043-2I0

1一121001J1°1110

所以

’135100、135100

⑵o24010->024010

1

030000100

3>

所以

1000'000'

010000-2-1100

⑶->

100I00-20-2010

-1000<0-2-20-100

所以

’000010000、

00000I000

(4)io

0000an-\00010

000000001)

所以

27.解下列矩阵方程.

11\(20\

⑴X

3412

7V

‘104、

⑵X112=

‘1-10、

(4)设A=01-1,且2X+A=AX,求X.

C0

11(11、

解：(1)因为=1,所以矩阵可逆，在方程的两边左乘该

34(34>

矩阵的逆矩阵，得

104p04、

(2)因为112=1,所以矩阵112可逆，在方程的两边右乘

11313,

该矩阵的逆矩阵，得

则网=—1,同=1,

故矩阵A,6都可逆，在方程的两边左乘A-：右乘Bi,得

(4)由2X+A=AX得，

而

且|A-2£|/0,所以A—2E可逆，在(A-2E)X=A两边左乘

(A-2E)T得,

又

故

28.求下列矩阵的秩.

(\-1210、

'3102、

20

(1)1-12-1

-11

J3-44,

(030oL

'31021p-12-1A

解：⑴1-12-1-»3102

-4"U

J33—44,

所以该矩阵的秩是2.

4-1210、’1-1210、

⑵2-242000000

306-11030-41

1°300b、0300b

所以该矩阵的秩是3.

29.已知〃阶矩阵A满意A?—2A—4E=0,证明：A+E为可逆矩

阵；并求（A+E）T.

解：由A?—2A—4E=O得，

即

所以A+E为可逆矩阵，（A+E）T=A-3E.

30.已知〃阶矩阵A,B满意=

（1）证明：3-E为可逆矩阵；

'1-30、

（2）已知A=210,求矩阵B.

、。02,

证明：（1）由=得，

即

整理的

因此8-E可逆，且（B—E）T=A-E.

解：（2）由（1）得，B-E=（A-EY',

即

（B）

1.若A、B是〃阶方阵，且E+AB可逆，则E+8A也可逆，且

证明：（E+6A）[E—B（E+AB）TA]

所以E+A4也可逆，且（E+A4）T=E—B（E+A8）TA.

2.设3为可逆矩阵，A、8是同阶方阵，且42+48+82=0,证

明：A和A+3都为可逆矩阵.

证明：由A2+AB+8?=。得，

即

由于6为可逆矩阵，所以囚H0,因此有

于是

所以A和A+3都为可逆矩阵.

已知实矩阵A=(%)3x3满意(1)%=。"=1,2,3),其中4是

%的代数余子式；(2)为工0,计算|川.

解：由%=A,j&/=1,2,3)得，

于是|441=〔川2=网3,从而

同=0或同=1,

但由于a”N0得，

因此网=1.

4.设A、6为同阶可逆矩阵，证明：(A8)*=B*A*.

证明：因为A、8为同阶可逆矩阵，所以有

即A6也可逆,而(A5)(AB)*=|A耳E,

于是

5.设矩阵3的伴随矩阵

且=AB-1+3E,求A.

解：由题有

所以⑻卜忸『=8,即恸=2.又

从而(B-E)AB-i=3E,(B—E)A=3B,即

于是

故

6.已知

且矩阵X满意A*X=A-i+2X,其中A*是4的伴随矩阵，求矩阵X.

解