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--#-detAdetdet(A)det(diag(f(0),f(1),f(n1)))detf(0)f(1)f(n1).a0 a1 a2 an1an1 a0 a1 an2定理 2.7.1[9]设A是形如an2an1 a0 an3的循环矩阵,且设a1 a2 a3 a0n1f(x) aiXi, 0,1, ,n1是1的全部n次单位根 .i02k2kkcosisin(k0,1,2,,n1)
nn这里i是虚数单位( i2 1),则A的n个特征值是:f(0),f(1),f(n1),n1注意detAf(k).k02.8循环矩阵的奇异性定理2.8.1[9]在定理2.7.1的条件下,循环矩阵 A奇异的充要条件是存在某个j(0jn1),使f(j)0.由于对任意的自然数 n, 01是1的n次单位根,故有n1推论2.8.1[9]若ai0,则A奇异.i0n1推论2.8.2[9]设n为偶数,若 (1)iaj0,则A奇异.i02.9循环矩阵与向量空间相关性质定理2.9.1数域P上的所有 nn阶循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间,其基为循环矩阵基本列 I,I1,,In1,零向量为 n阶零方阵,负向量为A.
证明对于数域 P上的所有 nn阶循环矩阵,很容易证明任意两个循环矩循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵, 那么就得到了这个定理.三.广义循环矩阵定义3.1若把a0,a1,a2,⋯,an推广为m阶方阵A0,A1,⋯,An时,我们称矩A0A1An1AnAnA0An2An1A2A3A0A1A1A2AnA0为广义循环矩阵。A1,⋯,An是m阶方阵 ,且A1,⋯,An是m阶方阵 ,且A0,A1,⋯,An两两可换,我们称矩阵为广义范德蒙矩阵,其行列式为广义范德蒙行列式.引理 设A=EA0A02A0ndetAA=E为广义范德蒙矩阵,其行列式为广义范德蒙行列式.引理 设A=EA0A02A0ndetAA=EA1A12A1nEEEEA0A1An1An2222A0A1An1AnA0nA1nnAn1AnnEAn1An21Ann1EAnAn2Ann是广义范德蒙矩阵, 则A的行列式为det(AiAj)0jin定理1设E是m阶单位阵,且A0,A1,⋯,An均是m阶方阵且两两可换, 矩
A0AnA1A0An1An2AnAn1D=A2A3A0A1A1A2AnA0是广义循环矩阵,则E0D= 02E112En12n1En2n01E020E112En12n1En2n10n1nnn1nnnn01nnn1nni000n0i00其中矩阵ij0Aji,i000i0为m阶数量方阵,i0,1,...,n0000ii2j2jen吴世玕.循环矩阵的若干性质及应用 [J].南方冶金学院学报, 2002吴世玕.循环矩阵的若干性质及应用 [J].南方冶金学院学报, 2002,1:66-68.类似地由定理 2可以得到下面的推论 ,推论中 D,i和i所表示的意义均和定理 2相同。n推论3.1对于广义循环矩阵 D,我们有 detDdet(i).i0推论3.2广义循环矩阵 D可逆的充要条件是矩阵 Ai均可逆, i=0,1,?,nn推论3.3广义循环矩阵 D的秩 rank(D)rank(i)。i0推论3.4广义循环矩阵 D的特征值为矩 0,1,,n的全部特征值.a0 a1 a2 an1ran1 a0 a1 an2定义 3.2 r-循环矩阵 Jran2ran1 a0 an3ra1 ra2ra3 a0
定义定义定义令:J0关于 r-循环矩阵也有与循环矩阵的性质和结论。3.33.43.5J0123J0n rE0定义定义定义令:J0关于 r-循环矩阵也有与循环矩阵的性质和结论。3.33.43.5J0123J0n rE000000后(对称) r-循环矩阵a0a1a2an1a2an2an1a3an1a0a4a0a1a1an3an2a0a1a2an2an1a1a2a3an1ra0a2a3a4ra0ra1an1ra0ra1ran3ran2Aa0a1a2a3K2=E,K=K*张爱萍.循环矩阵的性质及其对角化 [J].广西师院学报, 2000,12:10-13.赵立宽,岳晓鹏,杜学知.关于循环矩阵的几个性质的推广 [J].曲阜师范大学学报, 2006,4:52-56.贾璐,姚光同.有关循环矩阵的行列式计算及其应用 [J].信阳师范学院学报(自然科学版 ),2005,4:131-132.张盛虞.关于循环矩阵的一些性质 [J].黔东南民族师范高等专科学校学报, 2006,12:4-7.孙玉海.等比数列构成的循环矩阵的逆矩阵 [J].河南教育学院学报 (自然科学版),2001,3:6-7.黄赐玺.循环矩阵的非异性 [J].山东师大学报 (自然科学版 ),1991(6):22-26
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