医学统计学（柏建岭）07 相对数和二项分布

相对数二项分布

RelativeNumber&Binomialdistribution南京医科大学生物统计学系柏建岭主要内容分类资料的特点相对数常用的相对数相对数应用的本卷须知率的标准化二项分布二项分布的概率及定义二项分布的性质二项分布的图形二项分布的应用条件率的抽样分布分类资料的特点分类资料的特点离散性，变量仅取有限的几个值；资料不含有次序的信息；举例血型(A、B、O、AB)人群中某病发生与否(发生、不发生)常用的相对数：率率(Rate)，又称频率指标，说明某现象发生的频率和强度。(强度相对数)常用的相对数：比比(Ratio)，又称相比照，是A，B两个有关指标之比，说明A为B的假设干倍或百分之几。两个指标可以性质相同，也可以不同。常用的相对数：构成比构成比(Proportion)，又称构成指标，说明一种事物内部各组成局部所占的比重或分布。常用相对数I某病发病率某病患病率常用相对数II性别比男性数/女性数*100%出生10020岁9850岁9860岁9570岁8580岁68常用相对数III体质指数(BMI)体重/身高2(kg/m2)低体重正常18.0~超重24.0~肥胖28.0~常用相对数IV血型

O型20540.03%A型11222.09%B型15029.59%AB型407.89%507100.00%常用相对数V某单位45岁以上员工冠心病患者数及其相对数

BMI分组(1)人数(2)冠心病患者数(3)各组与第一组患者数之比(4)各组患者数构成(%)(5)各组冠心病患病率(%)(6)<2021210—3.104.7220~661575.7017.658.6224~112012512.5038.7011.1626~82511211.2034.6713.5828~102191.905.8818.63合计2920323—100.0011.06应用相对数的本卷须知分母不能太小；区分率和构成比；合并率的计算不是直接求率的均数；两个合并率的比照需要注意可比性。同质两者的内部构成比假设检验某市甲乙两院各科出院和治愈人数科室甲院乙院出院人数治愈人数治愈率(%)出院人数治愈人数治愈率(%)内科87629533.6732910431.61外科30529295.7470265793.59妇科56449287.2359150184.77儿科32930191.4926323388.59合计2074138066.541885149579.31率的标准化法率的标准化法(standardizationmethodofrate)，即采用统一的标准对内部构成不同的各组频率进行调整和比照的方法，调整后的率为标准化率，简称标化率(standardrate)，或调整率(adjustedrate)。标准组的选择由于内部构成不同，造成了现在的矛盾结果。因此，要反映真实差异，需要用统一的标准组。这里我们选择两组的合计作为标准组。率的标准化法实质：加权平均，以标准组各组构成比作为权重系数率的标准化法科室标准组人数Ni甲院标准人口构成比Ni/N原治愈率pi

(%)内科12050.30440.336710.25外科10070.25440.957424.36妇科11550.29170.872325.44儿科5920.14950.914913.68合计39591.0000－73.73率的标准化法科室标准组人数Ni乙院标准人口构成比Ni/N原治愈率pi

(%)内科12050.30440.31619.62外科10070.25440.935923.81妇科11550.29170.847724.73儿科5920.14950.885913.24合计39591.0000－71.40率的标准化法(选择甲作标准)科室标准组人数Ni甲院标准人口构成比Ni/N原治愈率pi

(%)内科8760.42240.336714.22外科3050.14710.957414.08妇科5640.27190.872323.72儿科3290.15860.914914.51合计20741.0000－66.53率的标准化法(选择甲作标准)科室标准组人数Ni乙院标准人口构成比Ni/N原治愈率pi

(%)内科8760.42240.316113.35外科3050.14710.935913.77妇科5640.27190.847723.05儿科3290.15860.885914.05合计20741.0000－64.22标准化法的本卷须知选取不同的标准组，得到的标准化率是不一样的；标准化率是相对的，其作用仅在于比较，并不表示实际水平；标准化率不代表总体率，也不能完全代替分组比较。Bernoulli试验毒性试验：小鼠死亡——生存临床试验：病人治愈——未愈临床化验：血清阳性——阴性

表现为两种互相对立的结果，每个个体的结果只能取其中之一。这类试验称为Bernoulli试验。JamesBernoulli(1654~1705)binomialdistribution二项分布与重复试验有联系。考虑一系列重复试验，每次试验有两种可能结果，“成功〞或“失败〞的概率是恒定的，P(成功)＝，P(失败)＝(1-)。二项分布就是n次独立重复的Bernoulli试验中出现k次“成功〞的概率分布，0≤k≤n。二项分布的概念例

(Page33)

小白鼠接受某毒物一定剂量，观察小白鼠存亡情况。用三只小白鼠(甲、乙、丙)独立做实验。实验结果：生存或死亡；每只小鼠，死亡概率为，生存概率为1-。

各鼠的实验结果(生存或死亡)是互不影响的。观察三只小白鼠死亡生存数及其概率分布。

二项分布的概念你认为实验结果将会出现多少种可能的情况？所有可能结果死亡数生存数甲乙丙Ｘn-Ｘ生生生03生生死

生死生12死生生生死死

死生死

21死死生死死死

30二项分布的概念如果计算生与死的顺序，那么共有8种排列方式；如果只计生存与死亡的数目，那么只有4种组合方式。出现每一种可能结果的概率是多少？二项分布的概念二项分布的概念所有可能结果每种结果的概率死亡数生存数不同死亡数的概率甲乙丙Ｘn-Ｘ生生生0.2×0.2×0.2030.008生生死

0.2×0.2×0.8生死生0.2×0.8×0.2120.096死生生0.8×0.2×0.2生死死

0.2×0.8×0.8死生死

0.8×0.2×0.8210.384死死生0.8×0.8×0.2死死死

0.8×0.8×0.8300.51211.000三只小白鼠存亡的排列和组合方式及其概率的计算二项展开(0.2+0.8)33223生存概率死亡概率

三生二生一死一生二死

三死对应于二项展开式：二项式展开式中的各项对应于各死亡数(X)的概率P(X)，二项分布由此得名。Page30二项分布的定义从阳性率为π的总体中随机抽取含量为n的样本，恰有X例阳性的概率为：X=0,1,2,…,n那么称X服从参数为的二项分布(BinomialDistribution)，记为：X～B(n,)。其中参数常常是未知的，而n由实验者确定。例某种动物关于某毒物的50%致死剂量(LD50)，现有5只这样的动物注射了该剂量，试分别计算死亡动物数X＝0，l，2，3，4，5的概率。二项分布的概率二项分布的概率二项分布二项分布的性质(P35)如果X~B(n,)，那么：

Ｘ的均数：

Ｘ的方差：

Ｘ的标准差：二项分布的性质假设均数与标准差不用绝对数而用率表示时,

从阳性率为的总体中随机抽取n个个体，那么①最多有k例阳性的概率：

二项分布的累计概率(P36)从阳性率为的总体中随机抽取n个个体，那么

②最少有k例阳性的概率：二项分布的累计概率其中，Ｘ=0，1，2，…，k，…，n。例(page38)

据以往经验，用某药治疗小儿上呼吸道感染、支气管炎，有效率为85%，今有5个患者用该药治疗，问：①最多1人有效的概率为多少？②至少3人有效的概率为多少？二项分布的累计概率本例

，l-

，n=5，依题意，最多1人有效的概率为：至少3人有效的概率为：

P(X≥3)=P(3)+P(4)+P(5)那么P(X＋＋三只小白鼠死亡的二项分布〔n=3,〕二项分布的图形二项分布的图形某毒物的50%致死剂量后5只动物死亡数的二项分布〔n=5,〕二项分布的图形当，分布对称；当

，分布呈偏态；当时分布呈正偏态；当时分布呈负偏态；特别是当n值不是很大时，偏离愈远，分布愈偏。随着n的增大，二项分布逐渐逼近正态分布。一般地说，如果n和n(1-)大于5时，常可用正态近似原理处理二项分布问题。二项分布的图形二项分布的应用条件(P37)①各观察单位只能有互相对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等。②发生某一结果(如阴性)的概率不变，其对立结果(如阳性)的概率那么为1-。③n次试验在相同条件下进行，且各观察单位的结果互相独立。率的抽样分布及其性质(P81)率的标准误：在n较大，且率和(1-)都不太小时即n和n(1-)均大于5，率的抽样分布近似正态分布。例在某镇随机抽取329人，作血清登革热血凝抑制抗体反响检验，得阳性率p=8.81%,那么此阳性率的抽样误差？

率的抽样分布及其性质总体率的可信区间估计(P81)=?n,Xp=X/n①查表法

n≤50②正态近似法

np>5n(1-p)>5

p±uasp总体率的可信区间估计(P81)①

查表法(直接计算概率法)

例n=25,X=3。p=12%。查附表7(2.5%,31.2%)总体率的可信区间估计②正态近似法：当样本例数n足够大，且样本率p和(1-p)都不太小时，即np和n(1-p)均大于5时，样本率p的抽样分布近似正态分布。率的95%的CI:

总体率的可信区间估计例6.2(page82)从某地人群中随机抽取144人，检查乙型肝炎外表抗原携带状况，阳性率为9.03%，求该地人群的乙型肝炎外表抗原阳性率的95%可信区间。总体率的可信区间估计本例n=144，p=9.03%，可用近似正态法计算可信区间。95%可信限为：9.03%±1.96×2.39%，即该地人群的乙型肝炎外表抗原阳性率的95%可信区间为：4.35%～13.71%。总体率的可信区间估计样