湖南大学微积分01-第1讲集合与映射

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学〔一〕第一讲集合与映射脚本编写、教案制作：刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民第一章集合与函数本章学习要求：正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和图形特征。正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复合函数进行分解。会求函数〔包括分段函数〕的反函数。了解“取整函数〞和“符号函数〞。能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。第一节集合与映射一、集合的根本概念二、集合的根本运算三、映射的根本概念四、实数、区间、邻域一、集合的根本概念集合论是现代数学的根底。集合论的创始人是丹麦人康托尔〔犹太人〕，他在柏林大学学习〔工科〕期间受大数学家魏尔斯特拉斯的影响，转而攻读数学，最后成为一名数学家。他于1847年提出集合论，解决了当时一系列悬而未决的问题，奠定了现代数学根底。但康托尔创立集合论的过程是十分艰难的，为此他几乎献出了生命。这也说明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的。康托尔将集合定义为：所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象〔这些对象称为元素〕作为一个整体来考虑的结果。1.集合关于集合的几点注意：集合的元素是确切定义的，不能模糊不清。集合中的元素互不相同。当只研究一个集合时，那么可不考虑其结构，视集合中的元素一律平等。2.集合的表示法列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用花括号括上。表示集合的方法有两种:注意：不管用那一种方法表示集合，集合中的元素不得重复出现。有些集合可以用两种表示法表示，此时可根据需要选择其中的一种方法例13.子集、集合相等规定：空集是不含任何元素的集合，记为。空集是任何一个集合的子集：想到什么没有？例24.有限集、无限集：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合成为无限集。空集是任何一个非空集合的幂集的元素：二、集合的根本运算也有一些书将全集称为“空间〞、“原集合〞、“万有集合〞等。在wen图中，用矩形表示全集。1.集合运算的概念ABABABABABABABAABB(A–B)∪B=A?一般说来,AB仅当BA时,才有ABA={1,2,3,4,5,6,7,8,9}。B={4,5,6,7,8,9}，设A={1,2,3,4,5}，那么例3B={6,7,8}，={0,1,2,6,7,8}.设A={0,1,2}，那么例4A={x|x2

2x3<0}，={x|1

x

3}.B={x|x=1,3}，设那么例5例6解={x|1<x<1或2<x<3}。故B={x|x<1或x>2}，解不等式得A={x|1<x<3}，例7交换律结合律分配律对偶律2.集合的运算性质幂等律吸收律设有集合A、B、C及全集，那么交换律：结合律：分配律：对偶律：幂等律：吸收律：其它：三、映射的根本概念1.映射注意：1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个xX，只有唯一的一个yY

值与之对应关系不一定就是映射。对应，这一点很重要，它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的x

值与同一个y值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.....设f

为集X

到集Y

的一个映射。如果xX，存在唯一的y=f(x)Y

与之对应；反过来,假设yY,存在唯一的xX使得y=f(x),那么称f是X到Y的一一对应。2.一一对应一一对应的实质是什么？一一对应的实质其它内容请同学们自己看书1.实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并.实数具有稠密性和连续性.aR，必n

Z，使n

a

<

n+1.实数与数轴上的点一一对应.四、实数、区间、邻域2.绝对值、距离任一实数a

的绝对值|a|

定义为：数轴上任意两点a，b

之间的距离为d=|ab|。绝对值常用的性质：3.区间(1)闭区间[a,b]={x|a

x

b}ab(2)开区间(a,b)={x|a

<x

<

b}ab。。[]()(a,b]={x|a

<

x

b}

(称为左开右闭区间)[a,b)={x|a

x

<

b}

(称为右开左闭区间)(3)半开闭区间ab。[)(4)无穷区间[a,+)={x|xa},(a,+)={x|x>a},(

,b]={x|x

b},(

,b)={x|x<

b},(

,+)={x|

<x<

+}={x|xR}a(+)[[a,+)(5)区间长度有限区间的长度=右端点值－左端点值不管是闭区间、开区间、半开闭区间，其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+∞区间(－∞,2]与(1,+∞)的区间长度均为+∞.区间[1,4]与(1,4)的区间长度均为4(1)=5例8U(x0,)={x||x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x0xU(x0,)|x

x0|<

4.邻域U(x0,)={x|0<|x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x0xU(x0,)0<|x

x0|<

点的某邻域，记为U(x0).点

的某去心邻域，记为Û(x0).U(