简单的三角恒等变换复习讲义

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)

5.5三角恒等变换

5.5.2简单的三角恒等变换

【考点梳理】

考点一半角公式

a/1-cosaa/1+cosaa/1-cosasina1-cosa

Sin2=±\]~2-'cos干「an2=±\T+^=T+^=^T-

考点二辅助角公式

辅助角公式:

=雨耳京sin(x+J).(其中tan9=3

asinx+hcosx

【题型归纳】

题型一：降塞公式的化简求值问题

1.(2021•全国♦高一课时练习)化简：

nn

(1)(sin150+cos15°)2；3(2)sin5cos5；(3)cos4a-sin4a；

小；⑹

(4)J2+8s2°—°°；⑸(0<a<7r).

2.(2021•全国•高一课时练习)利用倍角公式求下列各式的值：

(1)singcosg；(2)cos2^-sin2-^；(3)l-2sin215°;(4),?叫：

88881-tan215°

(5)(sin15°-cos15°)-；(6)2sin200cos200-2cos225°.

3.(2020・山西•怀仁市第一中学校云东校区高一期中(文))求值:

/.、什sina+cosa14八、42sin235°-1_

(1)若二---------=-,求tan"的值.(2)求---------；=-----的值.

smof-cosa2cos100-J3sin10°

题型二：辅助角公式的应用

4.(2021•河北迁安•高一期末)己知函数/(x)=-l+2Gsinxcosx+2cos?x.

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数的单调减区间;

(3)当xe-卷，言时，画出函数“X)的图象.

5.(2021.甘肃.庆阳第六中学高一期末)已知函数/(x)=^sin2x-cos2x+；.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)当xe0,1时，求函数Ax)的值域.

6.(2021・上海・高一课时练习)化简并求值.

百tanl2°-3

(1)(4cos212°-2)sinl20；

(2)cos400+sin50°(1+Gtan10°j

sin70°A/1+COS40°

s、V3-4sin20o+8sin320°

(J)--------------------------；

2sin20°sin480°

(___1________31_1_

⑷Icos2800-cos210°J,cos200,

题型三：三角恒等式变换中的(给角求值、给值求值、给值求角)问题

7.(2021•全国•高一课时练习)求下列函数的最大值和最小值：

1出

(1)y=—COSXH---sinx;(2)y=sinx—cosx；

22

(3)y=sinx+Gcosx；(4)y=sin2x-5/3cos2x.

2cos3x+2cos2x-2cos2—

8.（2021・四川减都外国语学校高一月考）已知函数/（x）=--------------------------------函数八"）的最小正周期是

2cos2-

2

()

71

A.-B.乃C.24D.44

2

9.（2021・全国•高一课时练习）（1）求竺7Zsin；：。①8。的值;

cos80

（2）已知a,夕均为锐角，且cosa=2叵,cos/=10,求a-£的值.

510

题型四：三角恒等式变换中证明、化简问题

10.（2021•全国•高一课时练习）证明:

(1)2sin(兀+a)cos(7i-a)=sin2a；(2)(sinx+cosx)2=1+sin2x；

/-、，/，、1-cos2a3.

(3)l+2cos~，一cos2，=2;(4)---；-------=2sma；

sma

(5)-----------=tan2A；(6)Vl-sin80°=cos40°-sin40°.

1+cos2A

11.(2021.全国.高一课时练习)求下列各式的值：

（）已知（尸）二一（，

1cosa—Lcosa+0=求cos&cos民sinasin(3的值;

⑵求宵黑色的值;3

12.(2021•河南驻马店•高一期末(理))化简，求值：

/、心sin0+cosC4(l+sin2e)sin，

(TI)已知——------=2,求------.....—；

sin0-cos0sin。+cos0

6—tan12°

(")(2cos2120-l)sin60cos6°

13.(2021.四川.仁寿一中高一开学考试)已知。«0,万)，COSa=^-.

(1)求sin[a-?)；

(2)已知用€(0,1),sin(a+?)=W.求cos2a

【双基达标】

一、单选题

,a

41-tan—

14.（2021•全国•高一课时练习）若cosc=-=,。是第三象限的角，则-----1=（）

51a

l+tan—

2

A.2B.gC.-2D.—

22

15.（2021•河南•高一期末）下列函数中是奇函数且最小正周期为]的是（）

A./(x)=3-2sin22xB./(x)=sin22x-cos22x-\

C./(x)=4cos22x+2D./(x)=sin2xcos2x

16.（2021•全国•高一课时练习）亭（cos75o+sin75。）的值为（）

A.1B.--C.正D.-坦

2222

J；+gcos8等于（

17.（2021・上海♦上外浦东附中高一期中）若则+；)

、e

AA.sin—6Bn.cos-eC「.~sin•一eD.-cos—

4444

18.（2021.河南商丘.高一月考）若函数/（x）=asinx+2ncosx（x£A）的最大值为石，则实数”的值为（）

A.1B.±1c.2D.±2

11E（2先+4a）的值为（）.

19.（2021・湖北武汉•高一期中）已知sinNV卜一3则8s17

B-4

c.D.--

22

2°-（2必•江苏省前黄高级中学高月考）若;⑼，则二2a的值为（）

A.2019B.2020c.2021D.2022

已知sin]贝ijsin（2a-高的值是（

21.（2021•河南驻马店•高一期末（理））a+—+sina=—）

、3j3

B-42D.二

A-?C.

99

=一3IQ,若5由(2。+,)=，$：11/7,则a+'=

22.（2021.江苏•南京师大附中高一期末）已知a,夕£(0,))，cosa

102

()

.2454

A.——Bc.D-7

3-T-4~

【高分突破】

一：单选题

23.(2021•全国•高一课时练习)已知2tan0-tan(e+4)=7,则tanG()

4

A.-2B.-1C.1D.2

24.(2021•北京TOI中学高一期末)若tan6=—2,贝|j吧"士吧网=()

sin0+cos0

25.（2021・上海•高一期中）已知sina=2^：

,cos(a—=,且°<<哼,则sin尸=()

7

.9x/1511V10「而

dnVio

35353535

26.（2021•福建・莆田锦江中学高一期末）若a,/e（O㈤，cos（a-,）=-j|,sin|则sm/=()

33「33-6363

A.—B.----C.—D.——

65656565

27.（2⑼・山西・怀仁市第一中学校云东校区高一月考（理））若一-｝吟吟+a）jc。吟告邛，

则cos(a+g)=()

AC「5石

B.L•---D.一显

3399

28.（2021•江苏・扬州大学附属中学高一月考）已知sin（+百cosa=；,则sin（2a+?）的值为（

)

1177

A.-B.—C.一D.—

3399

-l+sinx(7i）的最大值和最小值分别为（）

29.（2021•全国•高一专题练习）函数y=----------0<x<—

sinx+cosxv2

n夜夜

A.1,—1D.------,---------V-----，0D.0,-1

222

1)

30.（2021•浙江•高一期末）己知tan6»+―^=4,则siir=()

tan。

1

A.-BTC.ID.-

5424

31.（2018・四川资阳•高一期末）已知sina=巫，"‘。,小则cos（2a+的值为

10,I6)

、4万-3B4舟3C4-373D3币-4

10101010

32.（2021•全国•高一课时练习）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个

是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿黄金三角形有两种，其中底与腰之

比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36。的等腰三角形（另一种是顶角为108的

等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金AA8c中,

亲”.根据这些信息‘可得—＜）

☆

A,且3+亚C1+亚

DR.-----D.

4848

二、多选题

（2021・海南•琼中中学高一期中）已知sine+cos，=g,6«0,1），则（）

33.

,“247

A.sin2，=-----B.cos夕一sin夕=一

255

八4c.8也

C.tan，=——D・sin—=——

325

（•全国•高一课时练习）设函数/。）=$也（》+）（；）则（）

34.202025+8$2X+,fx

4

A.是偶函数B.在单调递减

C.最大值为2D.其图像关于直线x对称

（2021・江苏・常熟市中学高一月考）已知万，sin2a=1,cos（a+/?）=-^-,则（）

35.

A.cosa=-------B.sina-cosa=

105

3兀72

C.RD.cosacos/?=-

36.（2021•山东枣庄•高一期末）下列化简正确的是（）

A.sin15sin300sin75=-B.cos;215-sin215=—

82

16、八3-4cos20+cos404s

C.---------------------zD.---------------------------=tan4l0

sin10cos10°3+4cos20+cos40

37.（2021・江苏・仪征市第二中学高一月考）下列说法正确的是（）

A.sinl5°+cosl50=V2sin60°

B.;in(a+/7-15。)=sin(a-15。)cos/?+cos(a-15°)sin/7

C.cos(a+g=coscos尸+sinasin/?

D.tan(a_0=tana+tan广

1-tancrtand

38.(2021•江苏•南京市秦淮中学高一月考)下列等式中恒成立的是()

sina1-cosa口.sin(a+?)+sin(a-〃)

A.-----------=-----------B.cosasmp=—-------------------------

1+cosasina

C.sin(2a)_Sin^—l-2sinxcosx1-tanJC

+/?2coa+D.-；------=-------

sinasinacos'x-sin~x1+tanx

三、填空题

39.（2020.全国.高一课时练习）函数/（x）=2cosx+sinx的最大值为.

jr2

40.（2021.河北.藁城新冀明中学高一月考）已知sin2（f+a）则sin2。的值是.

43

41.（2020•四川•棠湖中学高一月考）cos40°（l+^tanl00）=.

2

cos-a

42.（2021•广东・金山中学高一期中）已知tana=—，则―7一_____.

2cosl2a~—I

43.（2021.全国•高一课时练习）已知sin（a+^）=；,则sin[,-a]+sin2（方-a）的值为.

3S

44.（2020•福建省南平市高级中学高一期中）若久夕都是锐角，sin«=1,sin（a-4）=言，则cos/?=.

45.（2021・安徽舒城•高一期末）若Gcosa+sina=2f,贝ijcos（?-2a）=.

46.（2021•山东滨州•高一期末）函数/'（x）=3cos2x_6sinxcosx在区间04上的最大值为.

47.（2019♦河南驻马店•高一期末（文））已知当％时，函数/（x）=（a+l）s呜cos]—（a—l）cos29a2-2（。6火且

a>1）取得最大值，则tan夕=-2时，。的值为.

四、解答题

48.(2021•全国・高一课时练习)化简：

⑴sin'_jsin(：+x)

(2)cosA+cos(120°-A)+cos(120°+A)；

/八sin2acosa

(3).

1+cos2a1+cosa

49.(2021•全国•高一课时练习)证明：

(1)sin(a4-/?)sin(a-=sin2a-sin2/?；

(2)cos2x+cos2f—+x>l+cos2f—+xl=­.

I3)I3)2

50.(2021・全国•高一课时练习)化简：

(1)4sin2a(l-sin2a)+cos22a；

I”a(.a

小、l+2cos—sm----cos—

(2)2122人

sina-cosa

51.(2021・全国•高一课时练习)解答：

(1)化简：sin(a-/?)cosa-cos(a-/7)sina；

/3、#/土sin50-sin20cos30

(2)求值：-------------------

cos20°

(3)求函数y=sinx+6cosx的最大值.

52.（2021・北京•大峪中学高一期中）已知ae（0,5J,且sina=3g.

5

(1)求sin(a_(J的值;

(2)求cos〜耳+tan|]+aJ的值.

53.(2021•上海市民办西南高级中学高一月考)⑴已知sin(a+[尸工[<a<g,求cosa的值;

31362

5/2cos(—0)

47T

已知。<乃，求4

(2)tan26=—,—<2)0

322cos2——sin0-1

2

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【答案详解】

.1.

(1)(sinl5°+cosl50)2=sin215°+cos215°+2sin15°cos15°

13

=l+sin30°=l+-=-

22

(2)

,eei.八

sin—cos—=—sin

222

(3)

cos4a-sin4a=(cos2a)-(sin2aj

=(cos2tz+sin2a)(cos?a-sin2a)

=cos2a-sin2a

=cos2a

(4)

V2+cos200-sin2100=V2cos2100+2sin2100+cos2100-sin2100-sin2100

=V3cos210°

=V3COS10°

(5)

1________1_______1________1

l-tan(9l+tane，sin<9sin。

cos0cos0

11

=-----------------------------------

cos6-sin6cos6+sin6

cos0cos0

cos0cos0

---------------------------------

cos夕一sinecos6+sin6

cos6(cos0+sin一cos(cos6+sin6)

(cossin6?)(cos0+sin9)

cos2+cos0sin(cos2。-cosOsin。)

(cos0-sin，)(cos0+sin6)

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2cos0sin0

cos2sin2

sin26

cos2。

=tan20

(6)

因为0<a<7i,所以0<W<［,所以sin］〉。,

222

因此原式=加如4.

2

2.

(1)

.兀兀1.%1>/26

sin—cos—=—sin—=—x——=——

8824224

(2)

o.2兀1yj2

cos-——sin"—=cos—=——

8842

(3)

l-2sin2150=l-2xl(l-cos300)=cos300=^y

(4)

2tan!5°=tan30°=—

1-tan21503

(5)

(sin150-cos150)2=sin215°+cos2150-2sinl50cosl5°

=1-sin30°

=,4

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=­

2

(6)

2sin20°cos20°-2cos225°=sin40°-2xl(l+cos50°)

=sin400-cos500-l

=sin400-sin400-l

=-l

3.

(1)

,sina+cosa1

由----------=-,

sina-cosa2

等式左边分子、分母同除cosa得，更竺二=《，解得tanau—3,

tana-12

mi32tana3

则tan2a=--------=—.

1-tan*-a4

(2)

2sin?35。-1_2sir35°-l_-cos70°1_

cos100-^3sin100~~T\二。6,二。1—2sin20°-

212—cos10---2-sin100J

4.(1)T=元：(2)k/r+—,k7r+,/cGZ；(2)详见解析.

63

【详解】

(1)/(x)=-1+2A/3sinxcosx+2cos2x,

=cos2x4-5/3sin2x,

=25①(2工+专)，

所以函数的周期为7=4="；

2

TTTT?乃

(2)令2女万+—W2x+—W2Z乃+——eZ,

262

IT27r

解得kr+—《工(2万+——、keZ,

63

所以函数的单调减区间是kn+jk兀+”,k^Z.

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（3）由xw12~12列表如下:

c兀717t

2x+—-7t071

6~2

7471兀n57r

12312612

y0-2020

则函数〃x）的图象如下:

【详解】

(1)由f(x)=—sin2x-cos2x+—=sin2x-^°S=sin(2x--),

22226

所以函数/(x)的最小正周期为T=g=兀.

c4]Ic兀「7T57c

(2)xE0,一时.2x--G—,—,

L2」6L

/兀1「1J

I6jL2J)

"(x)的值域为f.

正;(4)32.

6.(1)-46；(2)收；(3)

3

【详解】

(1)原式—石tanl2O-3_&sinl2°-3cos12°_石sinl2°-3cos12°

八2cos24°sin1202cos24°sin12°cosl20cos24°sin24°

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-4g—sin12°--cosl2°

^2V3sinl2o-6cosl2°_{22J

sin48°-sin48°

「4An48。一行

sin48°

cos400+sin50°|1+V3sin10°

(2)原式Icos10°

V2sin70°cos20°

cos10°cos400+sin50°(cos10。+6sin10。)

5/2sin70°cos20°cosl00

cos10°cos400+2sin50°(cos60°cos100+sin60°sin10°)

5/2sin70°cos20°cos10°

cos10°cos400+2sin50°cos50°_cosl0°cos400+sin100°

72sin70°cos20°cos10°—>/2sin70°cos20°cos10°

cos10。cos40。+sin80。_cos40。+1_2cos220。_6

41sin70°cos200cos10°&sin70°cos20°\[2cos20°cos20°

(3)原式也4sin2(r(l2sin220。)后―4sin202840。

2sin20。sin480。2sin20°sin480°

V3-4sin20°cos40°2sin(20°+40°)-4sin20°cos40°

2sin20°sin480°2sin20°sin480°

_2sin(40°-20°)_1_1_

-2sin20。sin480。-sin480。-sin120。一~,

(4)原式=(cos10°-73cos80°)(cosl0°+V3cos80°)]

cos*1280°cos210°cos20°

_4(cos60°cos100-sin60°sin10°)(cos60°cos100+sin60°sin100)1

cos280°cos210°cos20°

4cos500cos70°14sin40。sin20。

-cos280°cos210°cos20°-sin210°cos210cos20°

32sin220。cos20。_32

sin220°cos20°

7.

(1)

=gcosx+Tsinx=sin[x+7),•,•最大值为1,最小值为一1；

(2)

•/y=sinx-cosx=V2sin,•••最大值为0,最4、值为一夜；

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(3)

y=sinx+gcosx=2sin(x+]).,.最大值为2,最小值为-2：

(4)

Qy=sin2x-百cos2x=2sin(2x-q),.•.最大值为2,最小值为-2.

8.B

【详解】

2cos345x+2cos2x-2cos2—

/(x)=----------------------1

2cos2—

2

_2cos3x+2cos2x-(1+cosx)

l+cosx

_2cos2x(l+cosx)-(1+cosx)

1+COSX

=2cos2x-1

=cos2x

所以/(X)的最小正周期为军=万，

2

故选：B

9.(1)-+：；(2)

44

【详解】

八、T.cos(15°-8o)-sinl5osin80cosl5°cos8°/“。

(1)原15式=-----------------------=-----------=cos115C0O=cos(60°-45°)=

cos8°cos8°

cos60°cos450+sin60°sin45°=

4

(2)因为d/均为锐角，cosa=2,cos/=®,

510

所以sinesin/7=3\/iU,由sinavsin/?

510

(7t

根据函数丁=$抽”在[0,《J上为增函数，所以力＞〃

y

所以cos(a-0)=cosacos力+sin2sin0-x+x3.

5105102

TTTT

又a，£均为锐角，则-]＜a-夕＜0,所以a—夕=一£

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10.

(1)

左边二2sin(兀+&)cos(7i—6z)=2(-sina)(-cosa)=2sinacosa=sin2a=右边，原式成立.

(2)

左边=sin2x+cos2x+2sinxcosx=14-sin2x=右边，原式成立.

(3)

左边=1+2COS26-(2COS2。-1)=2=右边，原式成立.

(4)

l-(l-2sin2a)2sin2a

左边=2sina=右边,原式成立.

sinasina

(5)

l-(l-2sin2A)普=3入右边，原式成立.

左边

1+2COS2A-1

(6)

左边

=\/cos240+sin240-2sin40cos40°=|cos400-sin40|=cos40-sin40=右边，原式成立.

5

11.(1)--；(2)

1212

【详解】

12

sinasin/?=—^[cos(a+,)-cos(a-/?)]=-^x5

1412

(2)原式

sin40°+2sin40°cos40°_sin40°+sin80°_sin(60°-20°)+sin(60°+20°)2sin60ocos20°

A/3.

2--=tan60°=

cos40°+(2cos40°-l)cos400+cos800cos(60°-20°)+cos(60°+20°)2cos600cos20°

12.(I)—；(II)16.

5

&力zx〜sinO+cos®_uL”lan0+l_左”口八.

解：(It)由一------=2,所以-------=2,解得tan9=3,

sin夕一cos夕tan6/-1

所以(l+"sin。=(sin。+cos行sin。=+sin%os。

sin0+cos0sin0+cos0

sin2e+sinOcos。_tan?6+tan，_32+3

sin2<9+cos26tan26^4-132+1

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口)(2cos*21*2°-l)sin60cos6°

&sin12°V3cos120-sin12°

=cos12。=cos12。

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4—cosl20--sinl2°,、

(22J_8sin(60°-12°)

cos24°-sin12°-cos12°cos24°•sin24°

二8sin48。

』sin48°

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解：(1)ae(0,^),cose==a,sina

.•.sinf«-^=sin«cos^-cosasin^^x11x1=Vi0

I4J44后夜石夜10

(2)sina=~~>s>n(a+=|

Qe(71,cos(a+y?)=_g

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