高中数学-【课堂实录】二元一次不等式（组）与平面区域教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE6PAGE3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域教学设计课标分析：课程标准：1）从实际情境中抽象出二元一次不等式组。2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。课标将最简单的线性不等式组——二元一次不等式组作为不等式部分的重要内容，并将其作为刻画区域的工具，为解决简单的线性规划问题做铺垫。如同其他内容一样，对二元一次不等式组，课标也强调要从实际情境中抽象出二元一次不等式组模型，而不是像往常那样从纯数学角度提出问题。对于不等式组，课标十分强调其几何意义，要求用平面区域表示二元一次不等式组。这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，能使学生进一步体会到数形结合思想、化归思想、从特殊到一般思想的实质及其重要性，也是体现数形结合的重要素材。一、教材分析本节课是新教材必修5第三章第三单元第一节的内容，在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握了二元一次方程与平面直线的对应关系。通过探究二元一次不等式的解集的几何意义，理解不等式是刻画区域的重要工具，进而介绍二元一次不等式（组）所表示的平面区域。通过本节课的学习为后面寻求“最优解”的线性规划问题奠定基础。在本节课的学习过程中，使学生体会到数形结合的数学思想，发展学生应用数学的意识；同时让学生进行数学探究，体验知识的形成、应用过程，尝试运用特殊到一般，在由一般在回归到特殊的解决问题的思维方法。学生在之前的学习中已经学习了不等式的一些知识，并且知道了二元一次方程的解在平面直角坐标系中的图像是一条直线，通过类比的思维方式就可引入本节的教学。教科书在第3.3.1节探求二元一次不等式所表示的平面区域时，先后以思考猜想和探究的方式提出问题，从研究具体不等式的解集所表示的平面区域入手，讨论直线的某一侧点的坐标与不等式的关系，由此推广到一般的二元一次不等式表示的平面区域，并得到了二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集的结论。二、学情分析：学生在前面学习的基础上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成，虽然有一定的数学思维能力,但存在个别差异，故采用循序渐进，螺旋上升的方式。学生厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行思考探索的空间，给他们发表自己见解和表现才华的机会。三、教学目标知识与技能：1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及二元一次不等式组表示平面区域；2）能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域。过程与方法：（1）培养观察能力、画图能力、转化能力、逆向思维能力；2）渗透化归、数形结合等思想。情感态度与价值观：培养探索创新精神、辩证统一的唯物主义观点。四、教学重难点重点：二元一次不等式(组)表示平面区域。难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域。五、教法分析1、教学方法采用类比，启发引导，讨论探究，讲练结合的教学方法。2、教学准备三角板、电子白板、实物展台、几何画板、讲义（两份）六、学法分析本节课是抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境，通过观察、归纳、思考、探索、交流反思参与学习，学会学习，发展能力。七、教学过程（一）创设情境，生活实例一家银行的信贷部计划年初（最多）投入2500万元用于企业和个人贷款，希望这笔资金（至少）可带来3万元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如何分配资金呢？问题1：把实际问题转化为数学问题；问题2:把文字语言转化符号语言。设企业贷款为x万元，个人贷款为y万元（由“等”到“不等”，由方程组到不等式组）设计意图：通过创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标。使学生将现实问题与数学问题结合起来,体现化归思想，本题中将等式转化到不等关系,学生通过讨论,大胆猜想,最后引导学生用不等关系来刻画本题.并由此提出本节课的知识内容.（二）新知探究1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式；（2）二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组；探究一：你知道二元一次不等式的解集是什么？小组讨论：1）二元一次方程x-y-6=0的解集是什么？2）平面直角坐标系中,解集对应什么？设计意图：类比二元一次方程的解集和在平面直角坐标系对应情况，小组讨论，合作探究得到不等式的解集，温故知新。2、二元一次不等式（组）的解集足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y）,所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，有序实数对可以看作是直角坐标系平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内点构成的集合。探究二：在直角坐标系内，二元一次不等式的解集表示什么图形？点集对应图形问题一{（x,y）|x-y-6=0}一条直线问题二{（x,y）|x-y-6≠0}直线外的平面区域问题三{（x,y）|x-y-6<0}？？设计意图：以问题串的形式，由浅入深逐步引所学内容，并以问题三具体实例入手展开活动。问题三：二元一次不等式x-y-6<0在平面直角坐标系下表示什么区域？围绕问题三师生展开如下活动。活动一：由数到形【教师演示】运用多媒体(几何画板)进行动态展示：在平面直角坐标系中，所有的点被直线x-y－6=0分成三类：即在直线x-y－6=0上；直线左下方的平面区域；直线右上方的平面区域。任意点P所满足的关系在直线上，引出x-y-6<0的解集在哪一侧，引发小组合作【小组合作】设点P（x,y1）是直线l上的点，选取点A（x,y2）使它的坐标满足x-y<6，填写下表：横坐标x－2－1012点P的纵坐标y1点A的纵坐标y2在坐标系中将满足不等式的解所对应的点描绘到坐标系下，通过对其位置进行分析，归纳猜想得出相应结论。展示成果投影仪展示：【学生总结】满足不等式x-y<6解得点都在直线的左上方；满足不等式x-y>6解得点都在直线的右上方设计意图：动态演示，小组合作。培养作图、运算、归纳猜想的能力培养语言表达能力和相互协作的团队精神。活动二：由形到数【学生尝试】让学生尝试在直线x-y－6=0的左上方多取若干点，自动计算x-y-6的值，发现都是小于零。【教师演示】教师借助几何画板在直线x-y－6=0的一侧任意取一点A(x,y)的坐标进行跟踪显示，并将点A(x,y)的坐标代入x-y－6中，观察所得值的符号，并归纳发现在直线x-y－6=0的同一侧的点都满足不等式x-y－6<0（或>0）。从而使二元一次不等式的解与平面区域的对应关系的理论体系更加完备。【共同证明】如何完成从特殊到一般的证明？分析：几何画板动态演示在直线x-y－6=0的左上方任取一点A(xA,yA),为了与直线x-y－6=0的点发生联系，不妨过A点作与x轴垂直的直线交直线x-y－6=0于P(xp,yp)点。则有xA=xp，yA＞yp，所以xA-yA－6<xp-yp－6=0。所以对于在直线x-y－6=0的左上方任一点A(x,y)都有x-y－6<0。同理可得，在直线x-y－6=0的右下方任一点都能使x-y－6>0成立。【具体结论】结论:在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6,故不等式x-y<6表示直线x-y=6的左上方的平面区域,类似地,二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6的右下方的平面区域【独立思考】二元一次不等式x-y-6<0与x-y-6≤0的区别？直线叫做这两个区域的边界。注意：把直线画成虚线以表示区域不包括边界【师生归纳】1）Ax+By+c>0表示直线）Ax+By+c=0某一侧所有点组成的平面区域;2）把直线画成虚线表示区域不包括边界；把直线画成实线表示区域包括边界.设计意图：培养学生治学严谨，归纳总结的能力。结合具体实例，由特殊到一般，研究二元一次不等式的几何意义。让学生品尝成功，为后面应用做好准备（三）例题示范思考：如何判断Ax+By+C>0表示的平面区域呢？例1：画出不等式x+4y<4表示的平面区域解：(1)直线定界:先画直线x+4y–4=0（画成虚线）(2)特殊点定域:取原点（0，0），代入x+4y-4，因为0+4×0–4=－4<0所以，原点在x+4y–4<0表示的平面区域内，不等式x+4y–4<0表示的区域如图所示。设计意图：通过教师亲身示范并总结出解题步骤和解题规律:“直线定界，取点定域”课堂练习1:(1)画出不等式4x―3y≤12表示的平面区域(2)画出不等式x≥1表示的平面区域例2、用平面区域表示不等式组的解集.y<－3x+12x<2y分析：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集，因而的各个不等式所表示的平面区域的公共部分。设计意图：教师分析，学生自主画图，然后教师总结。本题主要是训练学生在解二元一次不等式组的一般步骤。(课件演示)课堂练习2：课本第86页的练习3。不等式组表示的平面区域是（）（四）回归实例解：设用于企业贷款的资金为x万元，用于个人贷款的资金为y万元，则：平面区域如图阴影部分：设计意图：回归主题，使用学生能够将数学知识用于实践之中。体会数学的实际应用.（五）课堂小结学科知识：1）二元一次不等式Ax+By+C>0所表示平面区域的画法2）二元一次不等式组所表示平面区域的画法数学思想：1）化归思想2）类比思想3）数形结合思想4)特殊到一般思想设计意图：引导学生对所学知识、思想方法进行自己总结，引导学生对学习过程进行反思．培养表达能力归纳能力(六)当堂检测课本第86页的练习1、21、不等式x–2y+6>0表示的区域在直线x–2y+6=0的（）（A）右上方（B）右下方（C）左上方（D）左下方2、不等式3x+2y–6≤0表示的平面区域是（）设计意图：练习1是训练学生会用语言表述二元一次不等式表示的平面区域，练习2是让学生熟悉二元一次不等式的所表示的平面区域的判定方法。通过以上二个练习，检验教学效果，使学生能自觉运用所学知识与解题思想方法。(七)布置作业（基础题）课本P93习题3.3A组1、2（提高题）拓展与提高：B组2。设计意图：针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有佘力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。八、板书设计§3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域1.定义：例1：练习1：2.结论：例2：练习2：3.判断方法：解决实例九、课后反思在整节课中，我注重几何画板的使用和探究过程的设计。引导用的问题的设置有梯度并且留有探究的空间，尽可能地把有限的教学时间还给学生、把课堂的话语权还给学生，让学生经历思考、探究、总结、叙述、完善的过程，经历思维成长的烦恼，感悟研究的乐趣，让学生思维在跌跌撞撞的摸爬滚打中逐渐“健壮”起来。只有通过有效的过程性教学，才能将新课标的理念贯彻到行动中，才能切实保障过程性目标的有效达成，藉此，学生不仅掌握了数学知识，更懂得了生活的道理，实现了综合素养的一次跨越式的提升，为学生的终身可持续发展打下坚实的基础。具体教学过程做如下反思：一、以生活中一个具体的利益最大话问题入手，激发学生的兴趣，让学生体会生活中的数学，并且也以这个问题结束，让学生体会数学源于生活，并服务与生活，完成一愉快的数学旅行。整个旅行过程探究式，合作式教学走进课堂为学生的学习提供了多样化的活动方式。不管是从二元一次不等式的定义的引出还是解集的概念以及表示图形的探究都激发学生的兴趣，让学生积极参与。学生通过观察、猜想、推理等丰富多彩的活动达到了知识的主动构建与理解。二、注重渗透数学思想方法。一开始的生活实例体现了化归思想；由二元一次方程x-y-6=0的解集类比得到不等式的解集体现从类比思想；从具体的二元一次不等式x-y-6<0表示的图形到AX+By+C>0的解集体现从特殊到一般的思想；最后从头到尾体现数形结合的思想。三、信息技术走进课堂：充分利用多媒体手段和几何画板等软件以轻松愉快的动画演示，化抽象为形象，学生在轻松中学习，创设了直观的课堂教学效果，化解了知识的难点。四、组织形式多样化：小组讨论、小组合作、图形展示、独立回答、黑板演示，深入课堂学生成为正真的主人。五、作业设计:分基础题和提高题，因材施教，面向全体，不同的学生有不同的要求，做到以学生为主体地位。本节课，在教师的引导下，学生的思维活动展开的比较充分，在课堂上学生积极参与，积极探索，学习的热情较高，在对公式的理解，思想方法分析能力,逻辑的体会，以及运算推理能力的提高等方面都有较大的进步．存在的不足之处，恳请各位专家批评指正，谢谢！学情分析：学生在前面学习的基础上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成，虽然有一定的数学思维能力,但存在个别差异，故采用循序渐进，螺旋上升的方式。学生厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行思考探索的空间，给他们发表自己见解和表现才华的机会。效果分析：在上课之初，就从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三方面给设计了相应的目标，最后从整节课的教学反馈来看，三维目标基本实现。在知识上，学生能充分记忆二元一次不等式的定义，以及所代表的几何意义，并能熟练的掌握判断平面区域的方法，直线定界，特殊点定域。从学生的黑板板演，以及随堂练习来看，效果较好，达到预期效果。在技能上注重培养学生从生活中的实际问题抽象出相应的函数模型，引导学生独立思考与小组合作相结合，都取得应有的进步。在整个学习过程中，用问题连，探究连把整堂课从头到尾串联起来，学生在整个过程中观察、分析、归纳、总结培养的学习能力。通过课件与几何画板实物展台的展示教学成果，让他们身临其境的参与到教学过程的每个环节中，成为学习的主人，体现他们的主体地位。在方法上，学生深刻体会数学中的数形结合等多种数学思想，提高了学生的作图能力。整堂课下来，使学生一直在参与，教师仅仅是一个引导者，基本达到了一开始设定的目标，不同层次的学生都各有收获。教材分析本节课是新教材必修5第三章第一节的内容，在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握了二元一次方程与平面直线的对应关系。通过探究二元一次不等式的解集的几何意义，理解不等式是刻画区域的重要工具，进而介绍二元一次不等式（组）所表示的平面区域。通过本节课的学习为后面寻求“最优解”的线性规划问题奠定基础。在本节课的学习过程中，使学生体会到数形结合的数学思想，发展学生应用数学的意识；同时让学生进行数学探究，体验知识的形成、应用过程，尝试运用特殊到一般，在由一般在回归到特殊的解决问题的思维方法。学生在之前的学习中已经学习了不等式的一些知识，并且知道了二元一次方程的解在平面直角坐标系中的图像是一条直线，通过类比的思维方式就可引入本节的教学。教科书在第3.3.1节探求二元一次不等式所表示的平面区域时，先后以思考猜想和探究的方式提出问题，从研究具体不等式的解集所表示的平面区域入手，讨论直线的某一侧点的坐标与不等式的关系，由此推广到一般的二元一次不等式表示的平面区域，并得到了二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集的结论。新课程对这部分的处理采用数形结合，几何直观推理的方法，循序渐进，螺旋上升，符合现阶段学生的认知水平，本课的教学正是对这一原则践行，从图象的角度展开学习，以图象为依托来探索二元一次不等式（组）与平面区域。随堂检测：课本第86页的练习1、2、1、不等式x–2y+6>0表示的区域在直线x–2y+6=0的（）（A）右上方（B）右下方（C）左上方（D）左下方2、不等式3x+2y–6≤0表示的平面区域是（）答案：B、D活动：这两个随堂练习是在学完了相应的教学任务之后来做的，主要目的是检验学生的掌握情况。学生独立思考完成学生回答，订正答案效果较好。效果反馈：总得来说，基本圆满的完成了本节课的教学任务，学生掌握的还是良好，并且学生有所收获，学生能熟练掌握判断二元一次平面区域的方法，但个别同学在有无边界上出现失误。课后反思：在整节课中，我注重几何画板的使用和探究过程的设计。引导用的问题的设置有梯度并且留有探究的空间，尽可能地把有限的教学时间还给学生、把课堂的话语权还给学生，让学生经历思考、探究、总结、叙述、完善的过程，经历思维成长的烦恼，感悟研究的乐趣，让学生思维在跌跌撞撞的摸爬滚打中逐渐“健壮”起来。只有通过有效的过程性教学，才能将新课标的理念贯彻到行动中，才能切实保障过程性目标的有效达成，藉此，学生不仅掌握了数学知识，更懂得了生活的道理，实现了综合素养的一次跨越式的提升，为学生的终身可持续发展打下坚实的基础。具体教学过程做如下反思：一、以生活中一个具体的利益最大话问题入手，激发学生的兴趣，让学生体会生活中的数学，并且也以这个问题结束，让学生体会数学源于生活，并服务与生活，完成一愉快的数学旅行。整个旅行过程探究式，合作式教学走进课堂为学生的学习提供了多样化的活动方式。不管是从二元一次不等式的定义的引出还是解集的概念以及表示图