第07章多元函数微分法及其应用7 5隐求导公式

第五节 隐函数的求导公式第七章一、一个方程的情形二、方程组的情形

三、小结与思考练习本节讨论:方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当C

<0

时,能确定隐函数;当C

>0

时,不能确定隐函数;在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导方法问题.一、一个方程的情形定理1

设函数则方程并有连续定理证明从略，仅就求导公式推导如下：在点的某一邻域内满足①具有连续的偏导数;②

F

(x0

,

y0

)

=

0;③

Fy

(x0

,

y0

)

„

0的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数y=f(x),满足条件导数(隐函数求导公式)两边对x

求导d

y

=

-

Fxdx

Fy在的某邻域内

Fy

„

0则在点(0,0)某邻域并求例1

验证方程可确定一个单值可导隐函数解:

令（补充题）则连续,①②③由

定理1

可知,

在

x=0的某邻域内方程存在单值可导的隐函数

且=

-ex

-

ycos

y

-

xx

=

0,

y

=

0(

)dx

cos

y

-

xd

ex

-

y=

-(

cos

y

-

x

)2=

-=

-3x

=

0y

=

0y¢=

-1(

ex

-

y¢)(cos

y

-

x)

-(ex

-

y)(-sin

y

y

-1)x

=

0

=

-3dx2d

2

ysin

y

+

ex

-

xy

-1

=

0,

y

=

y(x)两边对x

求导¢两边再对x

求导-

sin

y

(

y¢)2

+

cos

y

y令

x

=

0

,

注意此时

y

=

0

,

y

=

-1ex

-

yy¢x

=

0=

-

cos

y

-

x

(0,0)（自行练习课本

例1）导数的另一求法—利用隐函数求导的某邻域内具有连续偏导数,在点定理证明从略,仅就求导公式推导如下:定一个单值连续函数z=f(x,y),满足并有连续偏导数若函数F

(x,y,z)满足:①在点②

F

(x0

,

y0

,

z0

)

=

0③

Fz

(x0

,

y0

,

z0

)

„

0则方程 某一邻域内可唯一确定理2F

(x,

y

,

f

(x

,

y

)

)

”

0两边对x

求偏导¶z

=

-

Fx¶x

Fz同样可得则Fx

+

Fz”

02222+-

4

2

=

0¶x¶2

z2(

)¶x1

+

¶z¶2

z2x

+

2z

¶z

-

4

¶z

=

0¶x

¶x再对x

求导例2

设解法1

利用隐函数求导x

+

y

+

z

-

4z

=

0,

求

.

（补充题）¶x2两边对x

求偏导（自行练习课本

例2）解法2

利用公式设则二、方程组的情形由F、G

的偏导数组成的行列式称为F、G

的雅可比(Jacobi)行列式.隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即③则方程组的某一邻域内可唯一确定一组满足条件的单值连续函数且有偏导数公式:满足:的某一邻域内具有连续偏定理3

设函数①在点导数；②定理证明略.仅推导偏导数公式如下：Fv1Fu

FvGu

Gv¶u

=

-

1

¶(F

,

G)

=

-¶x

J

¶(

x,

v

)

Fu

FvGu

Gv¶u

=

-

1

¶(F

,

G)

=

-

1¶y

J

¶(

y,

v

)FuGu1Fu

FvGu

GvFu

FvGu

Gv1¶v

=

-

1

¶(F

,

G)

=

-¶x J

¶(

u,

x

)¶v

=

-

1

¶(F

,

G)

=

-¶y J

¶(

u,

y

)Gx

GvFxFy

FvGy

GvFxGxFu

FyGu

Gy有隐函数组则两边对x

求导得设方程组二元线性代数方程组解的公式在点P

的某邻域内故得系数行列式¶u

=

-

1

¶(F

,

G)¶x

J

¶(

x,

v

)¶v

=

-

1

¶(F

,

G)¶x

J

¶(

u,

x

)同样可得¶u

=

-

1

¶(F

,

G)¶y J

¶(

y

,

v

)¶v

=

-

1

¶(F

,

G)¶y J

¶(

u

,

y

)2

2

2

2例

3

求由方程组x

+

y

+

u

+

v

=1,x

+

y

+

u

+

v

=

2,确定的函数u(x,y)和v(x,y)的偏导数¶u

，¶u

，¶v

和¶v

.¶x

¶y

¶x

¶y分析：此题可以直接用课本中的公式（6）求解，但也可按照推导公式（6）的方法来求解.下面用后一种方法求解.解：将所给方程两边对x

求导，并移项，得¶u

+

¶v

=

-1,

¶x

¶x¶u2u

+

2v=

-2x.¶x¶v¶x在J

==2(v

-u)„0

的条件下，解得1

12u

2v1

12u

2v-1

1-2x

2v¶ux

-

v=¶x=v

-

u1

12u

2v1

-1¶v

=

2u

-2x

=

u

-

x¶xv

-

u将所给方程的两边对y

求导.用同样方法在J

=2(v

-u)„0的条件下可得¶y v

-

u¶y v

-

u¶u

=

y

-

v

，

¶v

=

u

-

y

.例4设r(x,y)和q(x,y)由x=r

cosq

，y

=r

sinq

确定，求¶r

，¶r

，¶q

，¶q

.¶x

¶y

¶x

¶y

y

=

r

sinq解：方程组x

=r

cosq,两边对x

求偏导并移项，得xrx

cosq

-

r

sinq

qx

=1,r

sinq

+

r

cosq

q

=

0.

xsinqr

cosqcosq

-r

sinq在

J

= =

r(cos2

q

+

sin2

q)

=

r

„

0

的条件下，解得¶r

=

cosq

，

¶q

=-¶x

¶x

rsinq

.类似地，方程组两边对

y

求偏导，解得

¶r

=

sinq

，

¶q

=

cosq

.¶y

¶y

r内容小结隐函数(组)存在定理隐函数(组)求导方法方法1.

利用复合函数求导法则直接计算;方法2.

代公式课后练习习题7－51、3、5、7、10、11（1）（3）思考练习1.

设求•••解法1:d

z

=

f1(dx

+dy

+

dz

+

f2

(yz

dx

+

xzdy

+

xyd

z解出dx

:dx

=

-(f1

+

xz

f2

)dy

+

(1-

f1

-

xy

f2

)dzf1

+

yz

f2由d

y,d

z

的系数即可得解法2：利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.e

-

xy

=

2

,xy有连续的一阶偏导数

,

又函数分别由下列两式确定

:2.

设解:

两个隐函数方程两边对

x

求导,

得d

u

y

ex

(x

-

z)d

x

=

f1¢-

x

f2¢+

[1

-

sin(x

-

z)

]f3sin(x

-

z)ex

(x

-

z)z¢=1-0d

t

,tsin

txx-ze

=(2001考研)解得因此是由方程和

所确定的函数,求解法1

分别在各方程两端对

x

求导,

得(99考研)3.

设对各方程两边分别求微分:化简得消去 可得解法2

微分法.雅可比(1804

–1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”并,应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,

在分析力学,动力学及数学