高中数学-双曲线及其标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

2.3.1双曲线及其标准方程一、教学目标重点:双曲线的定义及双曲线标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：双曲线标准方程的建立和推导.知识点：会根据条件求双曲线的标准方程.能力点：通过对双曲线概念的引入教学，培养学生的观察能力和动手能力；通过对双曲线标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过对生活中的双曲线知识及数学实验探究激发学生的学习兴趣和创新意识，培养学生用联系的观点认识问题.自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成双曲线的定义；2.引导学生寻求双曲线标准方程的研究途径，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法.考试点：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.了解双曲线的定义、几何图形、标准方程.易错易混点：标准方程中三者的关系与椭圆中三者的关系的区别.拓展点：链接高考.二、复习引入问题1.椭圆的定义是什么？问题2.椭圆的标准方程是怎样的？关系如何？【设计意图】以问题的形式回顾上一节课所学知识，既复习了旧知又加深了对已学知识的理解．问题3.如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生怎样的变化？【设计意图】首先设疑，提出新的问题，打破知识结构的平衡，引发学习兴趣．问题4.能否利用手头的工具来演示得到满足这样条件的曲线呢？【设计说明】学生课前准备：全班按4人一组分成若干组，每组准备8K纸一张，拉链一根．教师课前准备：小木板一块，长拉链一根，图钉两枚，美工笔一支．问题5.如何操作才能实现距离之差为定值？并找出这个定值是谁？教师引导学生共同探讨出操作过程：取拉链，拉开一部分，在拉开的一边上取其端点，在另一边的中部位置取一点分别固定在纸上的两个定点和处（说明：（1）如：在拉链未拉开时有，拉开后是定长；（2）的距离要比的距离大），把笔尖搭在拉链头M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线．【设计说明】通过上述两点说明先让学生知道按照上述操作可满足距离之差为定值；接下来老师先在讲台上演示，然后全班按4人一组开始操作．展示学生画图结果：结果一：画出来的曲线开口向右边．学生总结：动点M变化时，与在不断变化，但总有,其中为常数．结果二：画出来的曲线开口向左边．学生总结：动点M变化时，与在不断变化，但总有,其中为常数．【设计说明】此处和课件共用，用几何画板展现双曲线的形成过程，使得多媒体真正做到为课堂有效服务．教师总结：这两条曲线合在一起称为双曲线，每一条叫作双曲线的一支．三、探究新知（一）探究：双曲线的概念思考1：请同学们总结，上述操作中动点所满足的几何条件是什么？【设计说明】教师引导学生归纳出：常数（小于）.思考2：为什么要求常数小于，这一点可以从哪个角度解释？学生回答：三角形中两边之差小于第三边.【设计意图】弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一．这个“差”要小于两定点之间的距离，以加深对概念的理解.问题：类比椭圆的定义，你能否概括出双曲线的定义？【设计意图】培养学生的归纳概括能力、类比能力．双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距(记为)．即：(小于)．说明：．思考：（1）定义中的“绝对值”三字能否去掉？为什么？【设计意图】明确两支曲线．（2）若，则点M轨迹是什么？学生回答：两条射线．（3）若，则点M轨迹是什么？学生回答：不存在．（4）若，则点M轨迹是什么？学生回答：线段的垂直平分线．【设计意图】加深学生对双曲线概念的理解，但是学生对于该问题的探究比较困难，教师要做适当引导．注意：对于双曲线定义须抓住两点—一个关系式，一个范围．（二）探究：双曲线的标准方程探究1：类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？【设计说明】教师提示步骤，引导学生来推导．Oyx①建系：如图，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴.Oyx②设点：设是其上任一点，焦距为，那么焦点．③列式：，即.④化简：化简整理得，两边同除以得．※，令（）代入※式得．．【设计说明】其中第④步的化简过程可类比椭圆标准方程的化简过程自己动手化简．教师说明：这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的是焦点在轴上，焦点坐标分别是的双曲线，这里.【设计意图】求曲线方程时建立坐标系要适当．与化简椭圆方程联系，运用化简椭圆方程的经验．探究2：类比椭圆焦点在轴上的标准方程，如何得到焦点在轴上双曲线的标准方程？学生不难得出：只要将方程中的互换即可.．．【设计意图】可以培养学生类比的思想和动手能力．探讨3：双曲线的两种标准方程形式的比较：①方程用“”号连接；②分母是，（），但大小不定；③；④如果的系数是正的，焦点在轴上；如果的系数是正的，焦点在轴上.【设计意图】加深学生对双曲线两种标准方程形式的理解与记忆．四、理解新知双曲线与椭圆之间的区别与联系：1.定义：椭圆：；双曲线：.注：一个关系式，一个范围．2.标准方程：椭圆：焦点在x轴上：，双曲线：焦点在x轴上：，焦点在y轴上：．焦点在y轴上：．3.三者的关系：椭圆：；双曲线：．【设计意图】反复与椭圆类比，既加强与已有知识的联系，又找出与旧知识的不同之处．同化与顺应.五、运用新知例1.已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程.解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为(,).∵∴∴.所求双曲线标准方程为.【设计意图】一是加强学生对双曲线概念的理解；二是让学生掌握求双曲线标准方程的方法—先定型，后定量．变式1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程：焦点在轴上，焦点在轴上，经过点焦点为,过点答案：（1）（2）（3）例2.已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程.Oyx分析：首先要判断轨迹的形状．由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．这样，爆炸点在以，为焦点的双曲线上.因为爆炸点离处比离处远，所以爆炸点应在靠近处的双曲线的一支上．Oyx解：如图，建立直角坐标系，使，两点在轴上，并且坐标原点与线段的中点重合．设爆炸点的坐标为，则，即．又，所以，所以．因为，所以．因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为．【设计意图】让学生体会数学来源于实践，又应用于实践．加强对双曲线标准方程的认识以及建系原则.变式2.（1）若，两地同时听到炮弹爆炸声，求炮弹爆炸点的轨迹．答案：炮弹爆炸点线段的垂直平分线上．（2）若，两地听到炮弹爆炸声的时间差为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．答案：．（3）根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用.【设计意图】让学生体会数学来源于实践，又应用于实践．加强对双曲线标准方程的认识以及建系原则.六、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1.知识：（1）双曲线的定义：（2）双曲线的标准方程：2.思想：归纳概括思想、类比思想．教师总结:概念的推导过程用到了前面所学过的知识，提醒学生:在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．【设计意图】加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．七、布置作业1.书面作业必做题：课本P61—62第1，2，5题选做题：已知定点和定圆，动圆和圆相外切，并且过定点，求动圆圆心的轨迹方程．答案：．【设计意图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了让学生能够正确理解双曲线的定义，并会求双曲线的标准方程．其中对于课本第61页第MOBAyx2（2）可以用两种方法解决，第一种由于焦点位置不确定可以讨论，用待定系数法解决；第二种在于设元的技巧，可设为或或MOBAyx2.课后探究探究：如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程，并与§2.1．例3比较，有什么发现？提示探究方法：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程．【设计意图】注意与椭圆一节中斜率之积是的区别．争取达到学一例、触一类、通一片．八、教后反思本节课设计亮点是在教学思想上，以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、教师演示、学生动手演示、合作等多种方式，充分调动学生的思维，形成以学生为主体的课堂氛围．另外本堂课始终与椭圆对比进行，既找出了共同点也发现了不同点，有利于学生更好的掌握．但也存在几个值得反思和讨论的问题：（1）在探究和时学生理解不到位，建议用实物演示和画图相结合帮助学生理解.（4）课堂容量较大，变式较多，处理不太充分，没能完全展现学生的思维.九、板书设计2.3.1双曲线及其标准方程创设情境：探究新知：1.双曲线的定义：