高中立体几何数学组卷

高中立体几何数学组卷一．选择题（共15小题）1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC=3，D为AB边上的中点，点M在线段BD（不含端点）上，将△BCM沿CM向上折起至△B'CM，设平面B'CM与平面ACM所成锐二面角为α，直线MB'与平面AMC所成角为β，直线MC与平面B'CA所成角为γ①tanβ≤32tanα；②γ≤β；③γA．① B．①② C．②③ D．①③2．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，E，F，G分别是侧棱AA1，BB1，CC1上的点，且AE＞CG＞BF，设直线CA，CB与平面EFG所成的角分别为α，β，平面EFG与底面ABC所成的锐二面角为θ，则（）A．sinθ＜sinα+sinβ，cosθ≤cosα+cosβ B．sinθ≥sinα+sinβ，cosθ＜cosα+cosβ C．sinθ＜sinα+sinβ，cosθ＞cosα+cosβ D．sinθ≥sinα+sinβ，cosθ≥cosα+cosβ3．在三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，则AP→A．13AB→+C．13AB→4．已知点P是正方体ABCD﹣A'B'C'D'上底面A'B'C'D'上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为α，面ABP与面CDP所成的锐二面角为β，若α＞β，则下列叙述正确的是（）A．∠APC＞∠BPD B．∠APC＜∠BPD C．max{∠APD，∠BPC}＞max{∠APB，∠CPD} D．min{∠APD，∠BPC}＞min{∠APB，∠CPD}5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BB1，DD1的中点，G为侧面ABB1A1内一个动点．若D1G∥平面AEC1F，则D1G与平面ABB1A1所成角的正切值的最大值为（）A．55 B．1 C．2． D．6．已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，AB＝BC＝1，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则（）A．有且仅有一点P使二面角B﹣l﹣C取得最小值 B．有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最小值 C．有且仅有一点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值 D．有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值7．已知空间内a→，b→，c→为三个两两垂直的单位向量，若x+y+z＝1，pqr＝0，则|xa→+2yb→+3zc→|+|（x+p）a→+（2y+A．255 B．31010 8．点M是棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AB的中点，CN→=2NC1→，动点P在正方形AA1DD1（包括边界）内运动，且PBA．[13，19] B．[3355，199．正四面体ABCD，CD在平面α内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是（）A．0 B．π6 C．π3 10．已知长方形ABCD中，AB＞BC，现将△ABC沿AC翻折至△AB'C（B'与B不重合），设直线AB'与CD所成角为α，二面角A﹣B'C﹣D为β，则（）A．α＜β B．α＞β C．α＝β D．以上都不对11．在棱长为63的正四面体D﹣ABC中，过点D的平面Γ与底面ABC所成锐二面角的正切值为6，设平面Γ与底面ABC的交线为l，当平面Γ运动时，直线l在△ABCA．93+6π B．33+12π C．12．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，BC＝2，P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）A．（0，22] B．[12，63] C．[22，2]13．在正四面体D﹣ABC中，点E在棱AB上，满足AE＝2EB，点F为线段AC上的动点，则（）A．存在某个位置，使得DE⊥BF B．存在某个位置，使得∠FDB=πC．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为714D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为314．已知矩形ABCD，M是边AD上一点，沿BM翻折△ABM，使得平面ABM⊥平面BCDM，记二面角A﹣BC﹣D的大小为α，二面角A﹣DM﹣C的大小为β，则（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜π2 15．足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A，B，C，D满足AB＝BC＝AD＝BD＝CD=2dm，二面角A﹣BD﹣C的大小为2πA．742π27dm3 B．352π27dm3 C．14π27二．填空题（共15小题）16．棱长为6的正四面体ABCD内有一个内切球O，M为CD中点，N为BM中点，连接AN交球O于P，Q两点，PQ的长为．17．棱长为36的正四面体ABCD的外接球与内切球的半径之和为，内切球球面上有一动M，则MB+13MC18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，在平面A1B1C1D1内，直线l∥B1D1，设二面角A﹣l﹣E的平面角为θ，当θ取最大值时，cosθ＝．19．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB、AC、AD都在平面α的同侧．若顶点B，C到平面α的距离分别为1，2．建立如图所示的空间直角坐标系，设平面α的一个法向量为（x0，y0，z0），若x0＝1，则y0＝，z0＝，且顶点D到平面α的距离是．20．在空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（2，1，1）且与直线x−3y+z+1=03x−2y−2z+1=0垂直的平面方程为21．如图，点A在锐二面角α﹣MN﹣β的棱MN上，在面α内引射线AP，使AP与MN所成的∠PAM为45°，与面β所成的角为30°，求二面角α﹣MN﹣β的大小°．22．△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：．23．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为．24．在正三棱锥P﹣ABC中，M、N分别是侧棱PB，PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧面与底面所成的角的正切值是．25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，则二面角C1﹣AB﹣C的余弦值为．26．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=π3．现将菱形沿对角线AC折成空间几何体ABCD'．设空间几何体ABCD'的外接球为球O，若球O的表面积为8π，则二面角B﹣AC﹣D'的余弦值为27．已知四面体有五条棱长为3，且外接球半径为2．动点P在四面体的内部或表面，P到四个面的距离之和记为s．已知动点P在P1，P2两处时，s分别取得最小值和最大值，则线段P1P2长度的最小值为．28．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上一点，|PB|+|PC1|＝λ．①若λ＝4，则满足条件的点P的个数为；②若满足|PB|+|PC1|＝λ的点P的个数为6，则λ的取值范围是．29．如图，圆柱W的底面半径为1，高为2，平面MNFE是轴截面，点G，G1分别是圆弧ME，NF的中点，H在劣弧NG1上（异于N，G1），H，G，G1在平面MNFE的同侧，记二面角G﹣NH﹣F，G﹣FH﹣N的大小分别为α，β，则tanα﹣tanβ的取值范围为30．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝32，F为线段BC上的点，CF＝2，E为线段AB上的点，现将四边形AEFC沿EF折起，使点A在平面BEF上的射影Q在直线BF上，且二面角A﹣EF﹣B的大小为60°，则此时线段AE的长度为．三．解答题（共30小题）31．如图，DA和CB都垂直于平面ABE，F是DA上一点，且CB＝4，AF＝2，△ABE为等腰直角三角形，且O是斜边AB的中点，CE与平面ABE所成的角为45°．（1）证明：FO⊥平面OCE；（2）求二面角F﹣EC﹣O的平面角的正切值；（3）若点P是平面ADE内一点，且OC⊥OP，设点P到平面ABE的距离为d1，PA＝d2，求d1+d2的最小值．32．在四棱锥P﹣ABCD中，E为棱AD的中点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC＝90°，ED＝BC＝2，EB＝3，F为棱PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；（Ⅱ）若二面角F﹣BE﹣C为60°，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．33．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD（Ⅰ）求证：DF∥平面ABE；（Ⅱ）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34？若存在，求出线段BP34．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB＝4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，动点D在斜边（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；（Ⅱ）求CD与平面AOB所成角的正弦的最大值．35．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：△PBC是直角三角形；（2）若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为2时，直线AB与平面PBC所成角的正弦值．36．如图，四棱锥A'﹣BCDE是由直角△ABC沿其中位线DE翻折而成，且∠ABC=π2，PC＝2PA'，设AB＝1，（Ⅰ）若∠A'EB=π3，求二面角A'﹣BD﹣（Ⅱ）若二面角C﹣A'D﹣E的大小为5π6，求三棱锥P﹣A'ED37．在①OH∥平面PAB，②平面PAB⊥平面OHC，③OH⊥PC，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AC＝16，PA＝PC＝10，O为AC中点，H为△PBC内的动点（含边界）．（1）求点O到平面PBC的距离；（2）若_____，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．38．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB＝4，EF∥AB，AB＝2EF，EA＝ED＝FB＝FC=17（1）求二面角A﹣EF﹣C的大小；（2）求三棱锥A﹣BDF的体积；（3）点N在直线AD上，满足AN＝mAD（0＜m＜1），在直线CF上是否存在点M，使NF∥平面BDM？若存在，求出CMMF39．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB＝2BC，E是CD的中点．将△ADE沿AE折起到△AD'E的位置．（Ⅰ）若M为棱BD'上动点，问在棱AE上是否存在定点N，使BC⊥MN？若存在，求ANAE（Ⅱ）若平面AD'E⊥平面ABCE，求二面角A﹣BD'﹣C的余弦值．40．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，平面PAD⊥平面ABCD，BC∥AD，PA⊥PD，AB⊥AD，∠PDA＝60°，E为侧棱PD的中点，且AD＝2BC．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）若点D到平面PAB的距离为2，且AD＝2AB，求点A到平面PBD的距离．41．如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB＝2，AC=6（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求O点到平面ACD的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣D的余弦值．42．如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2．（Ⅰ）求证：AF∥平面CDE；（Ⅱ）求直线BE与平面ADE所成角的余弦值；（Ⅲ）求点B到平面ADE的距离．43．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC=12AD=1（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；（2）若满足BM⊥PC，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（3）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．44．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD=π3，M为BC上一点，且BM=12，（1）求PO的长；（2）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．45．如图，在等腰梯形PDCB中，PB＝3，DC＝1，PD＝BC=2，AD⊥PB，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD（Ⅰ）若M是侧棱PB中点，求证：CM∥平面PAD；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．46．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB＝2，E为PC中点．（1）求证：DE⊥平面PCB；（2）求点C到平面DEB的距离；（3）求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．47．如图，已知矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．（1）求证：BC⊥A1D；（2）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（3）求二面角A1﹣BD﹣C的余弦值．48．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝AA1，BC=2AB，点D是（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值．49．四边形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AB＝2AF＝2，∠BAD＝60°，G是BE的中点．（Ⅰ）证明：CG∥平面BDF；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．50．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）求点C到平面A1BC1的距离．51．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．（Ⅰ）证明：D1E⊥A1D；（Ⅱ）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D1E所成角的余弦值；（Ⅲ）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为π452．如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC=12AP＝2，D是AP的中点，E，F，G分别为PD，PC，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面（1）求证：AP∥平面EFG；（2）求二面角G﹣EF﹣D的大小．53．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．54．如图：长为3的线段PQ与边长为2的正方形ABCD垂直相交于其中心O（PO＞OQ）．（1）若二面角P﹣AB﹣Q的正切值为﹣3，试确定O在线段PQ的位置；（2）在（1）的前提下，以P，A，B，C，D，Q为顶点的几何体PABCDQ是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．55．如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1=2，M是线段B（Ⅰ）求证：BM∥平面D1AC；（Ⅱ）求证：D1O⊥平面AB1C；（Ⅲ）求二面角B﹣AB1﹣C的大小．56．如图，已知AB是⊙O的直径，PA垂直于平面ABC，C是⊙O上一点，且AC＝BC，E是PC的中点，F是PB的中点，PA=6，AB（文科）（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PAC；（理科）（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）请找出二面角A﹣BC﹣P的平面角，并求出它的度数．57．在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，M、N分别是AB'、BC'的中点．（Ⅰ）求证：直线MN∥平面ABCD．（Ⅱ）求B'到平面A'BC'的距离．58．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝90°．（Ⅰ）求证：BA⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求直线BC1和平面ACC1A1所成的角的正切值．59．在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAD；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CD上是否存在点M，使得AM⊥平面PBE？若存在，求出DMDC60．如图，四边形ABCD为菱形，将△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．（1）求证：直线BD⊥平面ACE；（2）若二面角E﹣BD﹣C的大小为60°，∠DBE＝60°，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．

高中立体几何数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC=3，D为AB边上的中点，点M在线段BD（不含端点）上，将△BCM沿CM向上折起至△B'CM，设平面B'CM与平面ACM所成锐二面角为α，直线MB'与平面AMC所成角为β，直线MC与平面B'CA所成角为γ①tanβ≤32tanα；②γ≤β；③γA．① B．①② C．②③ D．①③【解答】解：如图，设直线BN与直线CM垂直相交于点N，在折叠图里，线段B'T与平面ACM垂直相交于点T，∠BCM＝θ，θ∈（0°，30°），由图象知∠B'NT＝α，∠B'MT＝β，B′N=BN=3B′T=3NT=3sinθcosα，CM=3①tanβ=B′TMN所以tanβ≤3②SΔACM设∠ACB'＝δ，则cosδ＝cosθcos（90°﹣θ）+sinθsin（90°﹣θ）cosα＝cos2（0.5α）sin2θ，sinδ=1−co由13B′TSsinγ=d则sinγsinβ由sinγ≤sinβ，得γ≤β；③sinγ=sin2θsinα则sinγsinα≤sin2θ所以sinγ＜sinα，则γ＜α．故选：B．2．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，E，F，G分别是侧棱AA1，BB1，CC1上的点，且AE＞CG＞BF，设直线CA，CB与平面EFG所成的角分别为α，β，平面EFG与底面ABC所成的锐二面角为θ，则（）A．sinθ＜sinα+sinβ，cosθ≤cosα+cosβ B．sinθ≥sinα+sinβ，cosθ＜cosα+cosβ C．sinθ＜sinα+sinβ，cosθ＞cosα+cosβ D．sinθ≥sinα+sinβ，cosθ≥cosα+cosβ【解答】解：如图，延长EF，AB交于M，延长EG，AC交于N，延长FG，BC交于D，易得MN为平面ABC和平面EFG的交线，又D在平面ABC和平面EFG上，则D在直线MN上，即M，N，D三点共线，由外角定理可得∠ANM+∠CDN=π过A作AP⊥面EFG，垂足为P，过A作AQ⊥MN，垂足为Q，连接PQ，PN，易得∠ANP即为直线CA与平面EFG所成的角α，则sinα=APAN，又AP⊥面EFG，MN⊂面EFG，则AP⊥MN，又AQ⊥MN，AP，AQ⊂面APQ，AP∩AQ＝所以MN⊥面APQ，PQ⊂面APQ，则MN⊥PQ，则∠AQP即为平面EFG与底面ABC所成的锐二面角θ，则sinθ=AP又sin∠ANM=AQAN，则sinα＝sinθ⋅sin∠ANM，同理可得sinβ＝sinθ⋅sin∠CDN，则sinα+sinβ＝sinθ⋅（sin∠ANM+sin∠又由sin∠ANM=sin(=sin(∠ANM+∠CDNsin∠CDN=sin(∠ANM+∠CDN=sin(∠ANM+∠CDN则sin∠ANM+sin∠CDN=2sin(≤2sin(∠ANM+∠CDN故sinα+sinβ＝sinθ⋅（sin∠ANM+sin∠CDN）≤sinθ，A，C错误；故cos2θ＝1﹣sin2θ≤1﹣（sinα+sinβ）2，由α，β∈[0，π2]所以1+2cos（α﹣β）＞0，即1+2cosαcosβ+2sinαsinβ＞0，整理可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2cosαcosβ+2sinαsinβ﹣1＞0，即（sinα+sinβ）2+（cosα+cosβ）2﹣1＞0，即（cosα+cosβ）2＞1﹣（sinα+sinβ）2，故cos2θ＝1﹣sin2θ≤1﹣（sinα+sinβ）2＜（cosα+cosβ）2，又cosα，cosβ，cosθ≥0，故cosθ＜cosα+cosβ，B正确，D错误．故选：B．3．在三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，则AP→A．13AB→+C．13AB→【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，如图所示：延长PB至B1，使得PB1＝2PB，延长PC至C1，使得PC1＝3PC，连接DB1，B1C1，C1D，因为S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，所以S△所以P为△B1C1D的重心，所以PD→即PD→+2PB→所以（AD→−AP→）+2（AB→所以AP→故选：C．4．已知点P是正方体ABCD﹣A'B'C'D'上底面A'B'C'D'上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为α，面ABP与面CDP所成的锐二面角为β，若α＞β，则下列叙述正确的是（）A．∠APC＞∠BPD B．∠APC＜∠BPD C．max{∠APD，∠BPC}＞max{∠APB，∠CPD} D．min{∠APD，∠BPC}＞min{∠APB，∠CPD}【解答】解：如图，取正方体的下底面的各边中点E，F，G，H，上底面的中心为O，下底面的中心为O'，面ADP与面BCP所成的锐二面角为α，面ABP与面CDP所成的锐二面角为β，且α＞β，等价于点P到HF的距离比到EG的距离大，所以点P在如图所示的范围内，在△APC和△BPD中，AC＝BD，PQ为公共边，Q为公共的中点，∠APC，∠BPD的大小由PQ与AC，BD所成的角的大小所确定，所成的角越小，则对应的角越大，因为PQ与AC和BD所成的角的大小关系不确定，当点P在靠近A'时，PQ与直线AC所成的角较小，与直线BD所成的角接近90°，此时∠BPD＞∠APC，同样当点P接近于点D'时，∠APC＞∠BPD，故选项A错误，选项B错误；∠APD与∠BPD的大小关系看点P是在EG的左侧还是右侧，若是在左侧，则∠APD＞∠BPC，若是在右侧，则∠APD＜∠BPC，若是在EG上，则∠APD＝∠BPC；同样，点P在HF的前面，则∠APB＞∠CPD，点P在HF上，则∠APB＝∠CPD，点P在HF的后面，则∠APB＜∠CPD，所以当点P在A'OH内时，max{∠APD，∠BPC}＝∠APD，min{∠APD，∠BPC}＝∠BPC，max{∠APB，∠CPD}＝∠APB，min{∠APB，∠CPD}＝∠CPD，因为PH＜PE，则∠APD＞∠APB，因为PG＜PF，故∠BPC＜∠CPD，故选项C正确，选项D错误；根据对称性可知，在其余范围内，具有相同的结论．故选：C．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BB1，DD1的中点，G为侧面ABB1A1内一个动点．若D1G∥平面AEC1F，则D1G与平面ABB1A1所成角的正切值的最大值为（）A．55 B．1 C．2． D．【解答】解：如图，取AA1中点M，连结D1M，B1M，∵D1M∥AF，B1D1∥EF，∴平面B1D1M∥平面AEC1F，由平面平行性质得G必在线段B1M上，∵D1A1⊥平面ABB1A1，∴∠D1GA1是直线D1G与平面ABB1A1所成角，只要D1G最小，则此角的正切值最大，只要D1G⊥MB1，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则MD1＝MB1=5，B1D1＝22，由面积法得D1G=∴A1G=(∴D1G与平面ABB1A1所成角的正切值的最大值为：tan∠D1GA1=A故选：D．6．已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，AB＝BC＝1，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则（）A．有且仅有一点P使二面角B﹣l﹣C取得最小值 B．有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最小值 C．有且仅有一点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值 D．有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值【解答】解：过A作AM⊥l于M，连接MB、MC，因为直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，所以AC⊥l，所以l⊥平面AMC，所以l⊥MC，l⊥MB，所以∠BMC是二面角B﹣l﹣C的平面角，设∠BMC＝θ，∠AMC＝α，∠AMB＝β，AM＝t，则θ＝α﹣β，由已知得t∈（0，2]，AB＝BC＝1，tanα=2t，tanβ=1t，tanθ＝tan（α﹣令f（t）=tt2+2，则f'（当t∈（0，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当t∈（2，2]时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以当t=2时，f（t）取最大值，即tanθ取最大值，从而θ由对称性知当t=2时，对应P所以有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值．故选：D．7．已知空间内a→，b→，c→为三个两两垂直的单位向量，若x+y+z＝1，pqr＝0，则|xa→+2yb→+3zc→|+|（x+p）a→+（2y+A．255 B．31010 【解答】解：令m＝2y，n＝3z，x+m故原式等价于|x=|xa令OC=x因为x+m2+所以C在x+m2+P为xOm，xOn，mOn平面内任意一点，所以问题等价于求|OC→|+|PC→可分三种情况求解：①当P在平面xOm内时，作AB的垂面EOD，作OC⊥ED，P为C投影在OD上投影，得OD=255△ODE≌△O′DE，此时，OE＝3，∠EDO＞45°，所以∠ODO′＞90°，所以OC+PC＝OC+CP′≥OP′≥OD，所以当C在D点时|OC→|+|同理②当P在平面xOn内时，D在AE上，可得平面图：此时，OD=31010，OB所以OC+PC＝OC+CP′≥OP′≥OD=3同理③当P在平面mOn内时，OD=613，OA＝1，∠当OP′⊥O′D时，|OC所以cos∠ADO=67，sin∠ADO=137，OP′=综上：|OC→|+|故选：A．8．点M是棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AB的中点，CN→=2NC1→，动点P在正方形AA1DD1（包括边界）内运动，且PBA．[13，19] B．[3355，19【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，面DMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面为梯形DMEN，其中ME∥DN，BE＝1，取C1D1中点F，在DD1上取点H，使DH＝2，在AA1取点G，使AG＝1，则平面DMEN∥平面B1FHG，∵动点P在正方形AA1DD1（包括边界）内运动，且PB1∥面DMN，∴P点的轨迹是线段GH，G（3，0，1），H（0，0，2），C（0，3，0），GH→=（﹣3，0，1），∴点C到线段GH的距离d＝|GC→|•1−[cos＜∴PC的长度的最小值为335GC=19，HC=13，∴PC长度的最大值为∴PC的长度范围为[335故选：B．9．正四面体ABCD，CD在平面α内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是（）A．0 B．π6 C．π3 【解答】解：由正四面体ABCD，可得所有棱长都相等．①∵点E是线段AC的中点，∴BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是π2反证法：若直线BE与平面α所成角是π2，则BE⊥平面α则在某一过程必有BE⊥CD．事实上，在该四面体绕CD旋转的过程中，BE与CD是不可能垂直的，因此假设错位，于是直线BE与平面α所成角不可能是90°．②在该四面体绕CD旋转的过程中，当BE∥α时，可得直线BE与平面α所成角为0．③如图所示的正四面体B﹣ABC．作BO⊥平面ACD，垂足为O．则E，O，D三点在同一条直线上．设直线BE与平面ACD所成的角为θ，可得cosθ=1∴θ＞π3．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中，可得直线BE与平面α所成角为π6综上可得：直线BE与平面α所成角不可能是π2故选：D．10．已知长方形ABCD中，AB＞BC，现将△ABC沿AC翻折至△AB'C（B'与B不重合），设直线AB'与CD所成角为α，二面角A﹣B'C﹣D为β，则（）A．α＜β B．α＞β C．α＝β D．以上都不对【解答】解：根据题意，作图如下：因为AB'⊥B'C，∠AB'D不小于二面角A﹣B'C﹣D，当∠AB'D恰为二面角A﹣B'C﹣D的平面角，此时DB'⊥B'C，从而可得B'C⊥平面AB'D，即AD⊥B'C，因为AD⊥DC，所以AD⊥平面CB'D，即得AD⊥B'D，所以sin∠AB'D=AD过点B'作B'M⊥AB于点M，过点M作MM'⊥DC于点M'，因为AB∥CD，所以AB'与CD所成角为∠BAB'或其补角，因为sin∠BAB'=B′M所以∠BAB'＞∠AB'D，故直线AB'与CD所成角大于二面角A﹣B'C﹣D，即α＞β．故选：B．11．在棱长为63的正四面体D﹣ABC中，过点D的平面Γ与底面ABC所成锐二面角的正切值为6，设平面Γ与底面ABC的交线为l，当平面Γ运动时，直线l在△ABCA．93+6π B．33+12π C．【解答】解：正四面体的棱长为63，设D在底面的射影为O，则O是△ABC∴底边三角形ABC的中线AG＝63×32=9，则OG＝9﹣6＝3，则正四面体的高DO=AD2设直线l∥BC，延长OG交l于K，连接DK，则∠DKO是点D的平面Γ与底面ABC所成锐二面角的平面角，设∠DKO＝θ，则tanθ=DOOK=62即O到直线l的距离d＝OK＝23，∴直线l在△ABC内的部分形成的轨迹是以O为圆心，半径为23的圆的外部，在底面△ABC中，∵OG＝3，OE＝OK＝23，∴EF＝23，即△OEF是正三角形，由对称性值圆内含有3个与△OEF全等的三角形，则还有三个与扇形OEH相同的扇形，则3∠EOH＝360°﹣3×60°＝180°，即∠EOH＝60°，则三个扇形的面积之和为半圆的面积S=12×π×（23）2三个正三角形的面积S＝3×12×（23）2×则面积之和为93+6π△ABC的面积为S=12×6则所求，面积为273−（93+6π）＝183故选：D．12．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，BC＝2，P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）A．（0，22] B．[12，63] C．[22，2]【解答】解：如图，由题可知，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，作BC中点为O，连接OA，则OA⊥BC，则OA⊥平面BCD，再作y轴方向平行于CD，则OH⊥BC，故可以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，O（0，0，0），A（0，0，1），B（﹣1，0，0），C（1，0，0），设P（s，0，t），Q（1，m，0），（s≤0，t≥0，m≥0），则PQ→=(1−s，m，−t)，AC由于PA→与BA→共线，故s＝t﹣1，所以所以PQ→⋅AC→=|化简得3m2＝4t（1﹣s）﹣（1﹣s）2﹣t2≥0，又s＝t﹣1，代入化简可得：4（1﹣s2）≥2+2s2，即3s2≤1，所以|s|≤13，则|PA故选：D．13．在正四面体D﹣ABC中，点E在棱AB上，满足AE＝2EB，点F为线段AC上的动点，则（）A．存在某个位置，使得DE⊥BF B．存在某个位置，使得∠FDB=πC．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为714D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为3【解答】解：如图所示，设正四面体D﹣ABC的底面中心为点O，连接DO，则DO⊥平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体D﹣ABC的棱长为2，则A(−33，−1，0)，B(233，0，0)设F(−33，λ，0)对于A，若存在某个位置使得DE⊥BF，DE→=(3所以DE→⋅BF→=−1−对于B，若存在某个位置使得∠FDB=π4，DF→则cos〈DF→，对于C，设平面DBF的一个法向量为u→又DB→=(2由u→⋅DB若存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为714，又DE∴714整理得λ2+4λ＝0，解得λ＝0或λ＝﹣4（舍去），∴存在F(−33，0，0)，即F为AC对于D，设平面DAC的一个法向量为m→又DA→=(−3由m→⋅DA设平面DEF的一个法向量为n→又DE→=(3由n→⋅DE若存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为32则32整理得47λ2﹣42λ+279＝0，∴Δ＝422﹣4×47×279＜0，∴该方程无解，∴D错误．故选：C．14．已知矩形ABCD，M是边AD上一点，沿BM翻折△ABM，使得平面ABM⊥平面BCDM，记二面角A﹣BC﹣D的大小为α，二面角A﹣DM﹣C的大小为β，则（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜π2 【解答】解：过点A在平面ABM内作AH⊥BM，垂足为点H，过点H作EF∥CD分别交直线BC、DM于点E、F，连接AE、AF，设AB＝a，∠AMB＝γ，则γ为锐角，因为平面ABM⊥平面BCDM，平面ABM∩平面BCDM＝BM，AH⊥BM，AH⊂平面ABM，所以，AH⊥平面BCDM，∵BC⊂平面BCDM，∴AH⊥BC，因为CD⊥BC，则HE⊥BC，∵HE∩AH＝H，∴BC⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴AE⊥BC，故二面角A﹣BC﹣D的平面角为∠AEH＝α，且tanα=AH同理tanβ=AH在Rt△BAM中，∠BAM=π又因为AH⊥BM，则∠BAH=π∴AH=acosγ，BH=asinγ，MH=AH∵DF∥BC，则∠HBE＝∠HMF＝γ，所以，EH＝BHsinγ＝asin2γ，FH＝MHsinγ＝acos2γ，tanα=AH无法比较sin2γ和cos2γ的大小关系，故无法比较tanα、tanβ的大小关系，即α、β的大小无法确定，因为0＜α＜π2，0＜β＜π2，则0＜α因为tan(α+β)=tanα+tanβ所以，α+β＞π故选：D．15．足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A，B，C，D满足AB＝BC＝AD＝BD＝CD=2dm，二面角A﹣BD﹣C的大小为2πA．742π27dm3 B．352π27dm3 C．14π27【解答】解：根据题意，三棱锥A﹣BCD如图所示，图中点O为线段BD的中点，N，M分别是线段AO，CO上靠近点O的三等分点，因为AB=BC=AD=BD=CD=2所以△ABD和△CBD均为等边三角形，因为点O为线段BD的中点，所以AO⊥BD，CO⊥BD，所以∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，所以∠AOC=2π因为△ABD和△CBD均为等边三角形，点O为线段BD的中点，所以AO，CO分别为△ABD和△CBD的中线，因为N，M分别是线段AO，CO靠近点O的三等分点，所以N，M分别为△ABD和△CBD的外心，过N，M分别作平面ABD和平面CBD的垂线EN，EM，交于点E，则点E为三棱锥A﹣BCD外接球的球心，即为足球的球心，所以线段EB为球的半径，因为AO⊥BD，CO⊥BD，AB=BC=AD=BD=CD=2所以AO=CO=62dm因为AO＝CO，EO＝EO，∠ENO＝∠EMO＝90°，所以△ENO≅△EMO，所以∠EON=∠EMO=1在直角△EMO中，EM=OMtanπ因为EM⊥平面BCD，BM⊂平面BCD，所以BM⊥EM，因为M是△CBD的外心，所以BM=6所以EB=E所以V=4所以足球的体积为742故选：A．二．填空题（共15小题）16．棱长为6的正四面体ABCD内有一个内切球O，M为CD中点，N为BM中点，连接AN交球O于P，Q两点，PQ的长为43311【解答】解：把这个正四面体补成正方体，四面体的棱就是棱长为32的正方体的面对角线，四面体内切球球心为正方体中心．记球心为正方体对角线AE中点O．AE交平面BDC于点O1，则O1为等边三角形BDC的中心，O1在BM上，AE⊥平面BDC．OO1为正四面体ABCD内切球半径，记为R．过点O作OG⊥PQ，垂足为G，则PG＝GQ，连接OP、OB，可知OA＝OB=123×(32)2=3∴R＝OO1=(362)2−(23)2=62．在Rt△AO1∵Rt△AGO∽Rt△AO1N，∴AOAN=OGNO1，即362故答案为：43317．棱长为36的正四面体ABCD的外接球与内切球的半径之和为126，内切球球面上有一动M，则MB+13MC的最小值为【解答】解：将正四面体ABCD放入如图的正方体，则正四面体ABCD的外接球与该正方体的外接球为同一球，半径为362设正四面体ABCD的内切球半径为r，根据等体积法有(36解得r=36所以外接球与内切球的半径之和为96由阿波罗尼斯球得内切球球心O是线段CH上以C，E为定点，空间中满足PCPE=λ(λ≠1)的点连结CO并延长交平面ABD于点H，交内切球上方的点设为K，过M作ME⊥CH，交CH于点E，连结BM，CM，设OE＝x，由（1）空可知，CO=966636−x=所以MCME所以13所以MB+1在△BOE中，BO=CO=96，OE=6所以BE=(9所以MB+13MC故答案为：126；418．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，在平面A1B1C1D1内，直线l∥B1D1，设二面角A﹣l﹣E的平面角为θ，当θ取最大值时，cosθ＝2341【解答】解：如图，设正方体的棱长为1，l与A1B1，A1D1分别交于I，H两点，取CD的中点F，连接EF，则EF∥BD，又因为BD∥B1D1，∴EF∥B1D1，又因为直线l∥B1D1，∴直线l∥EF，即EFHI在同一平面内，设平面EFHI与AC交于G，在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1，又知道AA1⊥B1D1，AA1∩A1C1．所以B1D1⊥平面AA1C1C，又因为HI∥B1D1，所以HI⊥平面AA1C1C，设HI∩A1C1＝O，连接OA，OG，则∠AOG即为二面角A﹣l﹣E的平面角θ，且θ为锐角．因为EF为三角形BCD的中位线，故G是AC的四等分点，即AG=3取出截面AA1C1C如图，以A为坐标原点，AC为x轴，建立如图坐标系，设O点坐标为（x，1），x∈（0，2）．直线OA的斜率为kOA=1x，直线OG的斜率kOG=∴tanθ=kOG−kOA故当x=328时，tanθ最大，即O∴OA＝OG=(所以由余弦定理cosθ=O故填：234119．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB、AC、AD都在平面α的同侧．若顶点B，C到平面α的距离分别为1，2．建立如图所示的空间直角坐标系，设平面α的一个法向量为（x0，y0，z0），若x0＝1，则y0＝2，z0＝6，且顶点D到平面α的距离是6．【解答】解：如图所示，连结BC、CD、BD，则四面体A﹣BCD为直角四面体；作平面α的法线AH，作BB1⊥平面α于B1，CC1⊥平面α于C1，DD1⊥平面α于D1；连结AB1，AC1，AD1，令AH＝h，DA＝a，DB＝b，DC＝c，由V三棱锥A﹣BCD的体积相等，∴13×S△BCD•h=∴a2+b2•b2+c2•可得1ℎ∴ℎ2令∠BAB1＝α，∠CAC1＝γ，∠DAD1＝β，可得sin2α+sin2β+sin2γ＝1，设DD1＝m，∵BB1＝1，CC1=2∴(1解得m=6；即所求点D到平面α的距离为6又α的法向量为n→=（x0，y0，z＝（hcos（π2−α），hcos（π2−γ），h＝（hsinα，hsinγ，hsinβ），由hsinα＝1，得hsinγ=2，hsinβ=∴n→=（1，2，故答案为：2，6，6．20．在空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（2，1，1）且与直线x−3y+z+1=03x−2y−2z+1=0垂直的平面方程为8x+5y+7z﹣28＝0【解答】解：由题意可得，两个平面的法向量分别为（1，﹣3，1），（3，﹣2，﹣2），设平面的法向量为（x，y，z），则由x−3y+z=03x−2y−2z=0得到一法向量为（1，58，所以与直线x−3y+z+1=03x−2y−2z+1=0垂直的平面方程为（x﹣2）×1+58（y﹣1）+整理得8x+5y+7z﹣28＝0，故答案为：8x+5y+7z﹣28＝0．21．如图，点A在锐二面角α﹣MN﹣β的棱MN上，在面α内引射线AP，使AP与MN所成的∠PAM为45°，与面β所成的角为30°，求二面角α﹣MN﹣β的大小45°．【解答】解：过点P作平面β的垂线PB，垂足为B，过点B作BC垂直于MN，连接PC∵PB⊥β，MN⊂β，∴PB⊥MN∵MN⊥BC，∴∠PCB为二面角α﹣MN﹣β的平面角设PB＝1，在△PBA中，∠PAB＝30°，∴PA＝2在△PCA中，∠PAC＝45°，∴PC=在△PCB中，PB＝1，PC=2，∴∠PCB故答案为45°22．△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：7．【解答】解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA＝PB＝PC∴OA＝OB＝OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC的外接圆的半径），记为R，在△ABC中由余弦定理知：BC＝21，在由正弦定理知：2R=21sin120°=143，∴OA＝73故答案为：7．23．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为23．【解答】解：以AB→，AD→，可得AC由AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，可得AB→•AD→=0，AB→•AA1→=1×3所以AC1→2=AB→2+AD→2+AA1→2+2＝1+4+9+0+3+6＝23，则|AC1→故答案为：23．24．在正三棱锥P﹣ABC中，M、N分别是侧棱PB，PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧面与底面所成的角的正切值是5．【解答】解：如图，取MN中点O，连接AO，PO，延长PO交BC于点D，连接AD，则BD＝DC∵三棱锥P﹣ABC为正三棱锥∴AM＝AN∴AO⊥MN∵截面AMN⊥侧面PBC∴AO⊥侧面PBC∴AO⊥PD，又PO＝OD∴PA＝AD，且∠ADO就是侧面与底面所成的二面角的平面角设AB＝a，则AD=32a∵PD=∴OD=24a在Rt△AOD中，tan∠ADO=∴三棱锥的侧面与底面所成的角的正切值是5故答案为525．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，则二面角C1﹣AB﹣C的余弦值为5719【解答】解：如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），ACAB→=（32设n＝（x，y，z）为平面ABC1的法向量则32x+12y=0取m＝（0，0，1），作为平面ABC的法向量．则cos＜m，n＞=−1∴二面角C1﹣AB﹣C的余弦值为5719故答案为：5726．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=π3．现将菱形沿对角线AC折成空间几何体ABCD'．设空间几何体ABCD'的外接球为球O，若球O的表面积为8π，则二面角B﹣AC﹣D'的余弦值为−【解答】解：设球的半径为R，由表面积4πR2＝8π，得R=2．如图（1），设△ABC、△D'AC的外心分别为O1，O2过O1，O2分别做平面ABC，平面D'AC的垂线，两条垂线的交点即为球心O．如图（2），设AC中点为E，由对称性知∠D'EO＝∠BEO，设为θ，则2θ为二面角B﹣AC﹣D'所成平面角的大小．由正弦定理得O1B=12所以tanθ=OO1故答案为−127．已知四面体有五条棱长为3，且外接球半径为2．动点P在四面体的内部或表面，P到四个面的距离之和记为s．已知动点P在P1，P2两处时，s分别取得最小值和最大值，则线段P1P2长度的最小值为9714【解答】解：四面体ABCD，其中AD＝BD＝BC＝AB＝AC＝3，设CD＝2x，取CD，AB的中点分别为E，F，连接DF，CF，如图．在等腰三角形ABD，ABC中，有FD⊥AB，FC⊥AB，∴AB⊥平面CDF，又F为AB的中点，则四面体ABCD的外接球的球心O一定在平面CDF上，同理可得四面体ABCD的外接球的球心O一定在平面ABE上，∴四面体ABCD外接球的球心O一定在EF上，连接OC，OB，设∠EFC＝θ，在直角三角形OBF中，OF=O在△OCF中，cosθ=O在直角三角形EFC中，EF＝CF•cosθ=9714，即EF根据条件有S△ACD＝S△BCD，设为S1，S△ABD＝S△CAB，设为S2．设点P到四个面ACD，BCD，DAB，CAB的距离分别为d1，d2，d3，d4，设四面体ABCD的体积为V（为定值），由等体积法有：V=1∴d3∴s=d当点P在CD上时，d1+d2＝0最小，当点P远离CD时，d1+d2的值增大，由等体积法可得，当点P在AB上时，d1+d2的值相等且此时d1+d2的值最大，∴当点P在CD或AB上时，s取得最值，故线段P1P2长度的最小值为CD，AB上两点间距离的最小值．由上可知，EF⊥CD，EF⊥AB．∴CD，AB上两点间距离的最小值为EF=9故答案为：9728．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上一点，|PB|+|PC1|＝λ．①若λ＝4，则满足条件的点P的个数为4；②若满足|PB|+|PC1|＝λ的点P的个数为6，则λ的取值范围是(22，4)∪(2+2【解答】解：（1）正方体的棱长为2，∴BC∵|PB|+|PC1|＝4，∴P是以2c=22为焦距，以a∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可得，满足条件的点为B1，C，以及棱AB，C1D1各有一点满足条件，故满足条件的点P的个数为4．（2）|PB|+|PC1|＝λ＞|BC1|=22当椭圆短半轴b＜2时，椭圆与棱BC，CC1，C1B1，B1B，AB，C1D各有一个交点与其它棱无交点，满足题意；由b2=λ24当b=2时，a＝2，λ当b＞2，λ≤2+2当λ＞2+23，b＜6时，椭圆与棱AD，DD1，D1A1，A1A，A1B1，由b2=λ24当b≥6综上，λ的取值范围为(22，4)⋃故答案为：4；(22，4)⋃29．如图，圆柱W的底面半径为1，高为2，平面MNFE是轴截面，点G，G1分别是圆弧ME，NF的中点，H在劣弧NG1上（异于N，G1），H，G，G1在平面MNFE的同侧，记二面角G﹣NH﹣F，G﹣FH﹣N的大小分别为α，β，则tanα﹣tanβ的取值范围为【解答】解：以点O2为坐标原点，分别以O2G，O2E，O2O1为x、y、z轴建立空间坐标系O2﹣xyz，所以N（0，﹣1，2），G（1，0，0），F（0，1，2），设H（m，n，2），0＜m＜1，﹣1＜n＜0，且m2+n2＝1，NH→设平面NHG的法向量m→=(x，y，z)，GN由m→⋅GN→=0设平面GFH的法向量n→=(a，b，c)，FH由n→⋅FH→=0设平面FNH的法向量为k→cosα＝|cos＜m→，k→＞|=﹣cosβ＝|cos＜n→，k→＞|=∴tanα﹣tanβ=2m2+(n+1)2m−(n+1)+2故答案为：（4，+∞）．30．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝32，F为线段BC上的点，CF＝2，E为线段AB上的点，现将四边形AEFC沿EF折起，使点A在平面BEF上的射影Q在直线BF上，且二面角A﹣EF﹣B的大小为60°，则此时线段AE的长度为532【解答】解：如图所示，在△ABC中，作AM⊥EF交BC于点Q，M点为垂足．∵点A在平面BEF上的射影Q在直线BF上，且二面角A﹣EF﹣B的大小为60°，在折叠图中，∠AMQ为二面角A﹣EF﹣B的平面角，大小为60°．∴AM＝2MQ．在△ABC中，BC边所在直线为x轴，其垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．O点为坐标原点．BC＝32×则O（0，0），F（1，0），A（0，3），B（﹣3，0）．设Q（t，0），∵QM→∴OM→=OQ→+13QA→∵AQ⊥MF，∴AQ→•MF→=（t，﹣3）•（23t﹣1，3）＝t化为：2t2﹣3t﹣9＝0，t＜0．解得t=−32．∴直线EF的方程为：y=1−1−1（x﹣1），化为：x+2直线AB的方程为：﹣x+y＝3．联立为：−x+y=3x+2y−1=0，解得x=−53，∴E（−53，∴AE=(−故答案为：53三．解答题（共30小题）31．如图，DA和CB都垂直于平面ABE，F是DA上一点，且CB＝4，AF＝2，△ABE为等腰直角三角形，且O是斜边AB的中点，CE与平面ABE所成的角为45°．（1）证明：FO⊥平面OCE；（2）求二面角F﹣EC﹣O的平面角的正切值；（3）若点P是平面ADE内一点，且OC⊥OP，设点P到平面ABE的距离为d1，PA＝d2，求d1+d2的最小值．【解答】解：（1）证明：CB⊥平面ABE，∴CE与平ABE所成的角为∠CEB＝45°．∵CB＝4，∴EB＝4，∴在等腰Rt△ABE中，AE＝4，AO＝OB=22又CB＝4，AF＝2，∴AOAF=CBOB=2，∴△AOF∽△所以∠AOF+∠BOC＝∠AOF+∠AFO=π2，即∠FOC=π2，即∵CB⊥平面ABE，OE⊂平面ABE，∴CB⊥OE．∵EO⊥AB，AB∩CB＝B，AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD．∴OE⊥平面ABCD．∵FO⊂平面ABCD，∴EO⊥FO．∵EO∩OC＝O，∴FO⊥平面OCE．（2）过点F作FH⊥CE，连接OH，如图所示．∵FO⊥平面OCE，CE⊂平面OCE，∴FO⊥CE．又∵FH⊥CE，FH∩FO＝F，∴CE⊥平面OFH．∵OH⊂平面OFH，∴OH⊥CE．根据二面角的定义可知，∠OHF为平面角．在Rt△OAF中，AF＝2，AO＝22，∴OF=23∵OE⊥平面ABCD，OC⊂平面ABCD，∴OE⊥OC．在Rt△EOC中，OC＝26，OE＝22．∴OH=OE⋅OC∴tan∠OHF=OF（3）由（1）知，FO⊥OC，又OC⊥OP，FO∩OP＝O．∴OC⊥平面OPF．同理OC⊥平面OPE，∴平面OPE与平面OPF重合，即点P∈平面OEF．而P∈平面ADE，∴P∈平面OEF∩平面ADE＝EF．∵DA⊥平面ABE，∴点P到平面ABE的距离转化为点P到AE的距离．在平面ADE内作点A关于直线EF对称点A′，作PH⊥AE于H．当A′，P，H三点共线时，d1+d2为最小，如图所示，则A′H⊥AE．在Rt△AEF中，AA′=2AE×AFEF=85，sin∠A′∴A′H＝A′A•sin∠A′AE=16∴d1+d2的最小值为16532．在四棱锥P﹣ABCD中，E为棱AD的中点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC＝90°，ED＝BC＝2，EB＝3，F为棱PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；（Ⅱ）若二面角F﹣BE﹣C为60°，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC交BE于点M，连接FM，∵AD∥BC，且BC＝AE，∴AM＝MC，又PF＝FC，∴线段FM是△PAC的中位线，∴FM∥AP，∵FM⊂面BEF，PA⊄面BEF，∴PA∥面BEF；（Ⅱ）∵AD∥BC，ED＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴AD⊥BE；又PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE，PE⊥ED；以E为坐标原点，EB，ED，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设PE＝m，则E（0，0，0），B（3，0，0），P（0，0，m），C（3，2，0），F（32，1，m∴EB→=（3，0，0），EF→=（设平面BEF的一个法向量为n→=（x，y，由n→⋅EB令z＝1，得n→=（0，−取平面ABCD的一个法向量为a→∴cos＜n→，由二面角F﹣BE﹣C为60°，得1m24+1=∵PE⊥平面ABCD，∴∠PBE就是直线PB与平面ABCD所成角，在Rt△PBE中，tan∠PBE=PE∴直线PB与平面ABCD所成角的正切值为2333．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD（Ⅰ）求证：DF∥平面ABE；（Ⅱ）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34？若存在，求出线段BP【解答】解：（Ⅰ）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示；则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，0，3），F（﹣1，2，3），BE→=（﹣1，﹣2，3），设平面ABE的法向量为n→=（x，y，∴−x−2y+3不妨设n→=（又DF→=（﹣1，2，∴DF→•n→=−∴DF→⊥n又∵DF⊄平面ABE，∴DF∥平面ABE；（Ⅱ）∵BE→=（﹣1，﹣2，3），BF→设平面BEF的法向量为m→=（x，y，∴−x−2y+3则m→=（23，∴|cosθ|＝|m→∴平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是531（Ⅲ）设DP→=λDF→=λ（﹣1，2，3）＝（﹣λ，2λ，3∴P（﹣λ，2λ，3λ），BP→=（﹣λ﹣1，2λ﹣2，3又平面ABE的法向量为n→=（∴sinθ＝|cos＜BP→，＝|BP→=|=3化简得8λ2﹣6λ+1＝0，解得λ=12或λ当λ=12时，BP→=（−3当λ=14时，BP→=（−54，综上，|BP→34．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB＝4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，动点D在斜边（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；（Ⅱ）求CD与平面AOB所成角的正弦的最大值．【解答】解：（I）证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C的平面角；又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB，又CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB；（II）由（I）知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角；在Rt△CDO中，CO＝BO＝ABsinπ6=4∴sin∠CDO=CO当CD最小时，sin∠CDO最大，此时OD⊥AB，垂足为D，由三角形的面积相等，得12CD•AB=12BC解得CD=2∴CD与平面AOB所成角的正弦的最大值为2735．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：△PBC是直角三角形；（2）若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为2时，直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵C在圆O上，∴BC⊥AC，∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．（2）解：如图，过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，∴AH⊥平面PBC，则∠ABH就是要求的角．…（8分）∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是PC与平面ABC所成角，…（9分）∵tan∠PCA=PAAC=2，又PC∴在Rt△PAC中，AH=PA⋅AC∴在RtABH中，sin∠ABH=2故AC与平面PBC所成角正弦值为3336．如图，四棱锥A'﹣BCDE是由直角△ABC沿其中位线DE翻折而成，且∠ABC=π2，PC＝2PA'，设AB＝1，（Ⅰ）若∠A'EB=π3，求二面角A'﹣BD﹣（Ⅱ）若二面角C﹣A'D﹣E的大小为5π6，求三棱锥P﹣A'ED【解答】解：（Ⅰ）因为∠A'EB=π3，则△A'取分别BE，CD的中点O，F，连接OF，以点O为坐标原点，分别以OB，OF，OA′为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图：则B(14，0，0)，C(14由题意可知，OP→=1所以BD→=(−12，设平面A′BD的一个法向量为n1所以BD→⋅n1→=0A′B设平面PBD的法向量n2所以BD→⋅n→=0BP→所以cos＜n所以二面角A'﹣BD﹣P的余弦值1935（Ⅱ）过点E作EM⊥A′D于M，再过点M在平面AA′D内作A′D的垂线MN交AA′于N，连接NE．∠NME为二面角E﹣A′D﹣A的平面角，∵二面角C﹣A'D﹣E的大小为5π6，∴∠NME=在Rt△ABC中，由AB＝1，AC＝3，所以BC＝22，DE=2，A′E=AE=由折叠知DE⊥AA′E，所以DE⊥EN，由作辅助线过程知A′D⊥面MNE，所以NE⊥A′D，又A′D∩DE＝D，所以EN⊥A′DE，所以EN⊥A′E，由Rt△A′ED，容易求得A′D=32，又12A′D⋅EM=在Rt△MNE中，又∠NME=π6，所以EN在Rt△A′EN中，由勾股定理得A′N=10518，所以sin∠NA′E=2所以sin∠AEA′=2×2所以A′到面BCDE的距离为6635，PC＝2所以点P到面BCDE的距离为4635，即三棱锥P﹣A'ED的高为又S△AED所以三棱锥P﹣A'ED的体积=137．在①OH∥平面PAB，②平面PAB⊥平面OHC，③OH⊥PC，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AC＝16，PA＝PC＝10，O为AC中点，H为△PBC内的动点（含边界）．（1）求点O到平面PBC的距离；（2）若_____，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．【解答】解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，连接OB，OP，因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，PA＝PC，O为AC中点，所以OP⊥OC，OB⊥OC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，OP⊂平面PAC，所以OP⊥平面ABC，又OB⊂平面ABC，所以OP⊥OB，所以OB，OC，OP两两垂直，VO﹣PBC＝VP﹣OBC=13•PO•S△OBC又S△PBC=12•BC•PB2−(所以d=V所以点O到就平面PBC的距离为1234（2）在三棱锥P﹣ABC中，以O为坐标原点，{OB→，OC→，OP→}为正交基底建立空间直角坐标系O则O（0，0，0），P（0，0，6），A（0，﹣8，0），C（0，8，0），B（8，0，0），设H（x，y，z），则OH→=（x，y，z），PH→=（x，y，z﹣6），PA→设平面PAB的法向量为n1→=（x1，y1，则n1→⋅PA→不妨令y1＝﹣3，则n1同理可求得平面PBC的法向量n2选条件①，因为OH∥平面PAB，PH⊂PBC，所以OH→⋅n即z=3−34xy=4，所以H（x又0≤x≤80≤3−34x≤6，所以0≤x≤4，所以PH→=又OP⊥平面ABC，所以n3→=设直线PH与平面ABC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜n3→，PH令t=x4+1，t∈[1，2]，1t所以sinθ=3t令f（1t）=3225•1所以f（1t）∈[1725，1]．所以1f(1所以sinθ∈[35，3所以直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为[35，3选条件②，条件③结果相同．38．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB＝4，EF∥AB，AB＝2EF，EA＝ED＝FB＝FC=17（1）求二面角A﹣EF﹣C的大小；（2）求三棱锥A﹣BDF的体积；（3）点N在直线AD上，满足AN＝mAD（0＜m＜1），在直线CF上是否存在点M，使NF∥平面BDM？若存在，求出CMMF【解答】解：（1）过点E分别作EG⊥EF，EH⊥EF，分别交AB，CD于G，H，连接GH，则∠GEH为二面角A﹣EF﹣C的平面角，因为四边形ABCD为正方形，EF∥AB，所以EG⊥AB，EH⊥CD，由已知得EG＝GH＝EH＝4，所以∠GEH＝60°．（2）过点E作EO⊥GH，垂足为O．因为EF∥AB，EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．因为AB∥CD，EH⊥CD，所以AB⊥EH．因为EG∩EH＝E，所以AB⊥平面EGH．因为EO⊂平面EGH，所以AB⊥EO．因为AB∩GH＝G，AB，GH⊂平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，所以EO为三棱锥F﹣ABD的高，EO=23因为S△ABD＝8，所以VA−BDF（3）方法一：假设存在点M．①当点N在线段AD上时，连接CN交BD于R，则△DNR∽△BCR，所以CRRN因为FN∥平面BDM，FN⊂平面CFN，平面CFN∩平面BDM＝MR，所以FN∥MR，所以CMMF②当点N在DA延长线上时，连接CN交BD于S，则△DNS∽△BCS，所以CSSN因为FN∥平面BDM，FN⊂平面CFN，平面CFN∩平面BDM＝MS，所以FN∥MS，所以CMMF综上，在直线CF上存在点M，使NF∥平面BDM，CMMF的值为11−m或方法二：当点N在线段AD上时，过点N作NT∥BD交CD于T，连接TF，过点D作TF∥DM交CF于点M，因为TF∩TN＝T，所以平面FTN∥平面BDM．因为NF⊂平面FTN，所以NF∥平面BDM．因为FN⊂平面CFN，平面CFN∩平面BDM＝MR，所以FN∥MR．因为NT∥BD，DT∥AB，所以△ABD∽△DTN，所以ADDN所以CDDT所以CMMF当点N在线段DA延长线上时，过点N作NT∥BD交CD于T，连接TF，过点D作TF∥DM交CF于点M．因为TF∩TN＝T，所以平面FTN∥平面BDM．因为NF⊂平面FTN，所以NF∥平面BDM．因为FN⊂平面CFN，平面CFN∩平面BDM＝MS，所以FN∥MS．因为NT∥BD，DT∥AB，所以△ABD∽△DTN，所以ADDN所以CDDT所以CMMF综上，在CF上存在点M使得NF∥平面BDM，此时CMMF=139．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB＝2BC，E是CD的中点．将△ADE沿AE折起到△AD'E的位置．（Ⅰ）若M为棱BD'上动点，问在棱AE上是否存在定点N，使BC⊥MN？若存在，求ANAE（Ⅱ）若平面AD'E⊥平面ABCE，求二面角A﹣BD'﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）当N为AE中点时，BC⊥MN，证明如下：取AE的中点N，连结D'N，BN，MN，如图所示，因为AB∥CD，且CD＝2AB＝2BC，所以四边形ABED和四边形ABCE均为菱形，因为D'A＝D'E，N为AE的中点，所以D'N⊥AE，因为AB＝EB，N为AE的中点，所以BN⊥AE，又D'N∩BN＝N，所以AE⊥平面D'NB，又因为AE∥BC，所以BC⊥平面D'NB，因为MN⊂平面D'NB，所以BC⊥MN，此时ANAE故存在定点N，使BC⊥MN，且ANAE（Ⅱ）因为平面AD'E⊥平面ABCE，平面AD'E∩平面ABCE＝AE，D'N⊥AE，所以D'N⊥平面ABCE，以N为坐标原点，NA，NB，ND'分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，则A（1，0，0），B(0，3所以AB→设平面ABD