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文档简介
高中立体几何数学组卷一.选择题(共15小题)1.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,D为AB边上的中点,点M在线段BD(不含端点)上,将△BCM沿CM向上折起至△B'CM,设平面B'CM与平面ACM所成锐二面角为α,直线MB'与平面AMC所成角为β,直线MC与平面B'CA所成角为γ①tanβ≤32tanα;②γ≤β;③γA.① B.①② C.②③ D.①③2.如图,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是正三角形,E,F,G分别是侧棱AA1,BB1,CC1上的点,且AE>CG>BF,设直线CA,CB与平面EFG所成的角分别为α,β,平面EFG与底面ABC所成的锐二面角为θ,则()A.sinθ<sinα+sinβ,cosθ≤cosα+cosβ B.sinθ≥sinα+sinβ,cosθ<cosα+cosβ C.sinθ<sinα+sinβ,cosθ>cosα+cosβ D.sinθ≥sinα+sinβ,cosθ≥cosα+cosβ3.在三棱锥A﹣BCD中,P为△BCD内一点,若S△PBC=1,S△PCD=2,S△PBD=3,则AP→A.13AB→+C.13AB→4.已知点P是正方体ABCD﹣A'B'C'D'上底面A'B'C'D'上的一个动点,记面ADP与面BCP所成的锐二面角为α,面ABP与面CDP所成的锐二面角为β,若α>β,则下列叙述正确的是()A.∠APC>∠BPD B.∠APC<∠BPD C.max{∠APD,∠BPC}>max{∠APB,∠CPD} D.min{∠APD,∠BPC}>min{∠APB,∠CPD}5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为棱BB1,DD1的中点,G为侧面ABB1A1内一个动点.若D1G∥平面AEC1F,则D1G与平面ABB1A1所成角的正切值的最大值为()A.55 B.1 C.2. D.6.已知直线BC垂直单位圆O所在的平面,且直线BC交单位圆于点A,AB=BC=1,P为单位圆上除A外的任意一点,l为过点P的单位圆O的切线,则()A.有且仅有一点P使二面角B﹣l﹣C取得最小值 B.有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最小值 C.有且仅有一点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值 D.有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值7.已知空间内a→,b→,c→为三个两两垂直的单位向量,若x+y+z=1,pqr=0,则|xa→+2yb→+3zc→|+|(x+p)a→+(2y+A.255 B.31010 8.点M是棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AB的中点,CN→=2NC1→,动点P在正方形AA1DD1(包括边界)内运动,且PBA.[13,19] B.[3355,199.正四面体ABCD,CD在平面α内,点E是线段AC的中点,在该四面体绕CD旋转的过程中,直线BE与平面α所成角不可能是()A.0 B.π6 C.π3 10.已知长方形ABCD中,AB>BC,现将△ABC沿AC翻折至△AB'C(B'与B不重合),设直线AB'与CD所成角为α,二面角A﹣B'C﹣D为β,则()A.α<β B.α>β C.α=β D.以上都不对11.在棱长为63的正四面体D﹣ABC中,过点D的平面Γ与底面ABC所成锐二面角的正切值为6,设平面Γ与底面ABC的交线为l,当平面Γ运动时,直线l在△ABCA.93+6π B.33+12π C.12.如图,在三棱锥A﹣BCD中,平面ABC⊥平面BCD,△BAC与△BCD均为等腰直角三角形,且∠BAC=∠BCD=90°,BC=2,P是线段AB上的动点,若线段CD上存在点Q,使得异面直线PQ与AC成30°的角,则线段PA长的取值范围是()A.(0,22] B.[12,63] C.[22,2]13.在正四面体D﹣ABC中,点E在棱AB上,满足AE=2EB,点F为线段AC上的动点,则()A.存在某个位置,使得DE⊥BF B.存在某个位置,使得∠FDB=πC.存在某个位置,使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为714D.存在某个位置,使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为314.已知矩形ABCD,M是边AD上一点,沿BM翻折△ABM,使得平面ABM⊥平面BCDM,记二面角A﹣BC﹣D的大小为α,二面角A﹣DM﹣C的大小为β,则()A.α<β B.α>β C.α+β<π2 15.足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一,2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛.比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行.已知某足球的表面上有四个点A,B,C,D满足AB=BC=AD=BD=CD=2dm,二面角A﹣BD﹣C的大小为2πA.742π27dm3 B.352π27dm3 C.14π27二.填空题(共15小题)16.棱长为6的正四面体ABCD内有一个内切球O,M为CD中点,N为BM中点,连接AN交球O于P,Q两点,PQ的长为.17.棱长为36的正四面体ABCD的外接球与内切球的半径之和为,内切球球面上有一动M,则MB+13MC18.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,在平面A1B1C1D1内,直线l∥B1D1,设二面角A﹣l﹣E的平面角为θ,当θ取最大值时,cosθ=.19.如图,棱长为3的正方体的顶点A在平面α上,三条棱AB、AC、AD都在平面α的同侧.若顶点B,C到平面α的距离分别为1,2.建立如图所示的空间直角坐标系,设平面α的一个法向量为(x0,y0,z0),若x0=1,则y0=,z0=,且顶点D到平面α的距离是.20.在空间直角坐标系O﹣xyz中,经过点P(2,1,1)且与直线x−3y+z+1=03x−2y−2z+1=0垂直的平面方程为21.如图,点A在锐二面角α﹣MN﹣β的棱MN上,在面α内引射线AP,使AP与MN所成的∠PAM为45°,与面β所成的角为30°,求二面角α﹣MN﹣β的大小°.22.△ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14,那么点P到平面ABC的距离是:.23.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为.24.在正三棱锥P﹣ABC中,M、N分别是侧棱PB,PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此三棱锥的侧面与底面所成的角的正切值是.25.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AA1=2,则二面角C1﹣AB﹣C的余弦值为.26.已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=π3.现将菱形沿对角线AC折成空间几何体ABCD'.设空间几何体ABCD'的外接球为球O,若球O的表面积为8π,则二面角B﹣AC﹣D'的余弦值为27.已知四面体有五条棱长为3,且外接球半径为2.动点P在四面体的内部或表面,P到四个面的距离之和记为s.已知动点P在P1,P2两处时,s分别取得最小值和最大值,则线段P1P2长度的最小值为.28.在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点P是正方体棱上一点,|PB|+|PC1|=λ.①若λ=4,则满足条件的点P的个数为;②若满足|PB|+|PC1|=λ的点P的个数为6,则λ的取值范围是.29.如图,圆柱W的底面半径为1,高为2,平面MNFE是轴截面,点G,G1分别是圆弧ME,NF的中点,H在劣弧NG1上(异于N,G1),H,G,G1在平面MNFE的同侧,记二面角G﹣NH﹣F,G﹣FH﹣N的大小分别为α,β,则tanα﹣tanβ的取值范围为30.如图,在等腰Rt△ABC中,AB=AC=32,F为线段BC上的点,CF=2,E为线段AB上的点,现将四边形AEFC沿EF折起,使点A在平面BEF上的射影Q在直线BF上,且二面角A﹣EF﹣B的大小为60°,则此时线段AE的长度为.三.解答题(共30小题)31.如图,DA和CB都垂直于平面ABE,F是DA上一点,且CB=4,AF=2,△ABE为等腰直角三角形,且O是斜边AB的中点,CE与平面ABE所成的角为45°.(1)证明:FO⊥平面OCE;(2)求二面角F﹣EC﹣O的平面角的正切值;(3)若点P是平面ADE内一点,且OC⊥OP,设点P到平面ABE的距离为d1,PA=d2,求d1+d2的最小值.32.在四棱锥P﹣ABCD中,E为棱AD的中点,PE⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ADC=90°,ED=BC=2,EB=3,F为棱PC的中点.(Ⅰ)求证:PA∥平面BEF;(Ⅱ)若二面角F﹣BE﹣C为60°,求直线PB与平面ABCD所成角的正切值.33.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD(Ⅰ)求证:DF∥平面ABE;(Ⅱ)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.(Ⅲ)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34?若存在,求出线段BP34.如图,在Rt△AOB中,∠OAB=π6,斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B﹣AO﹣C是直二面角,动点D在斜边(Ⅰ)求证:平面COD⊥平面AOB;(Ⅱ)求CD与平面AOB所成角的正弦的最大值.35.如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.(1)证明:△PBC是直角三角形;(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角正切值为2时,直线AB与平面PBC所成角的正弦值.36.如图,四棱锥A'﹣BCDE是由直角△ABC沿其中位线DE翻折而成,且∠ABC=π2,PC=2PA',设AB=1,(Ⅰ)若∠A'EB=π3,求二面角A'﹣BD﹣(Ⅱ)若二面角C﹣A'D﹣E的大小为5π6,求三棱锥P﹣A'ED37.在①OH∥平面PAB,②平面PAB⊥平面OHC,③OH⊥PC,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.问题:如图,在三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,AC=16,PA=PC=10,O为AC中点,H为△PBC内的动点(含边界).(1)求点O到平面PBC的距离;(2)若_____,求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.38.中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍(chú)甍(méng)者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条楼.刍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,AB=4,EF∥AB,AB=2EF,EA=ED=FB=FC=17(1)求二面角A﹣EF﹣C的大小;(2)求三棱锥A﹣BDF的体积;(3)点N在直线AD上,满足AN=mAD(0<m<1),在直线CF上是否存在点M,使NF∥平面BDM?若存在,求出CMMF39.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=2AB=2BC,E是CD的中点.将△ADE沿AE折起到△AD'E的位置.(Ⅰ)若M为棱BD'上动点,问在棱AE上是否存在定点N,使BC⊥MN?若存在,求ANAE(Ⅱ)若平面AD'E⊥平面ABCE,求二面角A﹣BD'﹣C的余弦值.40.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为梯形,平面PAD⊥平面ABCD,BC∥AD,PA⊥PD,AB⊥AD,∠PDA=60°,E为侧棱PD的中点,且AD=2BC.(1)求证:CE∥平面PAB;(2)若点D到平面PAB的距离为2,且AD=2AB,求点A到平面PBD的距离.41.如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,△ABD和△BCD均为等边三角形,AB=2,AC=6(Ⅰ)求证:AO⊥平面BCD;(Ⅱ)求O点到平面ACD的距离;(Ⅲ)求二面角A﹣BC﹣D的余弦值.42.如图所示,平面ABCD⊥平面BCEF,且四边形ABCD为矩形,四边形BCEF为直角梯形,BF∥CE,BC⊥CE,DC=CE=4,BC=BF=2.(Ⅰ)求证:AF∥平面CDE;(Ⅱ)求直线BE与平面ADE所成角的余弦值;(Ⅲ)求点B到平面ADE的距离.43.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12AD=1(1)求证:平面MQB⊥平面PAD;(2)若满足BM⊥PC,求异面直线AP与BM所成角的余弦值;(3)若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°,求QM的长.44.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=π3,M为BC上一点,且BM=12,(1)求PO的长;(2)求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.45.如图,在等腰梯形PDCB中,PB=3,DC=1,PD=BC=2,AD⊥PB,将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(Ⅰ)若M是侧棱PB中点,求证:CM∥平面PAD;(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.46.如图,四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,PD=AB=2,E为PC中点.(1)求证:DE⊥平面PCB;(2)求点C到平面DEB的距离;(3)求二面角E﹣BD﹣P的余弦值.47.如图,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把△ABD折起,使A移到A1点,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.(1)求证:BC⊥A1D;(2)求证:平面A1BC⊥平面A1BD;(3)求二面角A1﹣BD﹣C的余弦值.48.如图,在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB=AC=AA1,BC=2AB,点D是(Ⅰ)求证:AD⊥平面BCC1B1;(Ⅱ)求证:A1B∥平面ADC1;(Ⅲ)求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值.49.四边形ABCD是菱形,ACEF是矩形,平面ACEF⊥平面ABCD,AB=2AF=2,∠BAD=60°,G是BE的中点.(Ⅰ)证明:CG∥平面BDF;(Ⅱ)求二面角E﹣BF﹣D的余弦值.50.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1⊥平面ABC;(2)求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;(3)求点C到平面A1BC1的距离.51.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.(Ⅰ)证明:D1E⊥A1D;(Ⅱ)当E为AB的中点时,求异面直线AC与D1E所成角的余弦值;(Ⅲ)AE等于何值时,二面角D1﹣EC﹣D的大小为π452.如图所示,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=12AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PD,PC,CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面(1)求证:AP∥平面EFG;(2)求二面角G﹣EF﹣D的大小.53.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC.(Ⅰ)求证:BC⊥平面PAC;(Ⅱ)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的大小;(Ⅲ)是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角?并说明理由.54.如图:长为3的线段PQ与边长为2的正方形ABCD垂直相交于其中心O(PO>OQ).(1)若二面角P﹣AB﹣Q的正切值为﹣3,试确定O在线段PQ的位置;(2)在(1)的前提下,以P,A,B,C,D,Q为顶点的几何体PABCDQ是否存在内切球?若存在,试确定其内切球心的具体位置;若不存在,请说明理由.55.如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,BB1=2,M是线段B(Ⅰ)求证:BM∥平面D1AC;(Ⅱ)求证:D1O⊥平面AB1C;(Ⅲ)求二面角B﹣AB1﹣C的大小.56.如图,已知AB是⊙O的直径,PA垂直于平面ABC,C是⊙O上一点,且AC=BC,E是PC的中点,F是PB的中点,PA=6,AB(文科)(Ⅰ)求证:EF∥平面ABC;(Ⅱ)求证:EF⊥平面PAC;(理科)(Ⅰ)求证:EF∥平面ABC;(Ⅱ)请找出二面角A﹣BC﹣P的平面角,并求出它的度数.57.在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中,M、N分别是AB'、BC'的中点.(Ⅰ)求证:直线MN∥平面ABCD.(Ⅱ)求B'到平面A'BC'的距离.58.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,AB=AC=AA1,∠BAC=90°.(Ⅰ)求证:BA⊥平面ACC1A1;(Ⅱ)求直线BC1和平面ACC1A1所成的角的正切值.59.在四棱锥P﹣ABCD中,△PAD为正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E为AD的中点,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB=2AD=4.(Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAD;(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱CD上是否存在点M,使得AM⊥平面PBE?若存在,求出DMDC60.如图,四边形ABCD为菱形,将△CBD沿BD翻折到△EBD的位置.(1)求证:直线BD⊥平面ACE;(2)若二面角E﹣BD﹣C的大小为60°,∠DBE=60°,求直线CE与平面ABE所成角的正弦值.
高中立体几何数学组卷参考答案与试题解析一.选择题(共15小题)1.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,D为AB边上的中点,点M在线段BD(不含端点)上,将△BCM沿CM向上折起至△B'CM,设平面B'CM与平面ACM所成锐二面角为α,直线MB'与平面AMC所成角为β,直线MC与平面B'CA所成角为γ①tanβ≤32tanα;②γ≤β;③γA.① B.①② C.②③ D.①③【解答】解:如图,设直线BN与直线CM垂直相交于点N,在折叠图里,线段B'T与平面ACM垂直相交于点T,∠BCM=θ,θ∈(0°,30°),由图象知∠B'NT=α,∠B'MT=β,B′N=BN=3B′T=3NT=3sinθcosα,CM=3①tanβ=B′TMN所以tanβ≤3②SΔACM设∠ACB'=δ,则cosδ=cosθcos(90°﹣θ)+sinθsin(90°﹣θ)cosα=cos2(0.5α)sin2θ,sinδ=1−co由13B′TSsinγ=d则sinγsinβ由sinγ≤sinβ,得γ≤β;③sinγ=sin2θsinα则sinγsinα≤sin2θ所以sinγ<sinα,则γ<α.故选:B.2.如图,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是正三角形,E,F,G分别是侧棱AA1,BB1,CC1上的点,且AE>CG>BF,设直线CA,CB与平面EFG所成的角分别为α,β,平面EFG与底面ABC所成的锐二面角为θ,则()A.sinθ<sinα+sinβ,cosθ≤cosα+cosβ B.sinθ≥sinα+sinβ,cosθ<cosα+cosβ C.sinθ<sinα+sinβ,cosθ>cosα+cosβ D.sinθ≥sinα+sinβ,cosθ≥cosα+cosβ【解答】解:如图,延长EF,AB交于M,延长EG,AC交于N,延长FG,BC交于D,易得MN为平面ABC和平面EFG的交线,又D在平面ABC和平面EFG上,则D在直线MN上,即M,N,D三点共线,由外角定理可得∠ANM+∠CDN=π过A作AP⊥面EFG,垂足为P,过A作AQ⊥MN,垂足为Q,连接PQ,PN,易得∠ANP即为直线CA与平面EFG所成的角α,则sinα=APAN,又AP⊥面EFG,MN⊂面EFG,则AP⊥MN,又AQ⊥MN,AP,AQ⊂面APQ,AP∩AQ=所以MN⊥面APQ,PQ⊂面APQ,则MN⊥PQ,则∠AQP即为平面EFG与底面ABC所成的锐二面角θ,则sinθ=AP又sin∠ANM=AQAN,则sinα=sinθ⋅sin∠ANM,同理可得sinβ=sinθ⋅sin∠CDN,则sinα+sinβ=sinθ⋅(sin∠ANM+sin∠又由sin∠ANM=sin(=sin(∠ANM+∠CDNsin∠CDN=sin(∠ANM+∠CDN=sin(∠ANM+∠CDN则sin∠ANM+sin∠CDN=2sin(≤2sin(∠ANM+∠CDN故sinα+sinβ=sinθ⋅(sin∠ANM+sin∠CDN)≤sinθ,A,C错误;故cos2θ=1﹣sin2θ≤1﹣(sinα+sinβ)2,由α,β∈[0,π2]所以1+2cos(α﹣β)>0,即1+2cosαcosβ+2sinαsinβ>0,整理可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2cosαcosβ+2sinαsinβ﹣1>0,即(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2﹣1>0,即(cosα+cosβ)2>1﹣(sinα+sinβ)2,故cos2θ=1﹣sin2θ≤1﹣(sinα+sinβ)2<(cosα+cosβ)2,又cosα,cosβ,cosθ≥0,故cosθ<cosα+cosβ,B正确,D错误.故选:B.3.在三棱锥A﹣BCD中,P为△BCD内一点,若S△PBC=1,S△PCD=2,S△PBD=3,则AP→A.13AB→+C.13AB→【解答】解:三棱锥A﹣BCD中,P为△BCD内一点,如图所示:延长PB至B1,使得PB1=2PB,延长PC至C1,使得PC1=3PC,连接DB1,B1C1,C1D,因为S△PBC=1,S△PCD=2,S△PBD=3,所以S△所以P为△B1C1D的重心,所以PD→即PD→+2PB→所以(AD→−AP→)+2(AB→所以AP→故选:C.4.已知点P是正方体ABCD﹣A'B'C'D'上底面A'B'C'D'上的一个动点,记面ADP与面BCP所成的锐二面角为α,面ABP与面CDP所成的锐二面角为β,若α>β,则下列叙述正确的是()A.∠APC>∠BPD B.∠APC<∠BPD C.max{∠APD,∠BPC}>max{∠APB,∠CPD} D.min{∠APD,∠BPC}>min{∠APB,∠CPD}【解答】解:如图,取正方体的下底面的各边中点E,F,G,H,上底面的中心为O,下底面的中心为O',面ADP与面BCP所成的锐二面角为α,面ABP与面CDP所成的锐二面角为β,且α>β,等价于点P到HF的距离比到EG的距离大,所以点P在如图所示的范围内,在△APC和△BPD中,AC=BD,PQ为公共边,Q为公共的中点,∠APC,∠BPD的大小由PQ与AC,BD所成的角的大小所确定,所成的角越小,则对应的角越大,因为PQ与AC和BD所成的角的大小关系不确定,当点P在靠近A'时,PQ与直线AC所成的角较小,与直线BD所成的角接近90°,此时∠BPD>∠APC,同样当点P接近于点D'时,∠APC>∠BPD,故选项A错误,选项B错误;∠APD与∠BPD的大小关系看点P是在EG的左侧还是右侧,若是在左侧,则∠APD>∠BPC,若是在右侧,则∠APD<∠BPC,若是在EG上,则∠APD=∠BPC;同样,点P在HF的前面,则∠APB>∠CPD,点P在HF上,则∠APB=∠CPD,点P在HF的后面,则∠APB<∠CPD,所以当点P在A'OH内时,max{∠APD,∠BPC}=∠APD,min{∠APD,∠BPC}=∠BPC,max{∠APB,∠CPD}=∠APB,min{∠APB,∠CPD}=∠CPD,因为PH<PE,则∠APD>∠APB,因为PG<PF,故∠BPC<∠CPD,故选项C正确,选项D错误;根据对称性可知,在其余范围内,具有相同的结论.故选:C.5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为棱BB1,DD1的中点,G为侧面ABB1A1内一个动点.若D1G∥平面AEC1F,则D1G与平面ABB1A1所成角的正切值的最大值为()A.55 B.1 C.2. D.【解答】解:如图,取AA1中点M,连结D1M,B1M,∵D1M∥AF,B1D1∥EF,∴平面B1D1M∥平面AEC1F,由平面平行性质得G必在线段B1M上,∵D1A1⊥平面ABB1A1,∴∠D1GA1是直线D1G与平面ABB1A1所成角,只要D1G最小,则此角的正切值最大,只要D1G⊥MB1,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,则MD1=MB1=5,B1D1=22,由面积法得D1G=∴A1G=(∴D1G与平面ABB1A1所成角的正切值的最大值为:tan∠D1GA1=A故选:D.6.已知直线BC垂直单位圆O所在的平面,且直线BC交单位圆于点A,AB=BC=1,P为单位圆上除A外的任意一点,l为过点P的单位圆O的切线,则()A.有且仅有一点P使二面角B﹣l﹣C取得最小值 B.有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最小值 C.有且仅有一点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值 D.有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值【解答】解:过A作AM⊥l于M,连接MB、MC,因为直线BC垂直单位圆O所在的平面,且直线BC交单位圆于点A,所以AC⊥l,所以l⊥平面AMC,所以l⊥MC,l⊥MB,所以∠BMC是二面角B﹣l﹣C的平面角,设∠BMC=θ,∠AMC=α,∠AMB=β,AM=t,则θ=α﹣β,由已知得t∈(0,2],AB=BC=1,tanα=2t,tanβ=1t,tanθ=tan(α﹣令f(t)=tt2+2,则f'(当t∈(0,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当t∈(2,2]时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以当t=2时,f(t)取最大值,即tanθ取最大值,从而θ由对称性知当t=2时,对应P所以有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值.故选:D.7.已知空间内a→,b→,c→为三个两两垂直的单位向量,若x+y+z=1,pqr=0,则|xa→+2yb→+3zc→|+|(x+p)a→+(2y+A.255 B.31010 【解答】解:令m=2y,n=3z,x+m故原式等价于|x=|xa令OC=x因为x+m2+所以C在x+m2+P为xOm,xOn,mOn平面内任意一点,所以问题等价于求|OC→|+|PC→可分三种情况求解:①当P在平面xOm内时,作AB的垂面EOD,作OC⊥ED,P为C投影在OD上投影,得OD=255△ODE≌△O′DE,此时,OE=3,∠EDO>45°,所以∠ODO′>90°,所以OC+PC=OC+CP′≥OP′≥OD,所以当C在D点时|OC→|+|同理②当P在平面xOn内时,D在AE上,可得平面图:此时,OD=31010,OB所以OC+PC=OC+CP′≥OP′≥OD=3同理③当P在平面mOn内时,OD=613,OA=1,∠当OP′⊥O′D时,|OC所以cos∠ADO=67,sin∠ADO=137,OP′=综上:|OC→|+|故选:A.8.点M是棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AB的中点,CN→=2NC1→,动点P在正方形AA1DD1(包括边界)内运动,且PBA.[13,19] B.[3355,19【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,面DMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面为梯形DMEN,其中ME∥DN,BE=1,取C1D1中点F,在DD1上取点H,使DH=2,在AA1取点G,使AG=1,则平面DMEN∥平面B1FHG,∵动点P在正方形AA1DD1(包括边界)内运动,且PB1∥面DMN,∴P点的轨迹是线段GH,G(3,0,1),H(0,0,2),C(0,3,0),GH→=(﹣3,0,1),∴点C到线段GH的距离d=|GC→|•1−[cos<∴PC的长度的最小值为335GC=19,HC=13,∴PC长度的最大值为∴PC的长度范围为[335故选:B.9.正四面体ABCD,CD在平面α内,点E是线段AC的中点,在该四面体绕CD旋转的过程中,直线BE与平面α所成角不可能是()A.0 B.π6 C.π3 【解答】解:由正四面体ABCD,可得所有棱长都相等.①∵点E是线段AC的中点,∴BE⊥AC.在该四面体绕CD旋转的过程中,直线BE与平面α所成角不可能是π2反证法:若直线BE与平面α所成角是π2,则BE⊥平面α则在某一过程必有BE⊥CD.事实上,在该四面体绕CD旋转的过程中,BE与CD是不可能垂直的,因此假设错位,于是直线BE与平面α所成角不可能是90°.②在该四面体绕CD旋转的过程中,当BE∥α时,可得直线BE与平面α所成角为0.③如图所示的正四面体B﹣ABC.作BO⊥平面ACD,垂足为O.则E,O,D三点在同一条直线上.设直线BE与平面ACD所成的角为θ,可得cosθ=1∴θ>π3.于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中,可得直线BE与平面α所成角为π6综上可得:直线BE与平面α所成角不可能是π2故选:D.10.已知长方形ABCD中,AB>BC,现将△ABC沿AC翻折至△AB'C(B'与B不重合),设直线AB'与CD所成角为α,二面角A﹣B'C﹣D为β,则()A.α<β B.α>β C.α=β D.以上都不对【解答】解:根据题意,作图如下:因为AB'⊥B'C,∠AB'D不小于二面角A﹣B'C﹣D,当∠AB'D恰为二面角A﹣B'C﹣D的平面角,此时DB'⊥B'C,从而可得B'C⊥平面AB'D,即AD⊥B'C,因为AD⊥DC,所以AD⊥平面CB'D,即得AD⊥B'D,所以sin∠AB'D=AD过点B'作B'M⊥AB于点M,过点M作MM'⊥DC于点M',因为AB∥CD,所以AB'与CD所成角为∠BAB'或其补角,因为sin∠BAB'=B′M所以∠BAB'>∠AB'D,故直线AB'与CD所成角大于二面角A﹣B'C﹣D,即α>β.故选:B.11.在棱长为63的正四面体D﹣ABC中,过点D的平面Γ与底面ABC所成锐二面角的正切值为6,设平面Γ与底面ABC的交线为l,当平面Γ运动时,直线l在△ABCA.93+6π B.33+12π C.【解答】解:正四面体的棱长为63,设D在底面的射影为O,则O是△ABC∴底边三角形ABC的中线AG=63×32=9,则OG=9﹣6=3,则正四面体的高DO=AD2设直线l∥BC,延长OG交l于K,连接DK,则∠DKO是点D的平面Γ与底面ABC所成锐二面角的平面角,设∠DKO=θ,则tanθ=DOOK=62即O到直线l的距离d=OK=23,∴直线l在△ABC内的部分形成的轨迹是以O为圆心,半径为23的圆的外部,在底面△ABC中,∵OG=3,OE=OK=23,∴EF=23,即△OEF是正三角形,由对称性值圆内含有3个与△OEF全等的三角形,则还有三个与扇形OEH相同的扇形,则3∠EOH=360°﹣3×60°=180°,即∠EOH=60°,则三个扇形的面积之和为半圆的面积S=12×π×(23)2三个正三角形的面积S=3×12×(23)2×则面积之和为93+6π△ABC的面积为S=12×6则所求,面积为273−(93+6π)=183故选:D.12.如图,在三棱锥A﹣BCD中,平面ABC⊥平面BCD,△BAC与△BCD均为等腰直角三角形,且∠BAC=∠BCD=90°,BC=2,P是线段AB上的动点,若线段CD上存在点Q,使得异面直线PQ与AC成30°的角,则线段PA长的取值范围是()A.(0,22] B.[12,63] C.[22,2]【解答】解:如图,由题可知,平面ABC⊥平面BCD,△BAC与BCD均为等腰直角三角形,且∠BAC=∠BCD=90°,作BC中点为O,连接OA,则OA⊥BC,则OA⊥平面BCD,再作y轴方向平行于CD,则OH⊥BC,故可以O为原点,建立如图所示空间直角坐标系,O(0,0,0),A(0,0,1),B(﹣1,0,0),C(1,0,0),设P(s,0,t),Q(1,m,0),(s≤0,t≥0,m≥0),则PQ→=(1−s,m,−t),AC由于PA→与BA→共线,故s=t﹣1,所以所以PQ→⋅AC→=|化简得3m2=4t(1﹣s)﹣(1﹣s)2﹣t2≥0,又s=t﹣1,代入化简可得:4(1﹣s2)≥2+2s2,即3s2≤1,所以|s|≤13,则|PA故选:D.13.在正四面体D﹣ABC中,点E在棱AB上,满足AE=2EB,点F为线段AC上的动点,则()A.存在某个位置,使得DE⊥BF B.存在某个位置,使得∠FDB=πC.存在某个位置,使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为714D.存在某个位置,使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为3【解答】解:如图所示,设正四面体D﹣ABC的底面中心为点O,连接DO,则DO⊥平面ABC,以点O为坐标原点,OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系,设正四面体D﹣ABC的棱长为2,则A(−33,−1,0),B(233,0,0)设F(−33,λ,0)对于A,若存在某个位置使得DE⊥BF,DE→=(3所以DE→⋅BF→=−1−对于B,若存在某个位置使得∠FDB=π4,DF→则cos〈DF→,对于C,设平面DBF的一个法向量为u→又DB→=(2由u→⋅DB若存在某个位置,使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为714,又DE∴714整理得λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=﹣4(舍去),∴存在F(−33,0,0),即F为AC对于D,设平面DAC的一个法向量为m→又DA→=(−3由m→⋅DA设平面DEF的一个法向量为n→又DE→=(3由n→⋅DE若存在某个位置,使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为32则32整理得47λ2﹣42λ+279=0,∴Δ=422﹣4×47×279<0,∴该方程无解,∴D错误.故选:C.14.已知矩形ABCD,M是边AD上一点,沿BM翻折△ABM,使得平面ABM⊥平面BCDM,记二面角A﹣BC﹣D的大小为α,二面角A﹣DM﹣C的大小为β,则()A.α<β B.α>β C.α+β<π2 【解答】解:过点A在平面ABM内作AH⊥BM,垂足为点H,过点H作EF∥CD分别交直线BC、DM于点E、F,连接AE、AF,设AB=a,∠AMB=γ,则γ为锐角,因为平面ABM⊥平面BCDM,平面ABM∩平面BCDM=BM,AH⊥BM,AH⊂平面ABM,所以,AH⊥平面BCDM,∵BC⊂平面BCDM,∴AH⊥BC,因为CD⊥BC,则HE⊥BC,∵HE∩AH=H,∴BC⊥平面AHE,∵AE⊂平面AHE,∴AE⊥BC,故二面角A﹣BC﹣D的平面角为∠AEH=α,且tanα=AH同理tanβ=AH在Rt△BAM中,∠BAM=π又因为AH⊥BM,则∠BAH=π∴AH=acosγ,BH=asinγ,MH=AH∵DF∥BC,则∠HBE=∠HMF=γ,所以,EH=BHsinγ=asin2γ,FH=MHsinγ=acos2γ,tanα=AH无法比较sin2γ和cos2γ的大小关系,故无法比较tanα、tanβ的大小关系,即α、β的大小无法确定,因为0<α<π2,0<β<π2,则0<α因为tan(α+β)=tanα+tanβ所以,α+β>π故选:D.15.足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一,2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛.比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行.已知某足球的表面上有四个点A,B,C,D满足AB=BC=AD=BD=CD=2dm,二面角A﹣BD﹣C的大小为2πA.742π27dm3 B.352π27dm3 C.14π27【解答】解:根据题意,三棱锥A﹣BCD如图所示,图中点O为线段BD的中点,N,M分别是线段AO,CO上靠近点O的三等分点,因为AB=BC=AD=BD=CD=2所以△ABD和△CBD均为等边三角形,因为点O为线段BD的中点,所以AO⊥BD,CO⊥BD,所以∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角,所以∠AOC=2π因为△ABD和△CBD均为等边三角形,点O为线段BD的中点,所以AO,CO分别为△ABD和△CBD的中线,因为N,M分别是线段AO,CO靠近点O的三等分点,所以N,M分别为△ABD和△CBD的外心,过N,M分别作平面ABD和平面CBD的垂线EN,EM,交于点E,则点E为三棱锥A﹣BCD外接球的球心,即为足球的球心,所以线段EB为球的半径,因为AO⊥BD,CO⊥BD,AB=BC=AD=BD=CD=2所以AO=CO=62dm因为AO=CO,EO=EO,∠ENO=∠EMO=90°,所以△ENO≅△EMO,所以∠EON=∠EMO=1在直角△EMO中,EM=OMtanπ因为EM⊥平面BCD,BM⊂平面BCD,所以BM⊥EM,因为M是△CBD的外心,所以BM=6所以EB=E所以V=4所以足球的体积为742故选:A.二.填空题(共15小题)16.棱长为6的正四面体ABCD内有一个内切球O,M为CD中点,N为BM中点,连接AN交球O于P,Q两点,PQ的长为43311【解答】解:把这个正四面体补成正方体,四面体的棱就是棱长为32的正方体的面对角线,四面体内切球球心为正方体中心.记球心为正方体对角线AE中点O.AE交平面BDC于点O1,则O1为等边三角形BDC的中心,O1在BM上,AE⊥平面BDC.OO1为正四面体ABCD内切球半径,记为R.过点O作OG⊥PQ,垂足为G,则PG=GQ,连接OP、OB,可知OA=OB=123×(32)2=3∴R=OO1=(362)2−(23)2=62.在Rt△AO1∵Rt△AGO∽Rt△AO1N,∴AOAN=OGNO1,即362故答案为:43317.棱长为36的正四面体ABCD的外接球与内切球的半径之和为126,内切球球面上有一动M,则MB+13MC的最小值为【解答】解:将正四面体ABCD放入如图的正方体,则正四面体ABCD的外接球与该正方体的外接球为同一球,半径为362设正四面体ABCD的内切球半径为r,根据等体积法有(36解得r=36所以外接球与内切球的半径之和为96由阿波罗尼斯球得内切球球心O是线段CH上以C,E为定点,空间中满足PCPE=λ(λ≠1)的点连结CO并延长交平面ABD于点H,交内切球上方的点设为K,过M作ME⊥CH,交CH于点E,连结BM,CM,设OE=x,由(1)空可知,CO=966636−x=所以MCME所以13所以MB+1在△BOE中,BO=CO=96,OE=6所以BE=(9所以MB+13MC故答案为:126;418.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,在平面A1B1C1D1内,直线l∥B1D1,设二面角A﹣l﹣E的平面角为θ,当θ取最大值时,cosθ=2341【解答】解:如图,设正方体的棱长为1,l与A1B1,A1D1分别交于I,H两点,取CD的中点F,连接EF,则EF∥BD,又因为BD∥B1D1,∴EF∥B1D1,又因为直线l∥B1D1,∴直线l∥EF,即EFHI在同一平面内,设平面EFHI与AC交于G,在正方形A1B1C1D1中,B1D1⊥A1C1,又知道AA1⊥B1D1,AA1∩A1C1.所以B1D1⊥平面AA1C1C,又因为HI∥B1D1,所以HI⊥平面AA1C1C,设HI∩A1C1=O,连接OA,OG,则∠AOG即为二面角A﹣l﹣E的平面角θ,且θ为锐角.因为EF为三角形BCD的中位线,故G是AC的四等分点,即AG=3取出截面AA1C1C如图,以A为坐标原点,AC为x轴,建立如图坐标系,设O点坐标为(x,1),x∈(0,2).直线OA的斜率为kOA=1x,直线OG的斜率kOG=∴tanθ=kOG−kOA故当x=328时,tanθ最大,即O∴OA=OG=(所以由余弦定理cosθ=O故填:234119.如图,棱长为3的正方体的顶点A在平面α上,三条棱AB、AC、AD都在平面α的同侧.若顶点B,C到平面α的距离分别为1,2.建立如图所示的空间直角坐标系,设平面α的一个法向量为(x0,y0,z0),若x0=1,则y0=2,z0=6,且顶点D到平面α的距离是6.【解答】解:如图所示,连结BC、CD、BD,则四面体A﹣BCD为直角四面体;作平面α的法线AH,作BB1⊥平面α于B1,CC1⊥平面α于C1,DD1⊥平面α于D1;连结AB1,AC1,AD1,令AH=h,DA=a,DB=b,DC=c,由V三棱锥A﹣BCD的体积相等,∴13×S△BCD•h=∴a2+b2•b2+c2•可得1ℎ∴ℎ2令∠BAB1=α,∠CAC1=γ,∠DAD1=β,可得sin2α+sin2β+sin2γ=1,设DD1=m,∵BB1=1,CC1=2∴(1解得m=6;即所求点D到平面α的距离为6又α的法向量为n→=(x0,y0,z=(hcos(π2−α),hcos(π2−γ),h=(hsinα,hsinγ,hsinβ),由hsinα=1,得hsinγ=2,hsinβ=∴n→=(1,2,故答案为:2,6,6.20.在空间直角坐标系O﹣xyz中,经过点P(2,1,1)且与直线x−3y+z+1=03x−2y−2z+1=0垂直的平面方程为8x+5y+7z﹣28=0【解答】解:由题意可得,两个平面的法向量分别为(1,﹣3,1),(3,﹣2,﹣2),设平面的法向量为(x,y,z),则由x−3y+z=03x−2y−2z=0得到一法向量为(1,58,所以与直线x−3y+z+1=03x−2y−2z+1=0垂直的平面方程为(x﹣2)×1+58(y﹣1)+整理得8x+5y+7z﹣28=0,故答案为:8x+5y+7z﹣28=0.21.如图,点A在锐二面角α﹣MN﹣β的棱MN上,在面α内引射线AP,使AP与MN所成的∠PAM为45°,与面β所成的角为30°,求二面角α﹣MN﹣β的大小45°.【解答】解:过点P作平面β的垂线PB,垂足为B,过点B作BC垂直于MN,连接PC∵PB⊥β,MN⊂β,∴PB⊥MN∵MN⊥BC,∴∠PCB为二面角α﹣MN﹣β的平面角设PB=1,在△PBA中,∠PAB=30°,∴PA=2在△PCA中,∠PAC=45°,∴PC=在△PCB中,PB=1,PC=2,∴∠PCB故答案为45°22.△ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14,那么点P到平面ABC的距离是:7.【解答】解析:记P在平面ABC上的射影为O,∵PA=PB=PC∴OA=OB=OC,即O是△ABC的外心,只需求出OA(△ABC的外接圆的半径),记为R,在△ABC中由余弦定理知:BC=21,在由正弦定理知:2R=21sin120°=143,∴OA=73故答案为:7.23.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为23.【解答】解:以AB→,AD→,可得AC由AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,可得AB→•AD→=0,AB→•AA1→=1×3所以AC1→2=AB→2+AD→2+AA1→2+2=1+4+9+0+3+6=23,则|AC1→故答案为:23.24.在正三棱锥P﹣ABC中,M、N分别是侧棱PB,PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此三棱锥的侧面与底面所成的角的正切值是5.【解答】解:如图,取MN中点O,连接AO,PO,延长PO交BC于点D,连接AD,则BD=DC∵三棱锥P﹣ABC为正三棱锥∴AM=AN∴AO⊥MN∵截面AMN⊥侧面PBC∴AO⊥侧面PBC∴AO⊥PD,又PO=OD∴PA=AD,且∠ADO就是侧面与底面所成的二面角的平面角设AB=a,则AD=32a∵PD=∴OD=24a在Rt△AOD中,tan∠ADO=∴三棱锥的侧面与底面所成的角的正切值是5故答案为525.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AA1=2,则二面角C1﹣AB﹣C的余弦值为5719【解答】解:如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),ACAB→=(32设n=(x,y,z)为平面ABC1的法向量则32x+12y=0取m=(0,0,1),作为平面ABC的法向量.则cos<m,n>=−1∴二面角C1﹣AB﹣C的余弦值为5719故答案为:5726.已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=π3.现将菱形沿对角线AC折成空间几何体ABCD'.设空间几何体ABCD'的外接球为球O,若球O的表面积为8π,则二面角B﹣AC﹣D'的余弦值为−【解答】解:设球的半径为R,由表面积4πR2=8π,得R=2.如图(1),设△ABC、△D'AC的外心分别为O1,O2过O1,O2分别做平面ABC,平面D'AC的垂线,两条垂线的交点即为球心O.如图(2),设AC中点为E,由对称性知∠D'EO=∠BEO,设为θ,则2θ为二面角B﹣AC﹣D'所成平面角的大小.由正弦定理得O1B=12所以tanθ=OO1故答案为−127.已知四面体有五条棱长为3,且外接球半径为2.动点P在四面体的内部或表面,P到四个面的距离之和记为s.已知动点P在P1,P2两处时,s分别取得最小值和最大值,则线段P1P2长度的最小值为9714【解答】解:四面体ABCD,其中AD=BD=BC=AB=AC=3,设CD=2x,取CD,AB的中点分别为E,F,连接DF,CF,如图.在等腰三角形ABD,ABC中,有FD⊥AB,FC⊥AB,∴AB⊥平面CDF,又F为AB的中点,则四面体ABCD的外接球的球心O一定在平面CDF上,同理可得四面体ABCD的外接球的球心O一定在平面ABE上,∴四面体ABCD外接球的球心O一定在EF上,连接OC,OB,设∠EFC=θ,在直角三角形OBF中,OF=O在△OCF中,cosθ=O在直角三角形EFC中,EF=CF•cosθ=9714,即EF根据条件有S△ACD=S△BCD,设为S1,S△ABD=S△CAB,设为S2.设点P到四个面ACD,BCD,DAB,CAB的距离分别为d1,d2,d3,d4,设四面体ABCD的体积为V(为定值),由等体积法有:V=1∴d3∴s=d当点P在CD上时,d1+d2=0最小,当点P远离CD时,d1+d2的值增大,由等体积法可得,当点P在AB上时,d1+d2的值相等且此时d1+d2的值最大,∴当点P在CD或AB上时,s取得最值,故线段P1P2长度的最小值为CD,AB上两点间距离的最小值.由上可知,EF⊥CD,EF⊥AB.∴CD,AB上两点间距离的最小值为EF=9故答案为:9728.在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点P是正方体棱上一点,|PB|+|PC1|=λ.①若λ=4,则满足条件的点P的个数为4;②若满足|PB|+|PC1|=λ的点P的个数为6,则λ的取值范围是(22,4)∪(2+2【解答】解:(1)正方体的棱长为2,∴BC∵|PB|+|PC1|=4,∴P是以2c=22为焦距,以a∵P在正方体的棱上,∴P应是椭圆与正方体与棱的交点,结合正方体的性质可得,满足条件的点为B1,C,以及棱AB,C1D1各有一点满足条件,故满足条件的点P的个数为4.(2)|PB|+|PC1|=λ>|BC1|=22当椭圆短半轴b<2时,椭圆与棱BC,CC1,C1B1,B1B,AB,C1D各有一个交点与其它棱无交点,满足题意;由b2=λ24当b=2时,a=2,λ当b>2,λ≤2+2当λ>2+23,b<6时,椭圆与棱AD,DD1,D1A1,A1A,A1B1,由b2=λ24当b≥6综上,λ的取值范围为(22,4)⋃故答案为:4;(22,4)⋃29.如图,圆柱W的底面半径为1,高为2,平面MNFE是轴截面,点G,G1分别是圆弧ME,NF的中点,H在劣弧NG1上(异于N,G1),H,G,G1在平面MNFE的同侧,记二面角G﹣NH﹣F,G﹣FH﹣N的大小分别为α,β,则tanα﹣tanβ的取值范围为【解答】解:以点O2为坐标原点,分别以O2G,O2E,O2O1为x、y、z轴建立空间坐标系O2﹣xyz,所以N(0,﹣1,2),G(1,0,0),F(0,1,2),设H(m,n,2),0<m<1,﹣1<n<0,且m2+n2=1,NH→设平面NHG的法向量m→=(x,y,z),GN由m→⋅GN→=0设平面GFH的法向量n→=(a,b,c),FH由n→⋅FH→=0设平面FNH的法向量为k→cosα=|cos<m→,k→>|=﹣cosβ=|cos<n→,k→>|=∴tanα﹣tanβ=2m2+(n+1)2m−(n+1)+2故答案为:(4,+∞).30.如图,在等腰Rt△ABC中,AB=AC=32,F为线段BC上的点,CF=2,E为线段AB上的点,现将四边形AEFC沿EF折起,使点A在平面BEF上的射影Q在直线BF上,且二面角A﹣EF﹣B的大小为60°,则此时线段AE的长度为532【解答】解:如图所示,在△ABC中,作AM⊥EF交BC于点Q,M点为垂足.∵点A在平面BEF上的射影Q在直线BF上,且二面角A﹣EF﹣B的大小为60°,在折叠图中,∠AMQ为二面角A﹣EF﹣B的平面角,大小为60°.∴AM=2MQ.在△ABC中,BC边所在直线为x轴,其垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.O点为坐标原点.BC=32×则O(0,0),F(1,0),A(0,3),B(﹣3,0).设Q(t,0),∵QM→∴OM→=OQ→+13QA→∵AQ⊥MF,∴AQ→•MF→=(t,﹣3)•(23t﹣1,3)=t化为:2t2﹣3t﹣9=0,t<0.解得t=−32.∴直线EF的方程为:y=1−1−1(x﹣1),化为:x+2直线AB的方程为:﹣x+y=3.联立为:−x+y=3x+2y−1=0,解得x=−53,∴E(−53,∴AE=(−故答案为:53三.解答题(共30小题)31.如图,DA和CB都垂直于平面ABE,F是DA上一点,且CB=4,AF=2,△ABE为等腰直角三角形,且O是斜边AB的中点,CE与平面ABE所成的角为45°.(1)证明:FO⊥平面OCE;(2)求二面角F﹣EC﹣O的平面角的正切值;(3)若点P是平面ADE内一点,且OC⊥OP,设点P到平面ABE的距离为d1,PA=d2,求d1+d2的最小值.【解答】解:(1)证明:CB⊥平面ABE,∴CE与平ABE所成的角为∠CEB=45°.∵CB=4,∴EB=4,∴在等腰Rt△ABE中,AE=4,AO=OB=22又CB=4,AF=2,∴AOAF=CBOB=2,∴△AOF∽△所以∠AOF+∠BOC=∠AOF+∠AFO=π2,即∠FOC=π2,即∵CB⊥平面ABE,OE⊂平面ABE,∴CB⊥OE.∵EO⊥AB,AB∩CB=B,AB⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD.∴OE⊥平面ABCD.∵FO⊂平面ABCD,∴EO⊥FO.∵EO∩OC=O,∴FO⊥平面OCE.(2)过点F作FH⊥CE,连接OH,如图所示.∵FO⊥平面OCE,CE⊂平面OCE,∴FO⊥CE.又∵FH⊥CE,FH∩FO=F,∴CE⊥平面OFH.∵OH⊂平面OFH,∴OH⊥CE.根据二面角的定义可知,∠OHF为平面角.在Rt△OAF中,AF=2,AO=22,∴OF=23∵OE⊥平面ABCD,OC⊂平面ABCD,∴OE⊥OC.在Rt△EOC中,OC=26,OE=22.∴OH=OE⋅OC∴tan∠OHF=OF(3)由(1)知,FO⊥OC,又OC⊥OP,FO∩OP=O.∴OC⊥平面OPF.同理OC⊥平面OPE,∴平面OPE与平面OPF重合,即点P∈平面OEF.而P∈平面ADE,∴P∈平面OEF∩平面ADE=EF.∵DA⊥平面ABE,∴点P到平面ABE的距离转化为点P到AE的距离.在平面ADE内作点A关于直线EF对称点A′,作PH⊥AE于H.当A′,P,H三点共线时,d1+d2为最小,如图所示,则A′H⊥AE.在Rt△AEF中,AA′=2AE×AFEF=85,sin∠A′∴A′H=A′A•sin∠A′AE=16∴d1+d2的最小值为16532.在四棱锥P﹣ABCD中,E为棱AD的中点,PE⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ADC=90°,ED=BC=2,EB=3,F为棱PC的中点.(Ⅰ)求证:PA∥平面BEF;(Ⅱ)若二面角F﹣BE﹣C为60°,求直线PB与平面ABCD所成角的正切值.【解答】解:(Ⅰ)证明:连接AC交BE于点M,连接FM,∵AD∥BC,且BC=AE,∴AM=MC,又PF=FC,∴线段FM是△PAC的中位线,∴FM∥AP,∵FM⊂面BEF,PA⊄面BEF,∴PA∥面BEF;(Ⅱ)∵AD∥BC,ED=BC,∴四边形BCDE是平行四边形,又∵∠ADC=90°,∴四边形BCDE是矩形,∴AD⊥BE;又PE⊥平面ABCD,∴PE⊥BE,PE⊥ED;以E为坐标原点,EB,ED,EP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设PE=m,则E(0,0,0),B(3,0,0),P(0,0,m),C(3,2,0),F(32,1,m∴EB→=(3,0,0),EF→=(设平面BEF的一个法向量为n→=(x,y,由n→⋅EB令z=1,得n→=(0,−取平面ABCD的一个法向量为a→∴cos<n→,由二面角F﹣BE﹣C为60°,得1m24+1=∵PE⊥平面ABCD,∴∠PBE就是直线PB与平面ABCD所成角,在Rt△PBE中,tan∠PBE=PE∴直线PB与平面ABCD所成角的正切值为2333.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=3,平面EDCF⊥平面ABCD(Ⅰ)求证:DF∥平面ABE;(Ⅱ)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.(Ⅲ)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34?若存在,求出线段BP【解答】解:(Ⅰ)证明:取D为原点,DA所在直线为x轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示;则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,3),F(﹣1,2,3),BE→=(﹣1,﹣2,3),设平面ABE的法向量为n→=(x,y,∴−x−2y+3不妨设n→=(又DF→=(﹣1,2,∴DF→•n→=−∴DF→⊥n又∵DF⊄平面ABE,∴DF∥平面ABE;(Ⅱ)∵BE→=(﹣1,﹣2,3),BF→设平面BEF的法向量为m→=(x,y,∴−x−2y+3则m→=(23,∴|cosθ|=|m→∴平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是531(Ⅲ)设DP→=λDF→=λ(﹣1,2,3)=(﹣λ,2λ,3∴P(﹣λ,2λ,3λ),BP→=(﹣λ﹣1,2λ﹣2,3又平面ABE的法向量为n→=(∴sinθ=|cos<BP→,=|BP→=|=3化简得8λ2﹣6λ+1=0,解得λ=12或λ当λ=12时,BP→=(−3当λ=14时,BP→=(−54,综上,|BP→34.如图,在Rt△AOB中,∠OAB=π6,斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B﹣AO﹣C是直二面角,动点D在斜边(Ⅰ)求证:平面COD⊥平面AOB;(Ⅱ)求CD与平面AOB所成角的正弦的最大值.【解答】解:(I)证明:由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C的平面角;又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角,∴CO⊥BO,又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB,又CO⊂平面COD,∴平面COD⊥平面AOB;(II)由(I)知,CO⊥平面AOB,∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角;在Rt△CDO中,CO=BO=ABsinπ6=4∴sin∠CDO=CO当CD最小时,sin∠CDO最大,此时OD⊥AB,垂足为D,由三角形的面积相等,得12CD•AB=12BC解得CD=2∴CD与平面AOB所成角的正弦的最大值为2735.如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.(1)证明:△PBC是直角三角形;(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角正切值为2时,直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【解答】(1)证明:∵C在圆O上,∴BC⊥AC,∵PA⊥平面ABC,∴BC⊥PA,∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,∴△BPC是直角三角形.(2)解:如图,过A作AH⊥PC于H,∵BC⊥平面PAC,∴BC⊥AH,∴AH⊥平面PBC,则∠ABH就是要求的角.…(8分)∵PA⊥平面ABC,∴∠PCA是PC与平面ABC所成角,…(9分)∵tan∠PCA=PAAC=2,又PC∴在Rt△PAC中,AH=PA⋅AC∴在RtABH中,sin∠ABH=2故AC与平面PBC所成角正弦值为3336.如图,四棱锥A'﹣BCDE是由直角△ABC沿其中位线DE翻折而成,且∠ABC=π2,PC=2PA',设AB=1,(Ⅰ)若∠A'EB=π3,求二面角A'﹣BD﹣(Ⅱ)若二面角C﹣A'D﹣E的大小为5π6,求三棱锥P﹣A'ED【解答】解:(Ⅰ)因为∠A'EB=π3,则△A'取分别BE,CD的中点O,F,连接OF,以点O为坐标原点,分别以OB,OF,OA′为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图:则B(14,0,0),C(14由题意可知,OP→=1所以BD→=(−12,设平面A′BD的一个法向量为n1所以BD→⋅n1→=0A′B设平面PBD的法向量n2所以BD→⋅n→=0BP→所以cos<n所以二面角A'﹣BD﹣P的余弦值1935(Ⅱ)过点E作EM⊥A′D于M,再过点M在平面AA′D内作A′D的垂线MN交AA′于N,连接NE.∠NME为二面角E﹣A′D﹣A的平面角,∵二面角C﹣A'D﹣E的大小为5π6,∴∠NME=在Rt△ABC中,由AB=1,AC=3,所以BC=22,DE=2,A′E=AE=由折叠知DE⊥AA′E,所以DE⊥EN,由作辅助线过程知A′D⊥面MNE,所以NE⊥A′D,又A′D∩DE=D,所以EN⊥A′DE,所以EN⊥A′E,由Rt△A′ED,容易求得A′D=32,又12A′D⋅EM=在Rt△MNE中,又∠NME=π6,所以EN在Rt△A′EN中,由勾股定理得A′N=10518,所以sin∠NA′E=2所以sin∠AEA′=2×2所以A′到面BCDE的距离为6635,PC=2所以点P到面BCDE的距离为4635,即三棱锥P﹣A'ED的高为又S△AED所以三棱锥P﹣A'ED的体积=137.在①OH∥平面PAB,②平面PAB⊥平面OHC,③OH⊥PC,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.问题:如图,在三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,AC=16,PA=PC=10,O为AC中点,H为△PBC内的动点(含边界).(1)求点O到平面PBC的距离;(2)若_____,求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.【解答】解:(1)在三棱锥P﹣ABC中,连接OB,OP,因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,PA=PC,O为AC中点,所以OP⊥OC,OB⊥OC,又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,OP⊂平面PAC,所以OP⊥平面ABC,又OB⊂平面ABC,所以OP⊥OB,所以OB,OC,OP两两垂直,VO﹣PBC=VP﹣OBC=13•PO•S△OBC又S△PBC=12•BC•PB2−(所以d=V所以点O到就平面PBC的距离为1234(2)在三棱锥P﹣ABC中,以O为坐标原点,{OB→,OC→,OP→}为正交基底建立空间直角坐标系O则O(0,0,0),P(0,0,6),A(0,﹣8,0),C(0,8,0),B(8,0,0),设H(x,y,z),则OH→=(x,y,z),PH→=(x,y,z﹣6),PA→设平面PAB的法向量为n1→=(x1,y1,则n1→⋅PA→不妨令y1=﹣3,则n1同理可求得平面PBC的法向量n2选条件①,因为OH∥平面PAB,PH⊂PBC,所以OH→⋅n即z=3−34xy=4,所以H(x又0≤x≤80≤3−34x≤6,所以0≤x≤4,所以PH→=又OP⊥平面ABC,所以n3→=设直线PH与平面ABC所成角为θ,则sinθ=|cos<n3→,PH令t=x4+1,t∈[1,2],1t所以sinθ=3t令f(1t)=3225•1所以f(1t)∈[1725,1].所以1f(1所以sinθ∈[35,3所以直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为[35,3选条件②,条件③结果相同.38.中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍(chú)甍(méng)者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条楼.刍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,AB=4,EF∥AB,AB=2EF,EA=ED=FB=FC=17(1)求二面角A﹣EF﹣C的大小;(2)求三棱锥A﹣BDF的体积;(3)点N在直线AD上,满足AN=mAD(0<m<1),在直线CF上是否存在点M,使NF∥平面BDM?若存在,求出CMMF【解答】解:(1)过点E分别作EG⊥EF,EH⊥EF,分别交AB,CD于G,H,连接GH,则∠GEH为二面角A﹣EF﹣C的平面角,因为四边形ABCD为正方形,EF∥AB,所以EG⊥AB,EH⊥CD,由已知得EG=GH=EH=4,所以∠GEH=60°.(2)过点E作EO⊥GH,垂足为O.因为EF∥AB,EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.因为AB∥CD,EH⊥CD,所以AB⊥EH.因为EG∩EH=E,所以AB⊥平面EGH.因为EO⊂平面EGH,所以AB⊥EO.因为AB∩GH=G,AB,GH⊂平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD,所以EO为三棱锥F﹣ABD的高,EO=23因为S△ABD=8,所以VA−BDF(3)方法一:假设存在点M.①当点N在线段AD上时,连接CN交BD于R,则△DNR∽△BCR,所以CRRN因为FN∥平面BDM,FN⊂平面CFN,平面CFN∩平面BDM=MR,所以FN∥MR,所以CMMF②当点N在DA延长线上时,连接CN交BD于S,则△DNS∽△BCS,所以CSSN因为FN∥平面BDM,FN⊂平面CFN,平面CFN∩平面BDM=MS,所以FN∥MS,所以CMMF综上,在直线CF上存在点M,使NF∥平面BDM,CMMF的值为11−m或方法二:当点N在线段AD上时,过点N作NT∥BD交CD于T,连接TF,过点D作TF∥DM交CF于点M,因为TF∩TN=T,所以平面FTN∥平面BDM.因为NF⊂平面FTN,所以NF∥平面BDM.因为FN⊂平面CFN,平面CFN∩平面BDM=MR,所以FN∥MR.因为NT∥BD,DT∥AB,所以△ABD∽△DTN,所以ADDN所以CDDT所以CMMF当点N在线段DA延长线上时,过点N作NT∥BD交CD于T,连接TF,过点D作TF∥DM交CF于点M.因为TF∩TN=T,所以平面FTN∥平面BDM.因为NF⊂平面FTN,所以NF∥平面BDM.因为FN⊂平面CFN,平面CFN∩平面BDM=MS,所以FN∥MS.因为NT∥BD,DT∥AB,所以△ABD∽△DTN,所以ADDN所以CDDT所以CMMF综上,在CF上存在点M使得NF∥平面BDM,此时CMMF=139.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=2AB=2BC,E是CD的中点.将△ADE沿AE折起到△AD'E的位置.(Ⅰ)若M为棱BD'上动点,问在棱AE上是否存在定点N,使BC⊥MN?若存在,求ANAE(Ⅱ)若平面AD'E⊥平面ABCE,求二面角A﹣BD'﹣C的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)当N为AE中点时,BC⊥MN,证明如下:取AE的中点N,连结D'N,BN,MN,如图所示,因为AB∥CD,且CD=2AB=2BC,所以四边形ABED和四边形ABCE均为菱形,因为D'A=D'E,N为AE的中点,所以D'N⊥AE,因为AB=EB,N为AE的中点,所以BN⊥AE,又D'N∩BN=N,所以AE⊥平面D'NB,又因为AE∥BC,所以BC⊥平面D'NB,因为MN⊂平面D'NB,所以BC⊥MN,此时ANAE故存在定点N,使BC⊥MN,且ANAE(Ⅱ)因为平面AD'E⊥平面ABCE,平面AD'E∩平面ABCE=AE,D'N⊥AE,所以D'N⊥平面ABCE,以N为坐标原点,NA,NB,ND'分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AB=2,则A(1,0,0),B(0,3所以AB→设平面ABD
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