江苏省南通市2023届高三上学期期末模拟数学试题（解析版）

南通市2023届高三上学期期末质量监测模拟

数学

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用

2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上

角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签

字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和

涂改液.

3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1若集合M={x|2，>4},N={Mlog3X«l},则“DN=（）

A.{x|2<x<3}B.{x|x>0}

C.{x[0<x<2或x>2}D.R

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性求得集合根据集合的并集运算即可得

答案.

【详解】解2、>4得尤>2,解log3》Kl得0〈无43,

故得M={x|x>2},N={x[0<xW3},

故A/uN={x|x>0},

故选：B.

2.已知复数Z,0）,满足z2=0=^2,且复数z在复平面内位于第一象限，则

co1+co+2

）

A1

由B.-

24

【答案】C

【解析】

【分析】设2=。+例，co^c+di,利用复数的乘方运算以及复数的几何意义即可求解.

【详解】设2=。+例，CD=C+d\,

则z2=a>=^a2-b2^+2abi=c+di=(c?-d2^-2cch,

则c=一,，d—，所以69=—•-4-i,

2222

w，ab

当所见哈

3+—•=0,解得a=±L,b=土立^，

则有ci~—

16a2222

又复数Z在复平面内位于第一象限，所以z='+@i，

22

Ct)~+69+2

代入可得

Z2+Z+12

故选：C

3.已知数列｛6,｝是递增数列，且4=则实数/的取值范围是

广6,”>6

()、

A.(2,3)B.[2,3)1叫7，D.(1,3)

7

【答案】C

【解析】

【分析】根据分段函数的单调性及数列为递增数列，列出不等式组求解即可.

<6,伍,｝是递增数歹

【详解】因为

3-/>0

所以《t>i，解得—<t<3

7f

(3-r)x6-8<r

所以实数f的取值范围为（岑,3）,

故选：c

4.俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产

直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.1992年，为了远程性和

安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340,是一种有四台发

动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的4310.假设每一架飞机的引擎在飞行

中出现故障率为1-P，且各引擎是否有故障是独立的，已知A340飞机至少有3个引擎正

常运行，飞机就可成功飞行；A310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.

若要使A340飞机比A310飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是()

【答案】C

【解析】

【分析】

由独立重复实验概率公式可得两种飞机正常飞行的概率，解不等式即可得解.

【详解】由题意，飞机引擎正常运行的概率为"，

则A310飞机能成功飞行的概率为C"2=p2,

A340飞机能成功飞行的概率为《，3(1-〃)+屐。4=-304+4。3,

令-3//*+4p3>即一3p2+4〃>1,解得g<p<\.

所以飞机引擎的故障率应控制的范围是(o,|)

故选：C.

5.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC,BD,若直

【答案】C

【解析】

【分析】设出切线AC和B。的方程，与椭圆方程联立消去根据判别式△=(),求得人,履

的表达式，根据AC与8。的斜率之积求得。和b的关系，进而求得a和c的关系，椭圆的

离心率可得.

22

【详解】设内层椭圆的方程为二+3=1(。〉人＞0),

ah

x2y2

由离心率相同可知，外层椭圆的方程为:―-+=

{ma){mb)

y=kx{x-md)

(bx)2+(ay)2=(ah)?

消去>得(b2+a2k^)x2-2ma3kfx+m2a4k^-a2b2=0

j2

由△=(),得k；=Z1

am2-1

设切线BD的方程为y=k2x+mhf

二[y=kx+mb

联立〈；2)»

[(bx)2+(ay)2=(ab)92

消去y得S?+2m/必2工+加2々2匕2一二。，

h2

由A=0得代=—•(m2—1)，

a

=gr，

又直线AC与8。的斜率之积为一,，.•.%=,

4a24

/.a=2b,c=上b、：.e-

2

故选：c

6.已知函数/0）=5山（5+夕）（0>0,|同<1）,1=一?为/。）的零点，x=?为y=/（x）

图象的对称轴，且/“）在（白，（J）单调，则。的最大值为

lo36

A.11B.9

C.7D.5

【答案】B

【解析】

JT1T

【分析】根据已知可得3为正奇数，且3W12,结合x=-一为f（x）的零点，x=一为y

44

TT57r

=/（%）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合了（X）在（=，）上单调，可

1836

得3的最大值.

TTTT

【详解】•.％=——为了（X）的零点，x=一为尸八X）图象的对称轴,

44

2〃+1e71=”2〃+12万7t

：.--------T=—,即-----------=-,(»GN)

424co2

即3=2W+1,(nGN)

即3为正奇数，

•.ya)在(工，—)上单调，

27r7i

即T=——>—,解得：a)^12,

CD6

IE

当u)=ll时，------F(p—ku,依Z,

4

,兀

,•,|<pl<y.

兀

..(p

4

TT57r

此时了（工）在（―,—）不单调，不满足题意;

1836

9兀

当3=9时，--1+3=加，依Z,

V|（p|<|,

7T

，（P=——,

4

Jr57r

此时/（x）在（一，—）单调，满足题意；

1836

故3的最大值为9,

故选8.

【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查，题目新颖，是一道考查

能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①〃x）=Asin（©x+9）（AH0,oH0）

的单调区间长度是最小正周期的一半;②若/（x）=Asin®x+e）（AHO,0HO）的图像

关于直线x=玉）对称，则/（七）=A或/（/）=-A.

7.已知实数a满足In（e2+l）—l<ln（2a）<l+ln2,贝ij（）

A,e7,>aB-e«<aC'e<，''>4D,

e}

e"T<a-

【答案】D

【解析】

【分析】根据In（e2+l）-l<ln（2a）<l+ln2得+对AB,构造

g（x）=e*-J,根据零点存在性定理判断即可；对CD,构造函数函数

Inx

/（%）=-求导分析函数单调性，结合所给不等式判断即可.

X—1

【详解】由ln（e2+l）—l<ln（2a）vl+ln2得1<；［e+，］<a<e,

对于选项A与B,函数g（x）=e—-在（0,+s）上单调递增，则存在玉）£（：,|）,使得

g（与）=°，即犷。=1,又三}含且含）,所以K>q，/<“均

有可能，即蓝与。大小不确定.故A与B都不正确.

,1,

1nv1------Inx

对于选项C与D,令函数〃x)=H(x>l)得/，(力=x____

(IF

令g(x)=l-J-lnx(xNl)得，(》)=4一,=1^<0,所以g(x)在［l,+oo)上单调

XXXX

递减

g(x)<g⑴=0,所以/'(")=/

所以当X>1时,<0,所以“尤)在(1,m)上

单调递减,

又1cg(e+，)<a<e,所以/(a)>/(e),所以电：>也彳，即e"T</T，故D正

确.

故选：D

8.已知四棱锥P-ABC。外接球表面积为S,体积为匕PAL平面

ABCD,PA=4,NABC=22，且逋4V，则S的取值范围是()

33

A.10^-<SB.20^-<SC.I。国WSD.

20备<S

【答案】B

【解析】

【分析】将已知生84V转化为运用余弦定理与基本不等式得到AC的取

值范围,

由此运用正弦定理得四边形ABC。外接圆半径的范围，然后根据球的性质得球半径的

范围，得解.

以四边形A8CQ的外接圆为底，也为高，将四棱锥补形为一个已知球的内接圆柱.

设内接圆柱的底面半径为r、R外接球的半径，，则配=22+产，

V=3SABCD•PA=§^ABCDN个G,故^ABCD-，

SABCD=^ABBCsin^-+^ADDCsin^=~(ABBC+ADDC)>

所以AB-3C+Ar)£)C24

在"RC中运用余弦定理与基本不等式得：

AC2=AB2+BC2+ABBC>3ABBC>

在八4。。中运用余弦定理与基本不等式得：

3AC2=3(AD2+DC2-AD-DC)>3AD-DC,

上两式相加得：4AC2>3(AB-BC+ADDC)>12,

故有：AC2>3，

2

2/—4c•r-^_Arr>1>I

在44BC中由正弦定理得：一T'一I一，

sin——JJ

3

因此尺2=22+,25，S=4万R2220万.

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分.

9.下列结论正确的是()

A.若随机变量X服从两点分布，尸(X=l)=,，则。(X)=」

22

B.若随机变量y的方差。(y)=2,则。(3丫+2)=8

(1

C.若随机变量自服从二项分布84,；,则P©=3)=一

k2；4

D.若随机变量〃服从正态分布N(5,CT2),P(〃<2)=0.1,则尸(2<〃<8)=0.8

【答案】CD

【解析】

【分析】根据两点分布、二项分布、正态分布以及方差的性质，对每个选项进行逐一分

析，即可判断和选择.

【详解】对A：若随机变量X服从两点分布，P(X=1)=J,则。(X)=

2

-x|1-TI=T>故A错误：

2I4

对B：若随机变量Y的方差。(丫)=2,则。(3丫+2)=9。(丫)=18,故错误；

对C：若随机变量自服从二项分布B(4,；),则P(4=3)=C：(g)=；，故正

确；

对D：若随机变量〃服从正态分布N(5,b2),尸(〃<2)=0.1,则尸⑺>8)=01，

故尸(2<〃<8)=1—尸(〃<2)—尸(〃>8)=0.8,故正确.

故选：CD.

10.已知正方体ABC。—44G。的边长为2,M为CG的中点，P为侧面BCG4上的

动点，且满足AM〃平面48P,则下列结论正确的是()

A.AM1B.MB.。4〃平面48。

C.动点P的轨迹长为豆叵D.AM与4片所成角的余弦值为

3

此

3

【答案】BC

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法判断各选项.

【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

则A(0,0,2),A(0,2,2),5(0,0,0),M(2,l,0),P(x,y,0),

所以祠=(0,-2,-2)，丽=(x,y,0),AM=(2,1,-2),

由AM〃平面aBP,

0+/u=2

得AA7=aA有+人3户，即<-2。+b=1,化简可得3x—2y=0,

-2a=-2

所以动点P在直线3x—2y=0上，

A选项：AM=(2,1,-2),^M=(2,-l,0),

W-^W=2x2+lx(-l)+(-2)x0=3^0,所以而与丽;不垂直，所以A选项错

误;

B选项：CD、〃,ABu平面ABP,。2且平面48尸，所以C〃〃平面同田。，B

选项正确；

C选项：动点P在直线3x—2y=0上，且P为侧面BCC4上的动点，则p在线段

上，耳(q2,0),所以46='((1+22+02=2坐，c选项正确;

隔=(。,。,-2),3(瓯画=2匕+；+(一2)22

D选项:3,D选项错误;

故选：BC

11.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，。为坐标原点，直线2：2x-2y-p=O与C

交于A,8两点，以48为直径的圆与y轴交于。，E两点，贝I]()

A.\AB\=3pB.|DE\=y/lp

C./DEE是钝角D.ADEF的面积小于AQIB的面积

【答案】BCD

【解析】

【分析】联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算|AB|=4〃，A错误；计算

圆方程为：+(y-p『=4p2,计算得到B正确；计算而•两<0,得到C

2

正确；SdDEF=亘P。，5AO.„=—p.D正确；得到答案.

ZALzZlr4*LXC/AD2*

【详解】直线/：2x—2y-p=0过抛物线焦点b(go),设A&y),B(x2,y2),

r22\x+x=3p

,y=20px79n-l2

则〈.，x20-3px-^—=0,A=8〃9~>0,〈n2,

2x-2y-p=04XjX2=—

|AB|=x1+x2+/?=4p,A错误;

AB中点坐标为|AB|=4p=2r,r=2p,

圆方程为：；+(y-P)2=4p2,取X=0得到y=p,|f)£|=V7p,B

正确；(s、(s、

不妨取。0,p---p,E0,p+—p,

\/\7

故户万•/7£'=-gp-^-p,--y,p+-y-p=一;〃2<。，£>,旦尸不共线，故

(22八22J2

ZDEE是钝角，C正确；

22

^DEF=^\DE\-\OF\=^x/jpx-^=^-p,S^OAB=1x4px-^==p,

S/\DEF<SQOAB,D正确；

故选：BCD

12.已知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,对任意的x,yeR,恒有

/(x+y)+/(x-y)=2/(x)-/(y),则下列说法正确的有()

A./(0)=1B./'(X)必为奇函数

120231

C./(x)+/(())>oD.若〃1)=，贝=5

Ln=\'

【答案】BCD

【解析】

【分析】赋值法求/(0)的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断

B；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得了(〃),〃€N*的值有周期性，即可求得

2023

工/(〃)的值，判断D.

rt=l

【详解】对于A,令x=y=0,则由/(x+y)+/(x-y)=2/(x>/(y)可得

2/(0)=2/⑼，

故/(0)=0或/(0)=1,故A错误；

对于B,当『(0)=0时,令y=0,贝4(x)+/(x)=2〃x>/(0)=0,则于x)=0,

故/'(x)=0,函数用x)既是奇函数又是偶函数；

当/(0)=1时，令x=o,则/(、)+/(-y)=2/(y),所以/(一y)=/(>),

“X)为偶函数，则为奇函数；

综合以上可知/彳对必为奇函数，B正确；

对于C,令尤=y,则〃2x)+/(o)=2/2(x),故〃2力+/(0)20。

由于xeR,令，=2x/eR,即/。)+/(0)20,即有/(x)+/(0)20,故C正确；

对于D,若/⑴=g，令x=l,y=0,则/(1)+〃1)=2/(1>〃0),则/(0)=1,

故令x=y=l,则/(2)+/(。)=2,/(1),即/(2)+l=g,：J(2)=—

令x=2,y=l,则〃3)+/(1)=2〃2)"(1),即/(3)+3=_!:./(3)=_1,

令x=3,y=l,则/(4)+/(2)=2〃3)"(1),即/(4)—；=一1,，/(4)=一1，

令x=4,y=l,则/(5)+/⑶=2/(4)•/⑴，即/⑸-1=J(5)=；,

令x=5,y=l,则46)+/(4)=2"5)•/⑴，即〃6)—；=；,;./⑹=1,

令x=6,y=l,则/(7)+〃5)=2/(6)•/⑴，即〃7)+g=l,.,/X7)=；,

L

由此可得/(〃),"eN*的值有周期性，且6个为一周期，且

/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

20231

故»(〃)=337x"⑴+/⑵+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)]+/(1)=-,故D正确，

〃=12

故选：BCD

【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和特殊值以及求函数值的和的问题，涉及到导数问

题，综合性强，对思维能力要求高，解答的关键是利用赋值法确定/5),〃eN*的周期性.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.今天是星期四，经过7天后还是星期四，那么经过2弥3天后是.

【答案】星期五

【解析】

【分析】利用周期含义以及指数运算即可.

【详解】根据题意，周期为7,26063=8202'=(7+1)202',所以a606?除以7的余数为1,即

经过2班3天后，为星期五.

故答案为：星期五

14.单位圆中，A5为一条直径，为圆上两点且弦C。长为也，则而•丽取值

范围是•

［答案］一'!■一石，一

L22J

【解析】

［分析】由题设A(-1,O),B(l,0),C(cos6,sin(9),D(cos(^+120),sin(。+120°)),再根据

数量积坐标运算计算即可.

【详解】解：如图，由弦C。长为白，可得NCOD=120。，

不妨设A(-l,0),B(l,0),C(cos0,sin6),D(cos(6+120),sin(6+120°)j,

则4C=(cos0+\,sinO'),BD-(cos(6+120°)-1,sin(9+120°)j,

所以衣.丽=(cose+l)[cos(0+120°)—l]+sinesin(e+12()°)

(i出A(।A

=(cos0+l)——cos。一一^-sinO-l+sin。——sin®+-~•cos。

I22J122J

V3./)33

=------sin3——cos0——

222

=-V3sin(^+60°)-1e

一1-G,-g+G•

22J

一33

故答案为：一彳一6,-彳+\/5.

L22J

15.已知函数/(x)=d-2?+2x,则曲线y=/(x)经过点A(l,l)的切线方程是

【答案】x-y=0或3x—4y+l=0.

【解析】

【分析】设切点，然后求导函数，进而得到该点处的切线方程，再代入点4(1,1)即可.

【详解】设切点为卜，/一2一+2。,对y=/(x)求导得：

j(x)=3/-4x+2,...4=3厂一4r+2,

切线方程为：y-(尸一2广+2。=(3厂—4f+2)(x—,

切线过4(1,1),.・.1_(尸―2/+2。=(3/_射+2)(1_)

13

解之：r=一或1,所以斜率％或1,

24

又过A(l,l),

代入点斜式得切线方程为：3%-4丁+1=。或％-丫=0,

故答案为：x-y=O或3x-4y+l=0.

3*

16.设数列｛6,｝首项q=前〃项和为S“，且满足2a“+1+S“=3(〃eN),则满足

34S,,16

—<—<—的所有n的和为__________.

S33鹿1D

【答案】9

【解析】

【分析】根据4=〈二。c求出数列｛《,｝的通项，再根据等比数列的前〃项和公式

求出色，从而可得出答案.

【详解】解：由2a,川+S“=3,得2an+Sn_t=3(〃>2),

两式相减得2arl+i-2an+an=0(〃>2),

则%=g4("N2),

31

当〃=1时，2%+4=3,所以出=]=54，

所以数列｛4｝是以I为首项3为公比的等比数列，

所以15<2"<33，所以〃=4或5,

即所有〃的和为4+5=9.

故答案为：9.

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写

出文字说明、证明过程或演算步骤，只有答案没有过程的不能得分.

sinA

17.在△ABC中，记角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tanB=

2-cosA

(1)若tan8=4，求tanC的值:

2

(2)已知中线AM交BC于"，角平分线AN交BC于M且AM=3,例N=l,求△A8C

的面积.

【答案】(1)tanC=-2或tanC=2；

【解析】

3

【分析】(1)利用同角关系式可得sinA=1或sinA=l，然后利用和角公式即得；

(2)由题可得sinC=2sinB,利用角平分线定理及条件可得创I=3,CN=2,进而可

得4=工，b2=—,即得.

25

【小问1详解】

sinA

因为

2-cosA2

2sinA+cosA=2

所以《

sin2A+cos2A=1

3

解得sinA=二或sinA=1,

331

当sinA=一时，tanA=-,tanS=—,

542

31

---1---

所以tan（A+8）=—=2=-tanC,tanC=-2；

1—x

42

当sinA=1时，因为OvAv4,

所以A=工，又tan3=,，

22

所以tanC=2.

【小问2详解】

八sinA

tanB=----------，

2-cosA

sinBsinA小・八.八.八

------=-----------,2sinn-sinncosA4=sinAxcosB，

cosB2-cosA

/.2sinB=sinBcosA+sinAcos5=sin（A+B）,即sinC=2sinB，

c=2/?,

ARRNC

由角平分线定理可知，一=—二一=2,BN=2CN,又MN=1,BM=CM,

ACCNb

所以BM=3,CN=2,

1Ji

由A〃=-3C=3,可得A=—,

22

___7236

；・Zr+c?="=36,b~=—,

1136

所以S=—be=—2t0r=b~0=一.

225

18.已知数列｛q｝成等比数列，S“是其前w项的和，若5人1,5«+3，纵+2卜€河）成等差数

列.

(1)证明：%+H%+3，%+2成等差数列;

(2)比较S3+S3与25"的大小;

八11113n-l

(3)若q〉0,〃为大于1的奇数，证明：—+—+77+…•一+—>^—■

SiS2S3Sn2at

【答案】(1)证明见解析

⑵S；+]+S3>ZS"

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据等差中项得4=49=一；，。1+%+2=2。&+3即可；

ak+2,

(2)作差法比较即可；

13/iy,+1

(3)利用等比数列求和公式可得丁=表1-'/，然后进行求和即可得到答案

2+(-1)_

【小问1详解】

由题知,&+]+Sk+2=2Sk+3,

所以SHI+5从]+%+2=2(Sk+]+ak+2+4+3),

所以2%+3=-4+2>

所以公比4=4"=一〈，

所以ak+]+4+2=%+i2%+i•(一=2ak+3,

所以ak+l+ak+2~2%.+3，

所以4+1，%+3，处+2成等差数歹人得证

【小问2详解】

由(1)得S工+S3-2S3=s*+S工—2(S〃；S*+2)2=⑸二1+2」，

因为Sjt+1—SR+2=—4+2，0，

所以S；M+s工一2s3=(%![%1>0，

所以珠+S2>2S".

【小问3详解】

由(1)和题意得，

3](-1严

所以丁=

3”2q2"+(-1),,+,

所以

11113f11111)

23n-1

51S2S3S„2ali2'+12-12+12-12"+1J

3,1、/1、/1

=焉[(”/(]/…十(E2"+l)

QI

>———(q>0,〃=2k+1,&eN*).得证

2q

19.2020年，新冠病毒席卷全球，给世界各国带来了巨大的灾难面对疫情，我们伟大的祖

国以人民生命至上为最高政策出发点，统筹全国力量，上下一心，进行了一场艰苦的疫情

狙击战，控制住了疫情的蔓延并迅速开展相关研究工作.某医疗科学小组为了了解患有重

大基础疾病(如，糖尿病、高血压…)是否与更容易感染新冠病毒有关，他们对疫情中心

的人群进行了抽样调查，对其中50人的血液样本进行检验，数据如下表：

感染新冠病毒未感染新冠病毒合计

不患有重大基础疾病15

患有重大基础疾病25

合计30

(1)请填写2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为患有重大基础疾病更容易感染新冠

病毒；

(2)在抽样调查过程中，发现某样本小组5人中有1人感染新冠病毒，需要通过化验血液

来确定感染者，血液化验结果呈阳性即为感染者，呈阴性即未感染.下面是两种化验方

法：

方法一：逐一检验，直到检出感染者为止；

方法二：先取3人血液样本，混合在一起检验，如呈阳性则逐一检验，直到检出感染者为

止；如呈阴性，则检验剩余2人中任意1人血液样本.

①求方法一的化验次数大于方法二的化验次数的概率；

②用X表示方法二中化验的次数，求X的数学期望.

P（K』）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2

附：K=-----\：(adybc)------,其中n=a+b+c+ci.

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)

【答案】（1）填表见解析；有；（2）①一；②2.4（次）.

25

【解析】

25

【分析】（1）根据题中数据，完成列联表，计算/=一＞6.635,所以有99%的把握认

3

为患重大基础疾病更容易感染新冠病毒.

（2）①记4（，=1，2,3,4）表示依方法一需化验，次，鸟（j=2,3）表示依方法二需化验,

次，分别计算P（4）和尸（与），分析计算，即可得答案.

②X的可能取值为2,3,分别计算P（X=2）和尸（X=3）,代入公式，即可求得期望.

【详解】解：（1）列联表完成如下图

感染新冠病毒未感染新冠病毒合计

不患有重大基础疾病101525

患有重大基础疾病20525

合计302050

^2J0X(10X5-20X15)^25>6635

30x20x25x253

所以有99%的把握认为患重大基础疾病更容易感染新冠病毒.

（2）记4。=1,2,3,4）表示依方法一需化验i次，鸟。=2,3）表示依方法二需化验/次,

A表示方法一化验次数大于方法二的化验次数，

依题意知A3与约相互独立.

①P（4）=?,P（4）=gx；=:，尸（A）=gx%:=g,p（4）=；x%；=1

产（坊）=袅+品r=|，*员）=舞=:

由于4=3,82+4

所以

13213

P（A）=P（Afi2+A4）=P（AB2）+P（A4）=P（A）.P（B2）+P（A4）=-x-+-=-

n

即尸伊）=王

②X的可能取值为2,3.

P（X=2）=P（&）4+&=|,P（X=3）=P（4）=矍［

3212

所以EX=2X2+3XW=&=2.4（次）

555

【点睛】独立性检验一般步骤：（1）根据数据完成2x2列联表；（2）根据公式计算K?；

（3）查表比较K?与临界值的大小关系，作出判断.

20.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.

①丽•（可+而）=0；②PC=币;③点P在平面ABCZ）的射影在直线4。上.

如图，平面五边形以BCO中，△A4D是边长为2的等边三角形，AD//BC,

AB=2BC=2,AB1BC,将AQAD沿AO翻折成四棱锥P—ABCD,E是棱PD上

的动点（端点除外），F,M分别是AB,CE的中点，且______.

（1）求证：RW〃平面外。；

（2）当EF与平面孙。所成角最大时，求平面4CE与平面A8CD所成的锐二面角的余弦

值.

【答案】（1）证明见解析

（2）

17

【解析】

【分析】（1）取C。中点为G,可得MG〃ED,FG//AD,再由线面平行、面面平行

的判定定理可得答案；

（2）取A。为O,连接PO,FG,EG.

选择①：由丽•（身+而）=0得B4J_尸O,再由线面垂直的判定定理可得84,平面

PAD.

ArI

则NAEE即为EF与平面勿。所成的角，由tan/AEF=——=——,当AE最小时，

AEAE

NAE户最大，E为的中点，AE最小.

再求二面角余弦值：以点O为坐标原点，以OC为x轴，。。为y轴，OP为z轴，建立空

间直角坐标系，求出平面CAE的法向量和平面ABCD的法向量，再由二面角的向量求法可

得答案；

选择②：连接OC,可得84LPO,由线面垂直的判定定理可得84_L平面必。，则

ApI

NAEE即为E尸与平面勿。所成的角.由tanNAEF=——=—,得AE最小时，

AEAE

/AEE最大，

E为PD的中点，AE最小.

再求二面角余弦值

以点。为坐标原点，以OC为x轴，0。为），轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

求出平面CAE的法向量和平面A8CQ的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；

选择③：P在平面ABCD的射影在直线AD上，得平面平面A3CD,

由面面垂直的性质得5A_L平面PAD,4E五即为EF与平面外。所成的角，

A/71

tanZAEF=——=—,当AE最小时，/AE步最大，即E为PO中点，AE最小.

AEAE

再求二面角余弦值，

以点。为坐标原点，以。C为x轴，。。为y轴，。。为z轴，建立空间直角坐标系，

求出平面CAE的法向量和平面A8CD的法向量，再由二面角的向量求法可得答案.

【小问1详解】

取CC中点为G,连接MG,FG,

则MG,FG分别为三角形CDE,梯形A8CO的中位线，

：.MG//ED,FG//AD,

MGu平面M7VG,MG<Z平面Q4O,所以MG〃平面P4Z）,

同理，FG〃平面PAD,

•..MGC|FG=G,...平面MNG〃平面办。，

•/FMu平面MGF,：.FM〃平面PAD.

p

【小问2详解】

B乙'C

取AO为0,连接尸O,FG,EG,

选择①：

因为BA•（丽+丽）=0,PA+PD-=2PO-所以B&P0=O，即B4_LPO,

又B4LAD,AD^PO^O,所以6AJ_平面曲。，

连接AE,EF,所以/AEE即为EF与平面玄。所成的角，

4/71

因为tan/AEF=——=—,所以当AE最小时，NAEF最大,

AEAE

所以当AE_LPZ），即E为尸。的中点，AE最小，

下面求二面角余弦值，

,/BAu平面ABCD,...平面ABCD上平面PAD,

;平面ABCDJ■平面B4Q,平面ABCDc平面R4Z）=AZ）,

：PO_LAD,PO工平面ABC。，

以点。为坐标原点，以OC为X轴，0。为y轴，。尸为Z轴，

（1百）

建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0,—l,0）,E0,-,^-,C（2,0,0）,

（22）

所以立=0,-,^-,AC=（2,1,0）,

设平面CAE的法向量为加=（X］，x，zJ,

则治+¥马=&,令",得而=（；,-1,同，

2%,+y,=0I）

由题意可知：平面ABC。的法向量为3=（0,0,1）,

m-n2A/ST

所以cos（犯〃

所以平面ACE与平面阴。所成的锐二面角的余弦值为2亘.

17

选择②：

连接0C,则OC=A3=2,0P=6,

因为PC=J7，PC2=OP2+OC2>所以B4LPO,

又84_LAD,ADC\PO=O,所以区4,平面南。

连接AE,EF,所以—AEE即为E尸与平面以。所成的角，

AF1

因为tanNAEEu----=-----,所以当AE最小时，NAE尸最大,

AEAE

所以当A£_LP£>，即E为PD的中点，AE最小，

下面求二面角余弦值，

BAu平面ABCD,.,.平面ABC。1平面PAD,

•.•平面ABCD1平面平面ABCD/O平面E4£）=4）,

POLAD,：.PO1平面ABCD,

以点。为坐标原点，以OC为X轴，。。为），轴，OP为Z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

于是A（0,—l,0）,小，；，£|，C（2,0,0），所以荏=。，|，乎

AC=（2,1,0）,设平面CAE的法向量为〃z=（x，y,Z|）,

则弓凹+圣，令4=G得拓的t同

2%+y=°

由题意可知：

平面ABCD的法向量为n=（0,0,1）,

m・n_2V5T

所以cos（机，几

所以平面ACE与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为名画.

选择③：

因为点P在平面ABCD的射影在直线AD上，所以平面PAD，平面ABCD,

因为平面尸AOc平面ABCD=CD,。尸u平面以。AD1PO,

所以OPJ_平面4BCD,所以84J.PO.又B4LAD，ADQPO^O,

所以胡，平面PAD,

连接AE,EF,所以/AE尸即为EF与平面南。所成的角，

4/71

因为tan/AEF=——=—,所以当4E最小时，NAEF最大,

AEAE

所以当AE_LPD，即E为尸£>中点，4E最小.

下面求二面角余弦值，

BAu平面ABCD1...平面ABCD1平面PAD,

;平面ABCDC平面以。，平面ABCDc平面24£>=4）,