江苏省南通市2022-2023学年高三上学期12月联考调研测试数学试题含答案

江苏省南通市

2022—2023学年第一学期高三12月联考调研测试

数学试题

一、单项选算题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设全集U={1,2,345,6},集合M满足。。”;“节},则（▲）

A.2wMB.3wMC.4GMD.6史M

2.已知复数z满足匕=l+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（▲)

A.iB.1D.-1

3.在树C中，石=2而，则而=（▲)

3-

A.—CD——CAB.—CD+—CAC.3CD-2CAD.3CD+2CA

2222

4.将一个圆形纸片剪成两个扇形（没有多余角料），将它们分别卷曲粘贴成圆锥形状（重叠部

分忽略不计），若两个扇形的面积比为1:2,则两圆锥的高之比为（▲）

B.竽c2后6

A.y/2C・--------D.-

55

5.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点4（1,a）,5（2,5）,

且心―则cos2a=(▲)

A正22>/5

B.D.1

23~5~

6.设无为实数，若双曲线7匕2-如2=7的一个焦点坐标为（（）,_5）,则上的值为（▲）

A.—^2B.V2D.1

7.某同学研究如下数表时，发现其特点是每行每列都成等差数列,

在表中，数41出现的次数为（▲）

A.8B.9

C.10D.11

8.已知函数/（x）=（x-l）eX+m（xlnx+]--x）存在极大值点和极小值点，则实数所可以

取（▲）

37

B.——c-AD.----

2222

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

9.已知数列｛4｝的前〃项和S“满足S1,=-〃2+i3n+l(〃€Ar),则下列说法正确的是

(▲)

A.｛《,｝为等差数列B.a(=13

C.S,中，$6、S7最大D.｛4｝为递增数列

10.已知函数/(x)=sinx-acosx(x€/?)的最大值为2,/'弓)<。，则下列结论正确的是

(▲)

A.a=<73

B.f(x)在—-上单调递减

|_66

C.直线x=2是/(X)图像的一条对称轴

6

D.把f(x)的图象向左平移段个单位长度，得到的图象关于点(称,。)对称

II.已知/(天」)，8(七必)是圆O：，+必=1上两点，则下列结论正确的是(▲)

A.若点O到直线48的距离为卜则=

B.若&403的面积为且，则=工

43

C.若玉、2+必必=：,则点。到直线48的距离为正

22

D-|玉+乂一1|的最大值为Ji+L最小值为&一1

12.已知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,记g(x)=7'(x),

/(2x-l)+f(3-2x)=/(-2)，g(-l+3x)+g(-3x)=g(-，贝U(▲)

A./(4)=0B,g(2)=g(-l)

C.=°D.g(2022)=g(0)

三、填空JB:本题共4小题，每小题5分，共20分・

13.函数/(x)=2'+a2”,对任意实数x都有/(-x)+/(x)=O,则实数a的值为_/_.

14.若关于x的不等式a?-x+a40在区间［0,2］上有解，则实数a的取值范围是_A__.

15.一个圆台两个底面的直径分别为2、4,该圆台存在内切球，则该圆台的体积为▲.

16.已知抛物线C:/=2x，点/(2,2),。是坐标原点，4,3,M,N是抛物线C上的四个动点,

心%=&%=7,过点尸分别作的垂线，垂足分别为E,F,则点£、尸距

离的最大值为▲.

四、解答题；本题共6小JH,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步事，

17.筌为数列｛4｝的前〃项积，且一+亍=1.

(1)证明：数列花+1｝是等比数列；

(2)求｛勺｝的通项公式.

18.如图，在A4C8中，ZACB=-,ZCAB=-.AC=2,点M在线段4ff上.

23

733

⑴若cos/CM/工卫，求CM的长；

6.

⑵点N是线段CB上一点，MN=",且+=4+百，求证：S2M，=：SA"c

2

19.在一个袋子里有大小一样的6个小球，其中有4个红球和2个白球.

(I)现存基网地每次从中摸出1个球，连摸3次，设摸到红球的次数为X,求随机变量X的概

率分布及期望；

(2)现不放网地依次从中摸出1个球，连摸2次，求第二次摸出白球的概率；

(3)若每次任意取出1个球，记录颜色后放回袋中，直到取到两次红球就停止，设取球的次数

为Y,求丫=4的概率.

20.三棱台48C-44G的底面是正三角形，乂4,平面羽。，43=4,4片=2,

例=百,£是48的中点，平面4GE交平面ABC于直线/.

(I)求证：ACUix

(2)求直线片。与平面4G£所成角的正弦值.

21.设椭圆E』+A=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳(7,0),用(L0),点GQ,-令在椭展

a*b2

£±.

(1)求椭破£的方程：

(2)设点T在直线x=3上，过7的两条直线分别交E于两点和产,。两点，且

|以卜|ra|="卜四|,求直线48的斜率与直线PQ的斜率之和.

22.函数/(x)=aln(x+l)+x2-x.

(1)若曲线y=/(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围;

(2)设0<。<1,试探究函数f(x)的零点个数.

2022-2023学年第一学期高三12月学情调研测试

数学答案

l.C2.D3.A4.C5.B6.C7.A8.D

9.BC10.BCD11.AC12.ACD

y

13.-114.(-oo,-]15.14b兀16.2

23

17.(1)证明：由已知条件知Z,=4...ai!-\'an①

于是心=。「出也3,•…«„.1(«^2).②

由①②得3=%.③

（2分）

4-1

又土2"+'1=1④

Tn

（4分）

由③④得Tn=27；i+1,所以7；+1=2(7；,+1)

令〃=1,由7j=q,得（=3,，7；+1=4力0

所以数列｛,+1｝是以4为首项，2为公比的等比数列.-----------（6分）

（2）由（1）可得数列｛。+1｝是以4为首项，2为公比的等比数列.

（8分）

,,+1

时，2-1

法1：a„=^~

Ai-i2"-1

2,,+|-1

又4=7；=3符合上式，所以勺（10分）

2"-1

21

法2：将看=2田_1代回亮+2_=］得：4=（10分）

2"-1

anTn

在AC4M中,vcosZCAM=里：.sinZCAM=—

18.(1)66（1分）

AC-sin712x—

CM=----------_义=6.

sinZCMA百

CMAC

=6（5分）

由正弦定理得Sm^CAMsmACMA'则

（2）在ABMN中，MN=不,BM+BN=4+6

由余弦定理得：

MN2=BM2+BN2-IBM-BNcosNABC=(BM+BN)2-IBMBN(\+

即⑹=（4+厨一

2BM•BN-\1+

BM-BN=473（9分）

又SABMN=-BMB7Vsin-=-x4V3xl=V3SMBC=-x2x2V3=2V3

S&BMN=T^AABC

2....................................................................................................（12分）

19.（1）由题意分析x~B（3,|），X的可能值为0,1,2,3

所以P（X=O）=@=9p（x=i）=c；m

P（X=2）=4|）；J，P（X=3）=C；［|）*.----------------------------（4分）

分布列为：

X0123

1248

P

279927

E（X）=3x|=2-----------------------------------------------------------------------------------------（5分）

（2）记“第一次摸出红球”为事件A,“第一次摸出白球”为事件4,“第二次摸出白球”为事件

5,则P⑷=|,P⑷=；，P（AB）g|*P（48）=2寸

即第二次摸出白球的概率为：P（AB）+P（4B）=2+七=；-

（用古典概型公式同样给分）-------------------------------------------（9分）

（3）依题意，每次取到红球的概率为9=2,取到白球的概率为2=，

6363

y=4即是“前3次只有1次取到红球，其余2次取到白球，第4次取到红球”

...p（y=4）=C；x|x（qx|=^-.-----------------------------------------------------------------（12分）

20.（1）证法1：在三棱台ABC-44G中，AC〃AC1,

又平面平面则〃平面分）

AC<zA£E,4GUAGE,AC\C.E,------------------------（2

又ACu平面ABC,平面ABCn平面4GE=/，所以AC/〃.-------------------（5分）

证法2：在三棱台ABC—A4G中，AC〃AG，

又4clz平面ABC,ACu平面ABC,则AG//平面ABC,--------------------------（2分）

又4Gu平面AGE,平面ABCn平面AGE=/，所以4G/〃，

又AC〃AG，所以AC/〃.-----------------------------------------------------------------------（5分）

证法3：在三棱台ABC—AgG中，AC〃AG，平面45cli平面44G，

又平面A4Gn平面AGE=4G，平面ABCn平面A&E=/,所以AG〃/,

又AC//4G,所以AC///.------------------------------------------(5分)

(2)因为e_L平面ABC,在平面ABC内作ArLAC,以A为原点，分别为

y轴，z轴建立空间直角坐标系，5(273,2,0),E(V3,l,0),C(0,4,0),4(°，0，6)，

B,(V3,1.V3),C,(0,2,0),

4E=(6,1,-6)，而=(0,2,0),鸵=(-V3,3,一6)，

设平面AGE的一法向量为G=(x,y,z),则

n=6x+y-也z=b

•〃=2y=0

令光=1,则5=(1,0,1)...................(8分)

设直线用。与平面AGE所成角为仇

则sin0=|cos<B}C,n>|=〔'£,-2^.,\

\B,C\\n\5

所以，求直线4c与平面所成角的正弦值为巫.....................(12分)

21.(1)由已知椭圆的左、右焦点分别为6(-1,0),8(1,0),."=1,

a2-b2=c2=1(2

a=4A

方法一：由题意得〈13，解得1,2C，

-r+—7=1〔。~=3

.a4/r

椭圆E的方程为3+4=1；---------------------------------------(4分)

43

22

方法二：由2a=|A用+卜用=,(1+1)2+(_|)2+^(1-1)+(-|)=|+1=4,

则〃=2,又c=1,得A=退，

椭圆E的方程为《+?=1；---------------------------------------(4分)

43

(2)设7X3,t),AB:y-t=ki(x-3),PQ:y-t=k2(x-3)

y-t=k.(x-3),,,

由，，,消去y得：(3+46口2+瓯。-3勺)X+4Q—3K)2-12=0

3x+4y=12

设4内，弘),5(工2，%)，了1<3,工2<3,

8kl(t-3kl)-4(T)-2

由题意为+x=-,A,A-7—(6分)

23+%3+4#

从而|啊.|闽=Jl+将p—xlJl+rp-q

=(1+4)(3—%)(3—/)

—(1+k；)[9+XyX-,—3(X]+)J

二(1+•9+也什巴3^r1

3+%3+%

_(1+好)(4—+15)

―3+4"

(8分)

同理「「卜|70=a+M;：?曳，又窗，\TB\=\TP\-|712|

所以(1+6?=0+廿?,即攵；=片，又攵丰k

3+4代3+%''

故匕+k2=0.直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为零.-------------------(12分)

2x?+x—1+a

22.⑴1(x)=-------------,x>-l

x+]

由题意，存在xe(—l,+oo),使得/(幻=0---------------------------------(2分)

即关于x的方程2/+X-I+a=0在(-1,+00)上有实根,

该方程等价于a=—2f—x+1,

9

则。的取值范围是函数y=-2/—x+i,xe(-1,+8)的值域，值域为(一8,-],

8

9

所以，。的取值范围是(-00,—].---------------------------------------------(4分)

8

11

(2)设g(x)=+X-1+。，对称轴工=—