江苏省淮安市2021-2022学年高二下学期期末数学试题含解析

淮安市2021—2022学年度高二第二学期期末调研测试

数学试题

注意事项：

考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求

1.本试卷共4页，包括单项选择题（第1题一第8题）、多项选择题（第9题一第12题）、

填空题（第13题一第16题）、解答题（第17题一第22题）四部分.本试卷满分为150

分，考试时间为120分钟.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答

题卡的规定位置上.

3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，必须用0.5毫米黑色墨水的

签字笔将答案写在答题卡的指定位置上，写在本试卷上无效，

4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗.考试结束后，请将试卷

与答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（一一彳门的展开式中含炉项的系数为（）

A.-1B.-5C.1D.5

【答案】A

【解析】

【分析】由二项展开式的通项求解即可.

52r

（详解】（--x）的展开式的通项为7；+1=C；'（x厂（—X）'=（T）'C；•x'°-,

令10-「=5,解得厂=5,则（=—R故含炉项的系数为T.

故选：A.

2.己知集合N均为R的子集，且（QM）CN=0,则MN=（）

A.0B.MC.ND.R

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，结合韦恩图可得NqM,再利用交集的定义求解作答.

且第一组数据的线性相关性较第四组强，则乙>〃>0,

第二组数据的线性相关性较第三组强，贝！I同>同且与<0，4<0,则弓<4<0.

因此:，r2<r3<0<^<^.

故选：C.

5.某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c近似服从N（90,o-2）,若P（9（）Wc495）=0.3,则可

估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（）

A.5B.10C.15D.30

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得正态分布曲线的对称轴，再由已知条件结合对称性求得P（C<85）,即可求得该班体

能测试成绩低于85分的人数.

【详解】由c近似服从N（90,cr2）,可知正态分布曲线的对称轴为〃=90,

则P（85<c<90）=P（90<c<95）=0.3,

所以P（c<85）=g□-2尸（90<c<95）］=0.2,

则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为50x0.2=10人，

故选：B.

6.已知随机变量X满足E（2—2X）=4,0（2—2X）=4,下列说法正确的是（）

A.E（X）=-1,Z）（X）=-1B.E（X）=1,Z）（X）=1

C.E（X）=-1,D（X）=4D.E（X）=-1,Z）（X）=1

【答案】D

【解析】

【分析】根据方差和期望的性质即可求解.

【详解】根据方差和期望的性质可得：£（2—2X）=-2E（X）+2=4n£（X）=-l,

0（2-2X）=4O（X）=4nO（X）=l,

故选：D

7.已知函数y(x)=,卜曰,函数/(x)=/(x)—z?有四个不同的零点小演，七，/，且

IXrI1,,VZ

满足：须＜々＜工3＜%，则下列结论中不正确的是()

A.O<Z?<1B.1<x<1

3C.西+%2=-4D.忍・14

【答案】B

【解析】

【分析】作出函数/(x)图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.

【详解】函数F(x)=/(x)-。的四个不同的零点均，4，£，&，就是函数y=/(x)与y=b两个图

象四个交点的横坐标，

作出函数y=/(x)的图象，

由图象可知0＜匕41,故A正确；

由|1083才=1,可得x=g或x=3,结合图象可知：4七＜1，故B错误；

根据二次函数的性质和图象得出七玉=一2,所以西+々=—4,故C正确；

又|隆3'=|log3x/,Klog3x3＜0,log3x4＞0,

所以-log?X3=log3%,即log3x,+log3x4=log3(x,•%)=0,

所以七・％4=1,故D正确.

故选：B.

8.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABC。为正方形，B4_L平面43cdPA=AB^M为PC上一动

点，PM=tPC,若为钝角，则实数f可能为（）

Dl

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用即可求解.

【详解】分别以AB、AD>/止为x轴，>轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

人

设PA=1，M(x,y,z),故P(O,O,1),C(l,l,O),PM=(x,y,z—l),FC=(1,1,-1),

x-t

由PM=，PC可知，，y=，，即

z-1=T

又因为NBA/。为钝角，所以

由8。,0,0),。(0,1,0),可知加8=(1—,-"-1),=

M5MD=-r(l-f)-r(l-r)+(r-l)2<0,整理得3/一4r+l<0,

解得—<r<1,

3

故选：D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列随机变量中属于离散型随机变量的是（）

A.某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X

B.测量一个年级所有学生的体重，在60依~70奴之间的体重记为X

C.测量全校所有同学的身高，在170c,"~175c机之间的人数记为X

D.一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X

【答案】AC

【解析】

【分析】根据离散型随机变量的定义知，离散型随机变量是可以列举的；连续型随机变量

不能一一列举。

【详解】电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确；

体重无法一一列举，选项B不正确；

人数可以列举，选项C正确；

数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量；选项D不正确；

故选AC.

10.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只

能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）

A.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种

B.如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有25种

C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种

D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种

【答案】ABC

【解析】

【分析】求得社区A必须有同学选择的方法数判断选项A；求得同学甲必须选择社区A的方法数判断选

项B；求得三名同学选择的社区各不相同的安排方法数判断选项C；求得甲、乙两名同学必须在同一个社

区的安排方法数判断选项D.

详解】安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动，

选项A：如果社区A必须有同学选择，

则不同的安排方法有5,-43=61（种）.判断正确;

选项B：如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有5z=25（种）.判断正确；

选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，

则不同的安排方法共有5x4x3=60（种）.判断正确；

选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，

再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，

则不同的安排方法共有5+5?425（种）.判断错误.

故选：ABC

11.对于函数〃x）=F。，下列说法正确的有（）

2Txi

A./（x）在其定义域上偶函数

B./（x）在2,0）上单调递减，在（0,2）。（2,+8）上单调递增

C./（X）值域为（-00,-1）50,+8）

D./（x）W1有解集为（F,—2）u[-l,l]u（2,+8）

【答案】AD

【解析】

【分析】分段函数需要考虑定义域的范围，对于含有绝对值的简单的分段函数，可以先判断奇偶性再画

图像更容易.

【详解】画出函数=图像，如图，

2-x

/(-x)=±±=7+=/(x)，为偶函数,关于y轴对称,所以A正确；

/(X)在x>0时的函数图像不是连续递增，所以B不正确；

当x=0时，代入函数得/(0)=0,所以C不正确；

当/(x)=l时，代入得尤=-1或x=l,结合图像可知，选项D正确.

故选：AD.

12.将边长为近的正方形ABCQ沿8。折成如图所示的直二面角4一3。一。，对角线8。的中点为0,

下列说法正确的有()

A.AC=V2B.AB1CD

n

C.二面角A—BC—O的正切值为血D.点B到平面AC。的距离为三

【答案】AC

【解析】

【分析】由面面垂直可得线面垂直，进而得线线垂直，根据勾股定理即可求解A,假设AB_LCD,进而

得到矛盾，即可判断B,根据二面角的几何求法即可求解C,根据等体积法即可判断D.

【详解】因为平面平面BC。,其交线为3。，且故。。_L平面所以

。。_1_49,由。。=40=(6。=1,所以4。=&，故人正确，

假若又因为则ABJ_平面AC。,进而ABJ.AC,而48=4。=3。=0这与

ABJ_CD矛盾，故ABJ_C£>不可能成立，故B错误，

取8c中点为E,连接。区AE,因为OE_L5C,AO，平面诙,故可得AO±3C,进而可得，平

面AOE,因此BC_LAE,故NAEO为二面角A—3C—。的平面角,

=色」=应

tanZAEO=—:

EO1C£)&，故C正确.

2T

@An-BCCDAOoG

>sACD%=S--------二*，故D错误.

^B-ACD=匕一BCD=

dACD-CD-ADsin60

2

故选：AC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.甲、乙、丙三名同学竞选班长、团支书、学习委员三个职位，每人只竞选一个职位，设事件A为“三

人竞选职位都不同”，B为"甲独自竞选一个职位”，则P(A|B)=.

【答案】g##0.5

【解析】

【分析】先求出事件8发生的概率和事件A事件B共同发生的概率，利用条件概率公式即可求出.

【详解】由题三名同学竞选三个职位，共有3x3*3=27种情况，

其中事件8的情况有3x2x2=12种，

事件A和事件B共同发生的情况有3x2x1=6种，

所以P(B)=二=入,P(AB)----

279279

所以小加篇H.

故答案为：7.

14.甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，每局比赛没有平局且相互独立，每局比赛甲胜的概率为p,若比赛

最大的项为

【答案】①.6②.96第，(或第六项)

【解析】

【分析】根据题意得到CJ+C：+C：=22,即可求得〃的值；利用展开式的通项，设展开式的第Z+1项

的系数最大，列出不等式组，进而求得展开式中系数最大的项.

【详解】由题意可得C：+C：+C；=l+/+4(2=22且“eN*，

解得〃=6,

(1A61

二二项式一+2尤=(-)6(1+4X)6.

12)2

则(1+4x)6展开式的通项为&]=晨(4x)，=C》中£,

Ck.4">C*T.41

设展开式的第4+1项的系数最大，则6~L,.，

C*-4*>Cg-4A1

解得4.6WZW5.6,所以后=5,

所以展开式中系数最大的项为7；=(；)6<：・45工5=96/.

故答案为：6；96x5•

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知非空集合A={x|m-lWxW3加-2},.①函数/(x)=J12+x—f的定义域

2

为集合8②不等式——<1的解集为艮试从以上两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并解答.

x-1

(1)当加=3时，求A|J3；

(2)若AB=Af求实数机的取值范围.

【答案】⑴选①Au3=[—3,7]；选②Au3=(y,l)u[2,+力)；

⑵选①；，2；选②；，l)u[4,+力).

【解析】

【分析】(1)由题可求出集合A3,然后利用并集的定义运算即得；

(2)由题可得A=然后利用集合关系列出不等式组，即得.

【小问1详解】

若选①：当/%=3时，A=[2,7],

B={X|12+X-X2>0),解得3=[_3,4],

则AD8=[-3,7]；

若选②：当加=3时，A=[2,7],

B=,解得3=(-OO,1)U[3,+8)

则AuB=(-oo,l)u[2,+<»)；

【小问2详解】

若选①：因为AB=A,

所以A=3,

m-\<3m-2

因为Aw0,所以<m-l>-3,

3m-2<4

解得,4机42,

2

所以，"的取值范围为；,2；

若选②：因为A3=A,

所以A=

m-\<3m-2m-\<3m-2

因为A*0,所以《，、或，

m-l>33m-2<1

解得加G；』[u[4,+e),

所以，”的取值范围为(,l]u[4,+e).

18.已知函数/(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=10g2x-l.

(1)求/(x)的解析式；

(2)解不等式犷(工)20.

log2x-l,x>0

【答案】(1)〃X)=«O,X=O

l-log2(-%),%<0

(2)(-OO,-2]u{o}u[2,+OO)

【解析】

【分析1(1)设尤<0,则一x>0,带入解析式，再利用奇函数的性质，即可求解.

(2)根据(1)的解析式，分段求解，即可.

【小问1详解】

设x<0,则一x>0,/(-x)=log2(-x)-1=-/(%),贝U/(x)=l-log2(-x)

因为/'(x)为定义在R上的奇函数，所以x=0时/(x)=0

log2x-l,x>0

综上/(x)=<O,X=O

l-log2(-x),x<0

【小问2详解】

当x>0时，M"(x)2()即/(x)20,1(唱2》一120,解得xw[2,+00).

当x=0时，4(力=0符合题意；

当x<0时，V(x)20即/(x)K0，l-log2(-x)W0,解得xw(-°°，-2]

综上，不等式4(x)2。的解集为(一»,—2]。{0}32,小).

19.(1)用二项式定理求3僧除以5的余数；

(2)某小组有8人，从中选择4人参加活动，有两种选法：第一种：直接选4人，有C：种选法.第二

利-如果该组的组长参加活动，则从剩余的7人中选3人，有C；种选法；如果该组的组长不参加活动,

则从剩余的7人中选4人，有C；种选法.因为这两种选法的效果是一致的，所以我们可以得到一个等

式：C：=C；+C；.试将这种情形推广：从“+1个元素中选择胆个元素的不同选法得到的等式

是,并以此求解：C；+C；+C；++C；.(用数字作答).

【答案】(1)4；(2)C3=C；+C：T,84.

【解析】

【分析】(1)利用二项式定理展开式即可求解整除问题；

(2)利用类比推理及组合数的性质即可求解.

【详解】(1)因为3i°=95=(10—1)5=XIO3X(-1)°+C；X104X(-1)'++C^xl()x(-1)4

+C；xlO°x(-l)5.在展开式中，前5项均可以被5整除，最后一项为-1,因此除以5的余数为4.

⑵类比引例方法可得C™.=C：+c™-'.

所以C；+C；+C；++C；=C；+C；+C；++C；=C：+C：++C；

=C；=84.

20.某校成立了生物兴趣小组，该兴趣小组为了探究一定范围内的温度x与就豆种子发芽数y之间的关

联，在5月份进行了为期一周的实验，实验数据如下表：

日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

温度20212315251719

发芽数y个25273019312122

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中任选5组数据建立y关于x的线性回归方程，并用该方

程对剩下的2组数据进行检验.

(1)若选取的是星期一、二、三、六、日这5天的数据，则求出y关于x的线性回归方程；

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归

方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为3=上七------------,a=y-b-x.

ta--元了

/=!

Q

【答案】(1)y=-x-7

(2)可靠

【解析】

【分析】(1)根据题中给出的数据，结合回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式计算即可求解；

(2)将星期四、五两天的数据代入线性回归方程，验证误差是否不超过2,即可得出结论.

【小问1详解】

解：由数据得±=2(),亨=25.

55

因为E(x二君(V-2=32,Za一元尸=20，

/=1/=1

5

E(%—初力一刃8

所以------------=!.

£(—)2

i=l

QQ

所以3=9一1H=25—2x20=—7.

Q

所以y关于x的线性回归方程为》=^^一7.

【小问2详解】

Q

解：由(1)知，y关于x的线性回归方程为5=gX-7.

Q

当x=15时，^=|xl5-7=17,|19-17|<2.

Q

当x=25时，5>=]x25—7=33,|33-31|<2.

Q

所以，所得到的线性回归方程》=1X-7是可靠的.

21.疫情过后，百业复苏，某餐饮店推出了“三红免单”系列促销活动，为了增加活动的趣味性与挑战

性，顾客可以从装有3个红球、7个白球的袋子中摸球参与活动，商家提供A、8两种活动规则：规则

A：顾客一次性从袋子中摸出3个球，如果3个球都是红球，则本次消费免单；如果摸出的3个球中有2

个红球，则获得价值200元的优惠券；如果摸出的3个球中有1个红球，则获得价值100元的优惠券；如

果摸出的3个球中没有红球，则不享受优惠.规则8：顾客分3次从袋子中摸球，每次摸出1只球记下颜

色后放回，按照3次摸出的球的颜色计算中奖，中奖优惠方案和规则A相同.

(1)某顾客计划消费300元，若选择规则A参与活动，求该顾客参加活动后的消费期望；

(2)若顾客计划消费300元，则选择哪种规则参与活动更加划算？试说明理由.

【答案】(1)200元

(2)A、8都一样，理由见解析

【解析】

【分析】(1)记顾客按照规则A参加活动后消费金额为X,则X可取0、100、200、300,计算出随

机变量X在不同取值下的概率，进而可求得E(X)的值；

(2)记顾客按照规则8参加活动后消费金额为y,则y可取o、100、200、300,计算出随机变量x

在不同取值下的概率，求出£(丫)的值，比较E(X)、E(y)的大小，可得出结论.

小问1详解】

解：记顾客按照规则A参加活动后消费金额为X，则X可取0、10（）、200、300,

C31C2C]?1

P（X=O）=W=-!-,尸（x=ioo）=*=3,

\）Co1201'Co120

P（X=200）=^-=—,P（X=300）=-^=—.

17C：。1201）C：。120

1r\i/2QC

则该顾客消费期望E（X）=Ox志+100x^+200x^+300x^=210.

答：该顾客参加活动后消费期望为210元.

【小问2详解】

解：记顾客按照规则8参加活动后消费金额为y,则y可取0、100、200、300,

p（y=0）=0.33=0.027,P（r=100）=Cj-0.32-0.7=0.189,

P（Y=200）=C；-0.3-0.72=0.441,P[Y=300）=0.73=0.343.

该顾客消费期望£（丫）=0x0.027+100x0.189+200x0.441+300x0.343=210.

按照规则B参加活动的期望与按照规则A的期望一致.

因此选择规则A、5都一样.