江苏省高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2020年江苏省高考数学试卷

一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.（5分）已知集合人={-1,0,1,2},B={0,2,3},则A，B=.

2.（5分）已知i是虚数单位，则复数z=（l+i）（2-i）的实部是.

3.（5分）已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是.

4.（5分）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.

5.（5分）如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2,则输入x的值是—.

6.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线£-二=13>0）的一条渐近线方程为y=则该双曲

a"52

线的离心率是—.

2

7.（5分）已知>二/（%）是奇函数，当"0时，/（用="，则/（-8）的值是.

8.（5分）已知sirf2（三+a）=2,则sin2a的值是.

43

9.（5分）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为

3

2cm,高为2CT?7,内孔半径为0.5CTH,则此六角螺帽毛坯的体积是cm.

10.（5分）将函数y=3sin（2x+2）的图象向右平移工个单位长度，则平移后的图象中与>轴最近的对称轴

46

的方程是.

11.(5分)设｛a,,｝是公差为d的等差数列，｛2｝是公比为q的等比数列.已知数列伍,,+么｝的前八项和

2

Sn=n-n+2"-1（〃eN*）,则d+q的值是.

12.（5分）已知5fy2+;/=l（x,yeR）,则+的最小值是.

13.（5分）在AABC中，AB=4,AC=3,ABAC=90°,。在边8C上，延长4）到P,使得加若

PA=mPB+（--m）PC（m为常数），则8的长度是.

14.(5分)在平面直角坐标系xOy中，已知P(g,O),A,3是圆C:x?+(y-g)2=36上的两个动点，满

足PA=PB,则面积的最大值是.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.

15.(14分)在三棱柱A8C-AAG中，ABLAC,gC_L平面ABC,E,尸分别是AC,8c的中点.

(1)求证：所//平面486；

(2)求证：平面AB|C_L平面.

EC

B

16.(14分)在AA3C中，角A、B、C的对边分别为。、b、c.已知a=3,c=0,8=45。.

(1)求sinC的值；

(2)在边8C上取一点O,使得cosZA£>C=-3,求tanNAAC的值.

5

17.（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线上，桥

与平行，0（7为铅垂线（O在相上）.经测量，左侧曲线AO上任一点。到MN的距离4（米）

与。到00,的距离a（米）之间满足关系式九=’-/；右侧曲线80上任一点尸到MN的距离心（米）与尸

到0（7的距离b（米）之间满足关系式九=-一［一）3+66.已知点3到的距离为40米.

）800

（1）求桥的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF,且CE为80米，其中C,“在AB上（不包括端

点）.桥墩£F每米造价人（万元），桥墩8每米造价gk（万元）依＞0）,问。E为多少米时，桥墩CD与

所的总造价最低？

18.（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:曰+?=1的左、右焦点分别为耳、々，点A在椭圆

E上且在第一象限内，AF2LF,F2,直线4月与椭圆E相交于另一点5.

（1）求△46用的周长；

（2）在x轴上任取一点P,直线公与椭圆E的右准线相交于点Q,求OP-QP的最小值；

（3）设点M在椭圆E上，记与AM45的面积分别为S2,若$2=3耳，求点M的坐标.

19.(16分)己知关于工的函数y=/(x),y=g(x)与/i(x)=丘+仇女"£R)在区间。上恒有[⑴廊(幻g(x).

(1)若/(尤)=12+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-oo,+oo),求/?(x)的表达式；

(2)若/(x)=f-x+i,g(x)=klnx,h(x)=kx-k,D=(0,+oo),求&的取值范围;

(3)若/(x)=-2/，^(x)=4x2-8,/z(x)=4(r3-r)x-3/4+2/2(0<|/|„V2),。=[九川u[-血,0],求

证：〃一"%,J7.

20.（16分）已知数列｛4｝（〃€N*）的首项4=1,前”项和为S,,.设2和％为常数，若对一切正整数"，均

有S“,j-sj=2a“j成立，则称此数列为“九一4”数列.

（1）若等差数列｛4｝是“"1”数列，求2的值；

（2）若数列｛4｝是“弓-2”数列，且可>0,求数列的通项公式；

（3）对于给定的2,是否存在三个不同的数列｛6｝为“2-3”数列，且为..0?若存在，求出;1的取值范

围；若不存在，说明理由.

【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作

答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.［选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分

10分）

21.（10分）平面上的点A（2,-1）在矩阵M|对应的变换作用下得到点8（3,-4）.

-1b

（1）求实数a,6的值；

（2）求矩阵”的逆矩阵ML

B.［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）

22.（10分）在极坐标系中，已知4月,马在直线/：0cos6=2上，点80，马在圆C:夕=4sin6上（其中

36

p..O,0„0<2兀）.

（1）求Pi，0?的值；

（2）求出直线/与圆C的公共点的极坐标.

C［选修4・5：不等式选讲］（本小题满分0分）

23.设xwR,解不等式2|工+1|+|%|<4.

【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.

24.（10分）在三棱锥A-BCD中，已知CB=C£）=6,BD=2,O为皮）的中点，AOJ_平面BCD,AO=2,

E为AC中点.

（1）求直线AB与AE所成角的余弦值；

（2）若点尸在上，满足设二面角/一£>£-C的大小为6,求sin。的值.

25.（10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个

球交换放入另一口袋，重复"次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X,,,恰有2个黑球的概率为几，恰有

1个黑球的概率为久.

（1）求Pi,1和P2,q2;

（2）求2Pli+必与2P“J3的递推关系式和X.的数学期望夙X,）（用”表示）.

2020年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.(5分)已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},则AB=_{0J_2}_.

【解析】集合B={0,2,3},A={-1,0,1,2},则A8={0,2},故答案为：{0,2}.

【评注】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题.

2.(5分)已知i是虚数单位，则复数z=+的实部是3.

【解析】复数z=(l+i)(2-i)=3+i,所以复数z=(l+i)(2-i)的实部是：3.故答案为：3.

【评注】本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考查.

3.(5分)己知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则°的值是2.

【解析】一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则4+2a+(3-a)+5+6=4x5,解得a=2.

故答案为：2.

【评注】本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

4.(5分)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是-.

一9一

【解析】一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6x6=36种，而点数和为5的

事件为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种，则点数和为5的概率为尸=巴=，.故答案为：

3699

【评注】本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题.

5.(5分)如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2,则输入x的值是_-3_.

【解析】由题意可得程序框图表达式为分段函数y=

［工+1,工，0

若输出y值为-2时，由于2*>0,所以解x+l=-2,即x=—3,故答案为：-3,

【评注】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是

基础题.

6.(5分)在平面直角坐标系X。)，中，若双曲线金=l(a>0)的一条渐近线方程为y=则该双曲

a52

线的离心率是-.

-2-

【解析】双曲线]一£=1(。>0)的一条渐近线方程为y=可得且=且,所以〃=2,

a"52al

所以双曲线的离心率为：e=£=3H=3,故答案为：2.

a222

【评注】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查.

2

7.(5分)已知y=/(x)是奇函数，当"0时，/(x)=/,则/(-8)的值是_T_.

22

【解析】y=/(x)是奇函数,可得/(一力=一/(力,当x..O时，/(%)=%3,可得/'(8)=83=4,

则八一8)=—/(8)=-4,故答案为：-4.

【评注】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

jrO1

8.(5分)己知sin2(——na)=—,则sin2a的值是一_.

43-3-

冗

ry1—COS(--l~2a)[4.•*7*71

【解析】因为sin?(2+a)=4,则sin“工+a)=------2------=S，^=-,解得sin2a=±,

4342233

故答案为：-

3

【评注】本题考查了二倍角公式，属于基础题.

9.(5分)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为

2cm,高为2C〃2,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是_12x/3-y_cni1.

【解析】六棱柱的体积为：6x1x2x2xsin60°x2=12^,圆柱的体积为：^x(0.5)2x2=y,

所以此六角螺帽毛坯的体积是：故答案为：12&-

【评注】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基本知识的考查.

10.(5分)将函数y=3sin(2x+^)的图象向右平移工个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴

46

的方程是%=--.

-24—

【解析】因为函数y=3sin(2x+e)的图象向右平移生个单位长度可得

46

g(x)=/(x-^)=3sin(2x+=3sin(2xf则V=g(x)的对称轴为2%一木=]+%乃，keZ,

BPx=—+—,k&Z,当％=0时，x=—,当A=—1时，x=-—,

2422424

所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=-W,故答案为：%=,

•2424

【评注】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题.

11.(5分)设｛《｝是公差为”的等差数列，｛〃,｝是公比为夕的等比数列.已知数列｛4+"｝的前〃项和

S“=〃2-〃+2"-l(〃eN*),则d+a的值是4.

【解析】因为｛4+瓦｝的前〃项和S“=/一〃+2"—1(〃GN*),

因为｛4｝是公差为d的等差数列，设首项为4；｛5｝是公比为g的等比数列，设首项为4，

所以｛4｝的通项公式为=4+(〃一l)d,所以其前〃项和4="4+4；("-1)由=3“2+(%一*,

当｛2｝中，当公比4=1时，其前〃项和4=由，

22

所以｛”"+么｝的前〃项和5“=5“+5,,=n+(a,-^)n+nb｝=n-n+2"-l(neN*),显然没有出现2",所

以夕w1,

则g,,｝的前〃项和为s〃，M'T)二ML二,

q-\q-\q-\

2

所以S“=S,+Sh=-«+(a--)n+-^——^-=“2_“+2”_l(〃eN*),

'-22q-\q-\

-=1

2

d,

Cl,=—I-.

由两边对应项相等可得：,2解得：d=2,4=0,q=2,e=1,所以d+q=4,故答案为：4

4=2

【评注】本题考查等差数列及等比数列的综合及由前〃项和求通项的性质，属于中档题.

12.(5分)已知聂之丁+y川。,3^/?),则f+V的最小值是

【解析】法一：^5x2y2+y4=l,可得f=上?,由fo,可得＞2G(。川,

则J+yJ-：,,+y2J+4；\=J(4y2+4y2，=弓,当且仅当y2=J_,2_,

5/5/5-y25\'y252=10

可得f+y?的最小值为3；

5

法二：4=(5*2+y2).4,2”(5"±;±4))2=+y2)2,故f十尸…已，当且仅当+>2=-2=2,即

4

23时取得等号，可得丁+丫2的最小值为士.故答案为:

y=~,5-

2105

【评注】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题.

13.(5分)在AABC中，AB=4,AC=3,ABAC=90°,D在边BC上，延长AD到P,使得4a=9.若

PA=mPB+(^-m)PC为常数)，则8的长度是0或曳.

【解析】如图，以A为坐标原点，分别以AB,AC所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系，则8(4,0),

C(0,3),由=+PA=m(PA+AB)+(--m)(PA+AC),

22

整理得：PA=-2mAB+(2w-3)AC=-2/M(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6w-9).

77

由A尸=9,得64〃+(6〃z-9>=81,解得加=——或加=0.

25

当帆=0时，PA=(0,-9),此时C与。重合，|CO|=0;

当相=至时，直线R4的方程为卜="%x,直线8C的方程为2+上=1,

258m43

联立两直线方程可得x=.,y=3-2m.BP£>(—,—),

32525

故答案为：0或身.

5

【评注】本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题.

14.（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P（苧,0）,A,8是圆C:d+（y-；）2=36上的两个动点，满

足PA=PB,则面积的最大值是_106_.

【解析】圆C:x2+（y—g）2=36的圆心C（0,；）,半径为6,如图，

作PC所在直径EF,交回于点O,

因为E4=P3,CA=CB=R=6,所以PCLAB,EF为垂径,要使面积鼠幽y最大，则P,。位于C的两

侧，并设8=x,可得PC=、口+』=1,故PD=l+x,AB=2BD=2436-£,

V44

$"猛=^lAB|-|P£)|=(1+X)V36-X2,0cx<6,

法一：可令x=6cos，，S1yMs=(1+6cos6)•6sin6=6sin6+18sin26,0<，„

设函数f(0)=6sin0+18sin20,0<“，,/((0)=6cos0+36cos2^=6(12cos20+cos0-6),

由广(。)=6(12cos?，+cos。-6)=0,解得cos〃=*(cos0=一巳<0舍去)，

34

显然，当a,cos〃<(,r(e)<o,/(。)递减；当(<coso<i时，r(e)>o,八。)递增，

结合cos。在(0,/)递减，故coseng时，/(0)最大，此时sin8=Jl-cos1。=*,

故/(〃)“■“=6x*+36x或x|=106，则A/VLB面积的最大值为10百.

2

法二：S^AB=^\AB\-\PD\=(l+x)yl36-x,0<x<6,设"=(*+1)“36-/)，0<x<6,可得

M=-2(x+l)(2x+9)(x-4),当4cx<6时，u'<0,函数w递减；当0cx<4时，u'>0,函数“递增，

所以函数"在x=4处取得最大值500,即有APAB面积的最大值为10石.故答案为：10石.

【评注】本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的

运用：求单调性和最值，属于中档题.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.

15.(14分)在三棱柱ABC-ABC中，ABYAC,8cl•平面ABC,E,F分别是AC,8c的中点.

(1)求证：EF//平面ABG；

(2)求证：平面ABCJL平面ABB一

［解析】证明：(1)E,F分别是AC,BC的中点.所以EF//A耳，因为EFC平面ABg，u平面ASg,

所以EF//平面ABG；

(2)因为BC1•平面钻。，ABu平面ABC,所以及。，48,又因为AB_LAC,ACBXC=C,ACu平

面A3C，qCu平面AB。，所以他，平面A8,C,因为A3u平面ABq,所以平面ABQJ•平面43片.

【评注】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的

判断定理的应用，是中档题.

16.(14分)在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=3,c=0,B=45°.

(1)求sinC的值；

(2)在边3c上取一点。，使得cosZADC=-3,求tanN/MC的值.

BDC

【解析】（1）因为a=3,c=>/2,B=45°.,由余弦定理可得：

b=\/a2+c2-2accosB=^9+2-2x3xV2x=也,

由正弦定理可得一£—=」一，所以sinC=£・sin45o=坐.立=好，所以sinC=Y^；

sinCsinBbyJ5255

4i------------3

(2)因为cosNADC=-―，所以sinNA£>C=Jl—c32NAOC=二，

55

在三角形ADC中，易知。为锐角，由(1)可得8sC=ViZy^=亭，

2/s

所以在三角形ADC中，sinADAC=sin(ZADC+ZC)=sinZADCcosZC+cosZADCsinZC=,

25

因为ZDACe(0,2),所以cos"AC=dl-sin2NDAC=，所以tan/ZMC=竺乌蛆=2.

225cos"AC11

【评注】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题.

17.（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN上，桥

与平行，OO,为铅垂线（＜7在回上）.经测量，左侧曲线AO上任一点。到MN的距离片（米）

与。到0（7的距离。（米）之间满足关系式4=-!-/;右侧曲线30上任一点尸到MN的距离儿（米）与F

到067的距离8（米）之间满足关系式包=-一!一Z/+66.已知点8到。。的距离为40米.

z800

（1）求桥AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和砂，且CE为80米，其中C,“在AB上（不包括端

点）.桥墩防每米造价k（万元），桥墩8每米造价（万元）（左＞0）,问。E为多少米时，桥墩CD与

即的总造价最低？

【解析】（1）〃=一一二力+66,点5至DOO的距离为40米，可令6=40,可得力=--Lx40'+6x40=160,

'800-800

即为|0'0|=160,由题意可设％=160,由右/=16（）,解得a=80,则|阴=80+40=120米；

(2)可设OE=x,则。。=80-％,由八八，可得0vxv40,

[0<80-x<80

311k

总造价为y=；和60-g(80-x)2]+如60-(6x-砺V)]=砺(x3-30x2+160x800),

k%k

y'=-—(3X2-60X)=--x(x-20),由％>0,当0cx<20时，/<0,函数y递减；

800800

当20Vx<40时，y>0,函数y递增，所以当x=20时，y取得最小值，即总造价最低.

答：(1)桥|4例长为120米；(2)(7E为20米时，桥墩8与跖的总造价最低.

【评注】本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决

问题的能力，属于中档题.

22

18.(16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:3+《=l的左、右焦点分别为广、鸟，点A在椭圆

E上且在第一象限内，AF2rFtF2,直线与椭圆E相交于另一点3.

(1)求用的周长；

(2)在x轴上任取一点尸，直线与椭圆E的右准线相交于点Q,求OP-QP的最小值；

(3)设点M在椭圆E上，记△04B与AM45的面积分别为S2,若邑=3$「求点〃的坐标.

【解析】(1)由椭圆的标准方程可知，a2=4,6=3,-从=1,所以△4耳鸟的周长=2a+2c=6.

3

(2)由椭圆方程得4(1,3,设尸90)，则直线AP方程为y='-(xT),椭圆的右准线为：》=工=4,

21-?c

所以直线AP与右准线的交点为。(4W•士工)，OPQP=(t,0).”4,0----)=?-4/=(r-2)2-4...-4,

21-r2\-t

当f=2时，(OPQP),“M=-4.

(3)若Sz=3S1，设O到直线45距离&,M到直线他距离出，则gx|4例乂必=gx|A8|x&,即4=34，

A"),E(-l,0),可得直线他方程为y=j(x+l),即3x-4y+3=0,所以4=±,d2=~,

由题意得，M点应为与直线43平行且距离为2的直线与椭圆的交点,

5

设平行于钻的直线/为3—二°,与直线9的距离为£所以舄g即加…或⑵

当初=-6时,直线/为3X-4y-6=0,HPy=—(x-2),

4

2

%=2或，,所以或(―乜).

联立，可得(％-2)(7%+2)=0,即7A/(2,0)2,—

IW=01277

----1-----=1加

43T

当机=12时，直线/为3x—4y+12=0,即y=[(x+4),

3八

y=JZ+4)

联立,,，可得一f+18x+24=0,△=9X(36-56)<0,所以无解,

厂+>-14

43

综上所述，”点坐标为(2,0)或(-2,_2).

77

【评注】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，

属于中档题.

19.(16分)已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,beR)在区间。上恒有/(x)®?(x)g(x)・

(1)fM=x2+2x,g(x)=-x2+2x,0=(YO,+OO),求/?(x)的表达式;

(2)若f(x)=Y-冗+1，g(x)=klnx,h(x)=kx-k,D=(0,+oo),求G的取值范围;

2

(3)若/(幻=/一212,g(x)=4x-8,/1(幻=4(一一力工一3r+2产(0<|八„亚)，。=[孙川u[-0,0],求

证：〃一〃%,V7.

【解析】(1)由/(x)=g(x)得％=0,又r(x)=2x+2,g\x)=-2x+2,所以广(0)=g，(0)=2,

所以，函数/?(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，所以〃(x)=2x,经检验：〃(x)=2x,符合任意，

1V—1

(2)h(x)-g(x)=k{x-1-Inx),设例x)=X-l-/nx,设必x)=l——=------,

XX

在(1,+00)上，/(x)>0,以幻单调递增，在(0,1)上，“(x)vO,8(幻单调递减，所以以工)..0⑴=0,

所以当〃Cx)—g(x)..O时，k.A),令p(x)=f(x)-h(x),

所以p(x)=x2-x+1-(kx-k)=x2~(k+l)x+(1+A:)..0,得，

当x=Z+L,0时，即配-1时，f(x)在(0,内)上单调递增，所以p(x)>M0)=l+k-0,&…一1，所以Z=—1,

当k+1>0时，即左>-1时,A„0,即(左+1)2-4(攵+1),,0,解得-1<鼠3,

综上，％£[0,3].

(3)①当啜k&时，由g(x),,〃(x),得4/-&,4(t3-t)x-3尸+2产,整理得x2-(t3-t)x+3/4~2/--8„0,

4

(*)

令△=(—一)2-(3/一2产-8),则△=心一5/+3/+8,记*(/)=/-5/+3/+8(1领)近)，

则”⑴=6/一20/+6/=2f(3/一1)(产-3)<0,恒成立，

所以g(f)在工上是减函数,则夕(夜)蒯/)/⑴，即2会步⑺7,

所以不等式(*)有解，设解为为领kx2.因此〃-布上一片="币.

②当0vf<l时,/(-I)-/i(-l)=3?+4r3-2t2-4t-1,设v(f)=31+4产一2/2—4,一1,

则M(f)=12/+12产-4f-4=4«+l)(3/-1),令丫")=0,得”更，

3

当/€(0,三)时，1/(/)<0,M)是减函数，

当fe(弓,1)时，U(f)>0,v⑺是增函数，v(0)=-l,v(l)=0,则当0<f<l时,v(0<0,

则/(-1)-力(-1)<0,因此-1任(，",〃)，因为[见川1[一&,0],所以〃7%,血+1<J7,

③当-也,/<0时，因为/(X),g(x)为偶函数，因此也成立，

综上所述，77.

【评注】本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，

属于难题.

20.(16分)已知数列｛%1｝(〃eN*)的首项q=1,前〃项和为S”.设4和人为常数，若对一切正整数〃，均

有—S/=也/成立，则称此数列为“I”数列.

(1)若等差数列｛%｝是“2—1”数列，求】的值;

(2)若数列｛q｝是“更-2”数列，且凤>0,求数列｛6｝的通项公式；

(3)对于给定的2,是否存在三个不同的数列｛”“｝为“2-3”数列，且%.0?若存在，求出入的取值范

围；若不存在，说明理由.

【解析】(1)左=1时,4+]=S“+]—S〃=,由应为任意正整数,且4=1,4产()，可得九=1；

(2)瓦-厄=与向，贝1」。向=5向一5"=(匹一点)•(卮+凡)=日•历(凤+后)，

因此67+后=6.向即疯;=|商二，，+i=ga“+i=：(S,+1—S”)，

K-2

从而S〃+i=4S〃，又S]=q=l,可得S〃=4"T,an=St)-Sn_1=3-4,几.2,

l,n=l

综上可得4=”,，neN*；

3・4/〃..2

(3)若存在三个不同的数列｛(｝为“4-3”数列，则，/-/二枇/，

2112

53

则\+1-3S„+JS„+3S„+I^,J-S„=A,+I=2(S„+1-5„)，

S-

由q=l,a„..O,且S“>0,令p.=(-^)3>0,则(1一万)/-3p：+3p“一(1-万)=0,

2=1时，P”=P；，由P.>0,可得P,=l,则S“+|=S,,即%+i=0，

此时他“｝唯一，不存在三个不同的数列｛《,｝,

2x1时，令则成一成+卬"一i=o,则(％一1)［工+(1一%+1］=0,

1-2

①时，p：+(l-f)p〃+1>0,则p〃=1,同上分析不存在三个不同的数列｛〃“｝;

②1UV3时，△=(1一。2-4<0,沅+(1-/)2+1=0无解，则pn=l,同上分析不存在三个不同的数列｛/｝；

③，=3时，(p〃-Ip=0,则〃〃=1,同上分析不存在三个不同的数列｛〃〃｝.

④1>3日寸，即0<%<1时，A=(l-r)2-4>0,〃；+(1—/)2+1=。有两解。，p,

没a<。,a+J3=t-\>293=1>0,则0<avl<〃，

则对任意〃eN*,3q=1或3q旦=〃(舍去)或3q±!_=43,

S“SnSn.

由于数列｛S.｝从任何一项求其后一项均有两种不同的结果，

所以这样的数列｛S“｝有无数多个，则对应的数列｛4｝有无数多个.

则存在三个不同的数列｛4｝为“2-3”数列，且册.0,

综上可得0<4<1.

【评注】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的

递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题.

【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作

答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.［选修4-2：矩阵与变换］(本小题满分

10分)

21.（10分）平面上的点A（2,-1）在矩阵M=°1对应的变换作用下得到点5（3,-4）.

-1b

（1）求实数a,6的值;

（2）求矩阵M的逆矩阵

【解析】（1）由题意，知卜]]\2

b=2；

-1b\[-I

21tnn

⑵由⑴知，矩阵2'设矩.的逆矩阵为加

Pq

「211Fmn2机+p2n+q-io-

-[pq_

-tn+2p-n+2q01

-

2m+p=121

-j

55-

2〃+g=0碗俎2112,1

12I

一〃2+2〃=05555-

55-

-n+=1-

【评注】本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

B.[选修44坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

22.（10分）在极坐标系中，已知A3,马在直线/：0cos6=2上，点8（0,,为在圆C:0=4sin。上（其中

36

p..0,Q,。<24）.

（1）求P1，夕2的值；

（2）求出直线/与圆。的公共点的极坐标.

【解析】（1）&85）在直线/：/?8$。=2上，/.P]©05（=2,解得夕[=4.

点83,马在圆C:p=4sin。上，/.0=4sin三，解得g>=2,

66

或2,=0时，点B（o,工）表示极点，而圆C经过极点，所以满足条件，极点的极坐标表示。为0,极角为任

6

意角.故.=2或0.

（2）由直线/与圆C得，方程组['c°s"=2,则sin26»=l.0G[O,2TT）,:.20=~,:.0=-.

[p=4sin6»24

p=4xsin-=2V2.故公共点的极坐标为（2及,工）.

44

【评注】本题考查的知识要点：极坐标与极坐标方程的关系和根据简单曲线极坐标方程求交点坐标，主要

考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.

C.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分0分）

23.设xeR,解不等式2|x+l|+|x|<4.

3x+2,x>0

3x+2<4_fx+2<4f_3x—2<4

【解析】2|x+l|+|x|=,x+2,-啜k0.2|x+l|+|x|<4,x>0或4Xl隔。或k-1

—3x—2,x<—1

777

0<x<；或一掇!k0或一2vx<-l,:.-2