高中物理解题方法11之11：归纳法（解析版）

高中物理解题方法之11：归纳法（解析版）江苏省特级教师戴儒京著名物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁教授在谈到他从中国到美国留学时说：在中国学了推演法，就是学了第一定律、第二定律等，然后用这些定律解题，从一般到特殊；在美国学习了归纳法，就是从实验总结规律，从特殊到一般。杨振宁教授的这番话，告诉我们中美学习物理的方法之不同。在我们物理学的茫茫题海中，大部分是用推演法（即演绎法）去解的，但也有少数用归纳法解的题目。什么叫归纳法？归纳论证是一种由个别到一般的论证方法。它通过许多个别的事例，然后归纳出它们所共有的特性，从而得出一个一般性的结论。归纳法可以先举事例再归纳结论，即我们通常所说之归纳法，归纳法是从个别性知识，引出一般性知识的推理，是由已知真的前提，引出可能真的结论。它把特性或关系归结到基于对特殊的代表(token)的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式(pattern)的有限观察的规律。归纳法是物理学研究方法之一。通过样本信息来推断总体信息的技术。要做出正确的归纳，就要从总体中选出的样本，这个样本必须足够大而且具有代表性。归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。归纳推理也可称为归纳方法.完全归纳推理，也叫完全归纳法.不完全归纳推理，也叫不完全归纳法。归纳法在解物理题中的应用：物理过程与序数n有关的情况，n的个数较多，可考虑用归纳法解题。用归纳法解物理题的解题程序：首先分析物理过程，找出物理过程适用的物理规律，例如用动量守恒定律或动能定理，根据物理规律写出方程式，求解出第1个物理过程的解，例如v1、s1等，然后根据第2、3个物理过程的结果（如v2、v3或s2、s3等）找出其中的规律性，列出递推公式（如vn、sn等与v1、s1及n的关系式），最后根据递推公式求解未知量，如求n或求总路程。例1．回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科学技术的发展。（1）回旋加速器的原理如图，D1和D2是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交流电源上，位于D1圆心处的质子源A能不断产生质子（初速度可忽略，重力不计），它们在两盒之间被电场加速，D1、D2置于盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中。若质子束从回旋加速器输出时的平均功率为P，求输出时质子束的等效电流I与P、B、R、f的关系式（忽略质子在电场中的运动时间，其最大速度远小于光速）。（2）试推理说明：质子在回旋加速器中运动时，随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r是装置大、减小还是不变？解析：（1）设质子质量为m，电荷量为q，质子离子加速器时速度大小为v，由牛顿第二定律知 ③质子运动的回旋周期为 ④由回旋加速器工作原理可知，交流电源的频率与质子回旋频率相同，由周期T与频率f的关系得 ⑤设在t时间内离开加速器的质子数为N，则质子束从回旋加速器输出时的平均功率 ⑥输出时质子的等效电流 ⑦由上述各式得 ⑧（2）方法一设为同一盒中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为、，在相应轨道上质子对应的速度大小分别为、D1、D2之间的电压为U，由动能定理知 ⑨由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知，则整理得 ⑩因U、q、m、B均为定值，令由上式得相邻轨道半径、之差同理因为，比较、得<eq\o\ac(○,11)说明随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r减小。方法二：设为同一盒中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为rk、，，在相应轨道上质子对应的速度大小分别为、，D1、D2之间的电压为U。由洛化兹力充当质子做圆周运动的向心力，知，故eq\o\ac(○,12)由动能定理知，质子每加速一次，其动能增量eq\o\ac(○,13)以质子在D2盒中运动为例，第k次进入D2时，被电场加速次，速度大小为eq\o\ac(○,14)同理，质子第次进入D2时，速度大小为综合上述各式得整理得同理，对于相邻轨道半径、，，整理后有由于，比较、得<eq\o\ac(○,15)说明随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r减小。用同样的方法也可得到质子在D1盒中运动时具有相同的结论。例2.如图所示，足够长的木板质量M=10㎏，放置于光滑水平地面上，以初速度沿水平地面向右匀速运动。现有足够多的小铁块，它们的质量均为m=1㎏,在木板上方有一固定挡板，当木板运动到其最右端位于挡板正下方时，将一小铁块无初速地放在木板上，小铁块与木板的上表面的动摩擦因数，当木板运动了L=1m时，又无初速地贴着挡板在第1个小铁块上放上第2个小铁块，只要木板运动了L就按同样的方式再放置1个小铁块，直到木板停止运动，（取）试问第1个小铁块放上后，木板运动了L时，木板的速度多大？最终木板上有多少个小铁块?最后一个铁块放上后，木板再向右运动的距离是多少？解：（1），（2），；，，列出已求出的速度与铁块数的关系表铁块1234速度找出规律：根下的数字每次减小的数比上一次多1，所以可得出下表铁块12345678速度？往后应该减去7，但4<7,所以不能再放小铁块，则最终木板上有7个小铁块。（3），最后一个铁块放上后，木板再向右运动的距离是：点评：从速度、、…归纳出规律：根下的数字每次减小的数比上一次多1，然后求解。解法2.(1)第1个铁块放上后至第2个铁块放上前，根据动能定理，=1\*GB3①所以（2）第2个铁块放上后至第3个铁块放上前，=2\*GB3②第3个铁块放上后至第3个铁块放上前，=3\*GB3③……第n个铁块放上后至第n+1个铁块放上前，=4\*GB3④由=1\*GB3①到=4\*GB3④式可得，第1个铁块放上后至第n+1个铁块放上前，，=5\*GB3⑤令（木板停下来），有,，，，取整数n=6，将n=6代入=5\*GB3⑤式得,代入数据得，，由于在第7个铁块放上前木板尚未停下，所以最终有7个铁块放在木板上。（3）从第7个铁块放上后至木板停止前，设木板运动的位移为，有，解得解法3.累计计算法（2）第2个铁块放上后至第3个铁块放上前，，第3个铁块放上后至第4个铁块放上前，，第4个铁块放上后至第5个铁块放上前，第5个铁块放上后至第6个铁块放上前，第6个铁块放上后至第7个铁块放上前，在第7个铁块放上前木板尚未停止，所以最多有7个铁块。（3）同上。例3.如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高Ｈ，上端套着一个细环。棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k>1)。断开轻绳，棒和环自由下落。假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失。棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计。求：（１）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度。（２）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程Ｓ。（３）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功Ｗ。【答案】(1)(k-1)g,方向竖直向上(2)(3)-【解析】(1)设棒第一次上升过程中,环的加速度为a环环受合力F环=kmg-mg①由牛顿第二定律F环=ma环②由①②得a环=(k-1)g,方向竖直向上(2)设以地面为零势能面,向上为正方向,棒第一次落地的速度大小为v1.由机械能守恒得：×2mv12=2mgH解得v1=设棒弹起后的加速度a棒由牛顿第二定律a棒=-(k+1)g棒第一次弹起的最大高度H1=-解得H1=棒运动的路程s=H+2H=(3)解法一：棒第一次弹起经过t1时间,与环达到相同速度v1′环的速度v1′=-v1+a环t1棒的速度v1′=v1+a棒t1环的位移h环1=-v1t1+a环t12棒的位移h棒1=v1t1+a棒t12x1=h环1-h棒1解得：x1=-棒环一起下落至地v22-v1′2=2gh棒1解得：v2=同理,环第二次相对棒的位移x2=h环2-h棒2=-……xn=-环相对棒的总位移x=x1+x2+……+xn+……W=kmgx得W=-解法二：设环相对棒滑动距离为l根据能量守恒mgH+mg(H+l)=kmgl摩擦力对棒及环做的总功W=-kmgl解得W=-。例4．如图（a）所示，Ａ、Ｂ为水平放置的平行金属板，板间距离为ｄ（ｄ远小于板的长和宽）．在两板之间有一带负电的质点Ｐ．已知若在Ａ、Ｂ间加电压Ｕo，则质点Ｐ可以静止平衡．现在Ａ、Ｂ间加上如图（ｂ）所示的随时间ｔ变化的电压ｕ．在ｔ＝0时质点Ｐ位于Ａ、Ｂ间的中点处且初速为零．已知质点Ｐ能在Ａ、Ｂ之间以最大的幅度上下运动而又不与两板相碰，求图（ｂ）中ｕ改变的各时刻ｔ１、ｔ２、ｔ３及ｔｎ的表达式．（质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次）【解析】设质点P的质量为m，电量大小为q，根据题意，当A、B间的电压为U0时，有qeq\f(U0,d)＝mg①当两板间的电压为2U0时，P的加速度向上，其大小为a，qeq\f(2U0,d)－mg＝ma②解得a＝g当两板间的电压为0时，P自由下落，加速度为g，方向向下.在t＝0时，两板间的电压为2U0，P自A、B间的中点向上作初速为零的匀加速运动，加速度为g.经过τ1，P的速度变为v1，此时使电压变为0，让P在重力作用下作匀减速运动.再经过τ1′，P正好到达A板且速度为0，故有v1＝gτ10＝v1－gτ1′eq\f(1,2)d＝eq\f(1,2)gτeq\o\al(2,1)＋v1τ1′－eq\f(1,2)gτeq\o\al(′2,1)由以上各式得τ1＝τ1′τ1＝eq\f(\r(2),2)eq\r(\f(d,g))因为t1＝τ1得t1＝eq\f(\r(2),2)eq\r(\f(d,g))③在重力作用下，P由A板处向下作匀加速运动，经过τ2，速度变为v2，方向向下.这时加上电压使P作匀减速运动，经过τ2′，P到达B板且速度为零，故有v2＝gτ20＝v2－gτ2′d＝eq\f(1,2)gτeq\o\al(2,2)＋v2τ2′－eq\f(1,2)gτeq\o\al(′2,2)由以上各式得τ2＝τ2′τ2＝eq\r(\f(d,g))因为t2＝t1＋τ1′＋τ2得t2＝(eq\r(2)＋1)eq\r(\f(d,g))④在电力与重力的合力作用下，P由B板处向上作匀加速运动，经过τ3，速度变为v3，此时使电压变为0，让P在重力作用下作匀减速运动，经过τ3′，P正好到达A板且速度为0，故有v3＝gτ30＝v3－gτ3′d＝eq\f(1,2)gτeq\o\al(2,3)＋v3τ3′－eq\f(1,2)gτeq\o\al(′2,3)由上得τ3＝τ3′τ3＝eq\r(\f(d,g))因为t3＝t2＋τ2′＋τ3得t3＝(eq\r(2)＋3)eq\r(\f(d,g))⑤根据上面分析，因重力作用，P由A板向下作匀加速运动，经过τ2，再加上电压，经过τ2′，P到达B且速度为0，因为t4＝t3＋τ3′＋τ2得t4＝(eq\r(2)＋5)eq\r(\f(d,g))同样分析可得tn＝(eq\r(2)＋2n－3)eq\r(\f(d,g))(n≥2)⑥【点评】本题考查带电粒子在电场中的运动和归纳法解题及分析综合能力。解题关键：求出、、…，然后用归纳法总结规律，求出。例5如图所示，放在光滑水平面上的长木板A的左端放着小铁块B（可视为质点）。它们一直以vo=2m/s的速度向右运动，A、B的质量分别为mA=1kg，mB=2kg。A与竖直墙壁碰撞后立即以相同的速度反方向弹回，若A板足够长，在整个运动过程中B没有与墙相碰也没落到地面，A、B间动摩擦因数μ=0.5(g=10m/s2)。求：A与墙第一次碰撞后过程中A离墙最大距离时铁块B的速度大在整个运动过程中，B相对A所能滑动的最大距离。AB解：（1）A与墙碰撞后，速度向左，当A向左的速度为零时离墙最远，此时B速度为vB’，以向右为正方向，据动量守恒定律，有mA(-vo)+mBvo=mBvB’vB’==1m/s（2）当A的速度为零时，B的速度向右，故在摩擦力的作用下，B继续减速，A向右加速，直到两球速度相等时（设为v1），B在A上相对运动的距离设为s1,据动量守恒定律，有mA(-vo)+mBvo=（mA+mB）v1，得v1=m/s据能量守恒，有μmBgs1=+-解得：s1=m当A第二次与墙碰撞后，速度为-v1,方向向左，而B的速度仍为v1，经与上述类似的过程，达到A、B共同的速度v2，这时，B在A上又移动距离s2，则有：mA(-v1)+mBv1=（mA+mB）v2，得v2=m/sμmBgs2=+-（mA+mB）v22/2解得：s2=m当A第三次与墙碰撞后，用同样的方法可求得：v3=m/s，s3=m每碰一次，B在A上相对运动的距离为前一次的1/9，碰无数次以后，B在A上相对运动的距离s为s=s1+s2+s3+……=[1+++……]m=[1/（1-）]=0.6m点评：本题据s1、s2、s3、……的大小关系归纳为s=s1+s2+s3+……是利用无穷递缩等比数列求和公式s=其中a1=,q=。例6．在一原子反应堆中，用石墨（碳）作减速剂使快中子减速，已知碳核的质量是中子的12倍，假设把中子与碳核的每次碰撞都看作弹性正碰，而且认为碰撞前碳核都是静止的。（1）设碰撞前中子的动能是E0，问经过一次碰撞中子损失的能量是多少？（2）至少经过多少次碰撞，中子的动能才小于10-6E0？（lg13=1.114,lg11=1.041）.解：（1）设中子和碳核的质量分别为m和M，碰撞前中子的速度为，碰撞后中子和碳核的速度分别为和V，根据动量守恒和弹性碰撞中动能守恒，可得：m=m+MV=+解得：v===(-)v0因此，在第一次碰撞中中子损失的能量为△E=-=E0[1-()2]=E0中子和碳核第二次碰撞中，根据弹性碰撞的规律，同样有v2=(-)v1，其中，v1、v2分别为第一、第二次碰撞后的速度。依次类推，中子第三次、第四次……第n次碰撞后的速度分别为：v3=(-)v2，v4=(-)v3，……vn=(-)vn-1.那么，中子在第一次、第二次、第三次……第n次与碳核碰撞后的动能分别为：E0[1-()2]E1=（）2E0E2=（）2E1E3=（）2E2……En=（）2En-1=（）2nE0据题意要求，En<10-6E0，（）2n<10-6取对数2n(lg13-lg11)=6解得n=3/(lg13-lg11)=41.1至少需经42次碰撞，中子的动能才能小于10-6E0。点评：本题据v1、v2、v3……vn的关系，推导出E1、E2、E3……En的关系，再应用对数解题。例7．如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n(n=1、2、3…)。每人只有一个沙袋，x>0一侧的每个沙袋质量为m=14kg，x<0一侧的每个沙袋质量为m’=10kg。一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数）。空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？车上最终有大小沙袋共多少个？-4-3-2-101234解：（1）在小车朝正x方向滑行的过程中，设车初速度为v,第i个沙袋扔到车上后的车速为vi，据动量守恒定律，有Mv+m(-v)=(M+m)v1v1=[Mv+m(-v)]/(M+m)=[48-14]v/(48+14)=17v/31(M+m)v1+m(-2v1)=(M+2m)v2v2=[(M+m)v1+m(-2v1)]/(M+2m)=(34-28)v/76=3v/38(M+2m)v2+m(-3v1)=(M+3m)v3v3=[(M+2m)v2+m(-3v1)]/(M+3m)=(6-42)v/90=-2v/5由于速度v3为负，即车上堆积3个沙袋后车就反向滑行。（2）在小车朝负x方向滑行的过程中，设负x方向为正方向，车初速度为v’,第i个沙袋扔到车上后的车速为vi’，据动量守恒定律，有第1个沙袋扔到车上后的车速为v1’，(M+3m)v’+m’(-2v’)=(M+3m+m’)v1’v1’=[(M+3m)v’+m’(-2v’)]/(M+3m+m’)=(90-20)v1’/100=7v1’/10第2个沙袋扔到车上后的车速为v2’，(M+3m+m’)v1’+m’(-4v’)=(M+3m+2m’)v2’v2’=[(M+3m+m’)v1’+m’(-4v’)]/(M+3m+2m’)=(100-40)v1’/110=6v1’/11……第n-1个沙袋扔到车上后的车速为vn-1’第n个沙袋扔到车上后的车速为vn’(M+3m+(n-1)m’)vn-1’+m’(-2nvn-1’)=(M+3m+nm’)vn’vn’=[(M+3m-(n+1)m’)vn-1’]/(M+3m+nm’)=[90-10(n+1)]/(90+10n)小车反向运动或停止的条件是vn-1’﹥0，vn’≦0即90-10n﹥0，90-10(n+1)≦0,解得9>n≧8n=8时，车停止滑行，故车上共有沙袋（3+8=）11个。点评：本题第一问数少，可逐一计算，第二问数多，要先导出递推公式，才好求解。要根据v1’与v’的关系，v2’与v1’的关系，导出vn’与vn-1’的关系，比较困难，解答也比较复杂。例8一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u(其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和．若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值)．设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg.（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小．（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数．（供使用但不一定用到的对数值：lg2=O.301，lg3=0.477)参考解答：（1）设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1，根据动量守恒定律，有狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度满足可解得将代入，得（2）解法（一） 设雪橇运动的方向为正方向，狗第（n－1）次跳下雪橇后雪橇的速度为Vn－1，则狗第（n－1）次跳上雪橇后的速度满足这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vn满足解得狗追不上雪橇的条件是Vn≥可化为 最后可求得代入数据，得狗最多能跳上雪橇3次雪橇最终的速度大小为V4=5.625m/s解法（二）： 设雪橇运动的方向为正方向。狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vi,狗的速度为Vi+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为，由动量守恒定律可得第一次跳下雪橇：MV1+m（V1+u）=0V1=－第一次跳上雪橇：MV1+mv=（M+m）第二次跳下雪橇：（M+m）=MV2+m（V2+u）V2=第三次跳下雪橇：（M+m）V3+M+m（+u）=第四次跳下雪橇：（M+m）=MV4+m（V4+u） 此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇。因此，狗最多能跳上雪橇3次。雪橇最终的速度大小为5.625m/s.点评：本题根据、、、找出、的规律，然后求解。总结：什么情况下用归纳法解题？一般是在研究的物理量与个数、次数等有关的情况，可用归纳法解题。归纳法解题的步骤一般先求出第1个（次）、第2个（次）、第3个（次）的物理量，如位移（s1、s2、s3）、速度（、、）、动能（EK1、EK2、EK3）等，然后根据它们的关系找出规律，得出第n个（次）的物理量，如sn、、EKn等，最后根据限定条件求未知量。归纳法常用的数学工具等差数列的求和公式：等比数列的求和公式：无穷递缩等比数列的求和公式：归纳法有完全归纳法和非完全归纳法两种。完全归纳法要求严密的证明，物理解题一般用非完全归纳法，主要是通过已求出的物理量找该物理量的规律，再应用这个规律求未知物理量，哲学上叫从特殊到一般，再从一般到特殊。5.上述各例中的递推公式，都要靠学生在解题中自己归纳、总结，以敏锐的洞察力找出其规律，而不是利用现成的公式，所以解这类题，可培养学生独立解决问题的能力，并培养用数学工具处理物理问题的能力。5.归纳法解题，可培养学