原子的拉莫尔旋进

原子的拉莫尔旋进的若干问题吴云（安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆246011）

指导教师：张青林摘要：原子受外磁场的作用做拉莫尔旋进是一个非常重要而且又是很有趣的物理现象。孤立原子的日在-Pj方向的分量弓是一个定向的恒量，对外发生效果。这个分量我们定义为原子的总磁矩。日绕B旋进与贝绕Pj旋进存在着区别。原子的拉莫尔旋进和Lande因子也有一定的关系。本文的处理方法是先从原子磁矩顼分解出有效磁矩',其次再用有效磁矩与外磁场B的作用关系来描述原子的拉莫尔旋进。最后，澄清和纠正了关于原子拉莫尔旋进的一些含糊的说法和不确切的理解。关键词：拉莫尔旋进，有效磁力矩，朗德因子引言原子受外磁场作用做拉莫尔旋进是一个非常重要而且又是很有趣的物理现象。拉莫尔旋进的角频率①=yB还涉及到原子物理学和光谱学的许多领域。本文首先对原子拉莫尔旋进产生的机理做简易描述，再以L-S耦合为例，指出关于拉莫尔旋进的一些不确切的理解。单原子的总磁矩（以氢原子为例）由于电子的轨道磁矩日乙和固有磁矩（自旋磁矩）七分别与轨道角动量PL和自旋角动量PS成正比：即 目=—AP，目=-—PTOC\o"1-5"\h\zL 2mLs—mS — —但日同P的比值是不同于日-同P的比值。从矢量模型可以看出，日和目合成的总磁矩日:LL SS LS目MP’七当不再与总角动量乌=P+Ps反平行了。如图1所示。 一图1：单原子的总磁矩的示意图孤立原子的总角动量P是守恒量，即大小和方向都保持不变，而合成的总磁矩口并不守恒，它绕JPj旋进，不断改变方向［1］。 一在实际物理问题中，比如斯特恩-盖拉赫实验(Stern-GerlachExperiment)中，我们通常把日这个没有定向的量分解成两个分量。有意义的是，日在-Pj方向的分量这是个有定向的恒量，即是守恒的。而另一个垂直于P方向的分量则不断绕f旋转，对外的平均效果完全抵消了，即为0。因此对j j外发生效果的是',我们就把匕+气在-P」方向的分量'定义为原子的总磁矩或有效磁矩［2,3］。3.拉莫尔旋进的产生 一一一原子既有总磁矩'，处在磁场中就要受到场的作用，其效果是磁矩绕磁场的方向作旋进。这种旋进就叫做拉莫尔旋进。现对这个旋进的转向和速度作一个简单的说明。如图2是旋进的示意图［3］。图2：原子的拉莫尔旋进的示意图把上述定性描述和外磁场的作用以矢量的关系表示出来由图3。

图3：原子的拉莫尔旋进的示意简图原子在外磁场中，所受的磁力矩为M二口xB根据图3,将其写成标量式：M=pBsin[180o-(a+P)]=rBsin(a+P)=RB(sinacosP+cosasinP)=M1+M2M=rBsinacosP=rBsina

*/Bsin(180a)即 M1二RjxB而 M=rBcosasinP2①②③④由④式可知，M1①②③④dP动量改变的方向就是力矩的方向。如果单位合适，角动量改变的时间率数值上等于力矩，所以M|二二。1dt从图2上可以看出，M1和dP的方向在这个顷刻都是垂直并进入纸面的。由于力矩M1的存在，角动量的改变dP连续发生。但dP一直是垂直于P的，所以P只改变方向，而不改变数值。这就是造成PJ J J在图2所示的方向连续的旋进［1的原因。由图2又可以看出：dP=PjsinPW

dP W丁因此式中又~d~=Psinp――-Psin因此式中又w dP■/M=^dP■/M=^Bsina，吃=--Psinp^p=^Bsinas1ip=san①=^B=yBLPJ这就是我们熟悉的拉莫尔旋进的角速度公式［3］。又 H=幺白P（其中g为Lande因子）J 2mJ.Y=竿式中Y为旋磁比2m① YB那么拉莫尔旋进的频率就等于：V=寸土l2兀 2兀下面再对M进行讨论。2由前面②式可知M=pBcosasinp2=pBcosai=p【Bsin(90o—a)M=pxB从⑥式直观地看，M2表示对Z'轴的旋进起作用的磁力矩。但是,第一：由图3可看出，P上既要绕Pj作快进动，同时又要绕/轴（实际上/轴将绕z轴以①乙转动）作慢进动是不可能实现的［4,5］；第二：由于原子的磁矩来自于原子中电子的轨道运动和自旋，磁矩和角动量必然要成对出现，而P±没有对应的和它方向相反的角动量P±。尽管M2=0，却根本不可能有相应的角动量的改变，因而对原子体系能量的增减没有影响；第三：因p±绕PJ作快速转动，p±与B的夹角在90。-a到90o+a之间变化，p,B在观测时间内的平均效果为0，因此不起作用。综上所述：M2对拉莫尔旋进没有贡献，不妨称其为无效磁力矩。4.讨论⑴曰绕B旋进与口绕Pj旋进的区别一由上述可知，所谓拉莫尔旋进是指日（或,PQ绕外磁场B旋进。这时，一般有两种情况：①在e e e不考虑耦合时，拉莫尔角频率①乙=2-旦（或®广—B）；②在考虑耦合时，拉莫尔角频率①乙=g2-B。应该明确指出的是日（或日乙，七）绕P,的旋进，并非是我们这里所讨论的原子的拉莫尔旋进，其角频e_ e_ e_ _率绝不会有气=g石B（或①^2-B或①S=-B）的形式。具体来讲，在L-S耦合时，日绕B旋进①e_…和日绕P｝旋进是同时存在的。曰绕B作慢旋进，其旋进频率即拉莫尔频率可用vl=荒=g4-z-垣估算。在量子力学中vL相当于是态能量或光谱项由于磁场B与磁矩日相互作用所产生的改变。而日绕PJ作快旋进，是原子在外磁场中同时存在的另一种旋进，其旋进频率可用『二^|口人|估算。这里的己业相当于定态能量或光谱项由于电子自旋运动与其轨道运动相互作用所产生的改变。故我们在阅读教材和文献[1-3]时，不应把这两种截然不同的旋进混同起来。⑵拉莫尔旋进与Lande因子众所周知，拉莫尔旋进角频率可写为：3=yB=，jB=g：BlP 2mj在L-S耦合情况下,Lande因子可写为：1J（J+1）-L（L+1）+S（S+1）g=1+ 2J（J+1）式⑦和⑧是原子物理学中两个重要关系式。现以4D1态为例，来分析一下拉莫尔旋进和朗德因子的关系。从式⑦和⑧可知， g=0，因而有2①二g：B=0的结果，似乎原子在外磁场中的拉莫尔旋进停止了，此时^±P，日=0。但是值得L2m JJ注意的是日主0，Pj丰0。因为产生拉莫尔旋进的真正动力在于有效磁力矩。故由于日主0，B壬0，即M=rxB。0，则①丰0，拉莫尔旋进似乎又没有停止。看来出现了一个矛盾：即①。g-^B，式l l 2m⑦或⑧不是普遍成立。然而式⑦和⑧的正确性和普适性已被理论推导和实验结果所证明。故这里的定性的解释是：当^±PJ时，目仍绕Pj快速旋进，但它与外磁场相互作用对外产生效果的成分被平均而抵消，不能形成有效磁力矩，促不成拉莫尔旋进，即日j=0，且心广七xB=0，于是有3=0或3=%B=0，g=0（即能级在外磁场中不分裂），⑦和⑧式是普遍成立的。L LPJ现根据图和上面所提到的表达式对此做更为直观，定量的分柝4,5]

i.由②一⑤式知，因为。=90°,cos。=0,sin&=1,即M=^Bsinacosp=0亦即 M=pxB=0所以有效磁力矩为零不可能产生拉莫尔旋进。而 M2=pBcosasinP=pBsin（90°—a）从表达形式上看，它表示引起P绕B即 M2=p从表达形式上看，它表示引起P绕B（即z轴）转动的磁力矩。但是如前面所讲，吃是无效磁力矩。ii.由前面可知:°=七lii.由前面可知:°=七lPsinapBsinacosP pcosPPsina当p=90°时，cosp=0pcosp①= B=0jiii.其实，对于这一点，结合图4,就会立即看出，当P^Pj时，由于iii.M=pxB=pxB=M，说明原子在外磁场中所受的总磁力矩为无效力矩，故气=0，g=0，对外不产生效果。图4：当p±Pj时，①乙=0⑶.M=pjxB与M=pxB文献［"中的普遍说法为“p绕Pj旋进，p不是一个有确定方向的量，p沿Pj的分量pj才是有一定方向的恒量，它对外产生效果，叫做总磁矩或有效磁矩，而垂直P的分量绕P转动，对外平均效果抵消J Je_了”。同时，把原子的总磁矩七和总角动量pj的关系式七=-g^mpj当作讨论问题的依据，而且有没有指出是否例外。正因为上述两个原因，对M二七XB为力矩是肯定的，而对于M=^xB是不是则往往产生犹豫。这里有三点值得分析：第一：文献［1-3,6］中“对外产生效果”一词具体指什么没有阐述。在这里，“对外产生效果”这个“效果”是指七始终能与外磁场相互作用形成力矩而保持绕外磁场的旋进。例如，由于口绕Pj旋进，只有七才能对外产生效果即存在力矩M=七xB（即有效磁力矩M2）。第二：只从电磁学性质来讲，M=%xB与M=^xB无实质区别。但是，在这里就要考虑对外是否产生平均效果。一般情况下，七只是口的分量，力矩M=^xB中自然包含着力矩M=%xB。但是，在个别情况下，M=pxB就对外不产生效果。例如：^j=0，M=M1+M2时，力矩M=pxB就形成不了。e第三：七=-g—PJ在L-S耦合的多数情况下是对外产生效果的有效磁矩。而在另外一些少数情况下就由其他因素来代替。巾。如，有时真正对外产生效果的有效磁矩恰恰是口而非七［4】。按照文献［1-3］的处理方法是先从原子磁矩口里分解出有效磁矩七；其次再用有效磁矩七与外磁场B的作用关系来描述原子的拉莫尔旋进，而不去讨论原子磁矩的另一分量日。但是，当面对诸如4。1态时，± 2由于^j=0而四。0，M二rxB。0，用这种处理方法在解释不产生拉莫尔旋进（即①乙=0，g=0，在外磁场中不发生能级分裂）的情形往往比较麻烦。而按照本文的处理方法则是先根据矢量关系图直接用电磁学性质给出总磁力矩M的数学表达式，而此式能够巧妙的分解成两部分M=M1+M2。其次，在确定出有效磁力矩M1，利用原子的固有属性排除不可能实现的旋进（即排除无效磁力矩M2对拉莫尔旋进起作用的可能性），这样做的好处在于既对原子磁矩R的两个分量七和日上都做了讨论，又能对诸如4。1态的也=0，g=0和口E=0等问题做出顺理成章的说明。总之，由于有了较完整的数学表达式及有效磁力矩和无效磁力矩的概念，在解释“对外产生效果”一词的含义时，比文献［1-3］的定性描述更方便了一些。尤其可以简单的用一个表达式（即式②）和一句解释（即指明有效磁力矩和无效磁力矩）把原子拉莫尔旋进的产生机理描述清楚。（4）・在文献［1-3］中，七丰0，%丰0和“对外产生效果”似乎指的是同一个内容，即有效磁*j丰0就会“对外产生效果”，于是必然发生拉莫尔旋进，反之亦然。但是，值得指出的是，这种理解对于具有朗德因子g的原子态来讲无疑是正确的。本文所定义的“有效磁力矩”和“无效磁力矩”也同样属于这种情况，而都不是适用于具有不确定的朗德因子g的原子态。例如：有一种情况是：一一一_一 一0 八当L=S=0，J=0时，g=1+0（不定式）即3=g2mB为不定式。但是由于PL=PS=P^=0，匕二七=^J=目=0，所受的力矩均为0，故％=0，而气B=0B（不定式），即具有不确定je一_的拉莫尔角频率。这样看来，①L丰g^mb。似乎⑦和⑧又出了问题。有人认为，这时候，由于原子所有矢量全部收缩为一个几何点，在外磁场的作用下不可能再有旋进，这时候的原子是一个“死原子”。其实不然：首先，仅从M1=^JxB得出M1=0，3l=0的结论是不够全面的，它只是推导拉莫尔角频率的一部分。其次，这种情况表示支壳层全部填满的原子态。这时的原子并不是“死原子”，它仍存在某种形式的旋进。有文献回已对上述情况做了详细的论述。另一种情况是当L=S主0，J=0时，g=1+0（不定式），由于Pj=。，即Pl+Ps=0，显然eee e_pl=-ps，则卜氏+四s=-荔pl-mps=2mpl=-mps，- ——e一"卢g流j顼一一一一一日 0C一、，、，F〜一故3=JB=cB（不定式），如图5所示，lP 0图5即这时的拉莫尔角频率3也为不定式。这就说明，即使我们一贯所说的原子的“有效磁矩”|^=0。这时，拉莫尔旋进是存在的。这时对外产生的效果的不是R而是R，其数值为：J四=顼L（L+D气=dS（S+D%。但是，这时候不能发生能级分裂（J=0，MJ=。，口E=0）［4］。因此我们可以得到如下结论：i-文献［1-3呻的“无效磁矩”以及本文的“有效磁力矩”和“无效磁力矩”等只适用于具有确定朗德因子g的原子态；拉莫尔旋进的存在与否与朗德因子互为条件。如果把是否“对外产生效果”解释为是否“发生能级分离”，问题似乎就会少一些；如果把是否产生拉莫尔旋进作为是否“对外产生效果”的标志，就会麻烦一些，因为，当四更0，g丰0（确定值），J3l丰0（确定值）时能发生能级分裂；当=0，g=0或g=1+0丰0（不定式），3l=0或3l丰0（不定式）时不能发生能级分裂。参考文献：［1］ 褚圣麟，原子物理学［M］,北京：高等教育出版社，1979。［2］ 顾建中，原子物理学［M］,北京：高等教育出版社，1986。［3］ 杨福家，原子物理学［M］，上海：上海科学技术出版社，1985。［4］ 巴音贺希格，原子Larmor旋进中的若干问题J］，大学物理，1998，17(5)：22〜24。［5］ 巴音贺希格，原子Larmor旋进产生机理的简易描述［J］，大学物理,2000,19(7):15〜17。［6］ 高顺福，屠船士，吴祖嵋，原子物理学［M］，上海：上海科学技术出版社，1984。［7］ 方励之，近代物理学讲稿，北京大学物理系，北京物理学会印，1985。［8］ K.Krane,ModernPhysics,JohnWiley&Sons,1983。［9］ A.Beiser,ConceptsofModernPhysics,McGraw-Hill1987。［10］ R.GautreauandW.Savin,TheoryandProblemsofModernPhysics,McGraw-Hill,1987。SeveralProblemsaboutLarmorPrecessionofAtomWuYun(SchoolofPhysicsandElectricalEngineeringofAnqingNormalCollege,Anqing246011)Abstract:Larmorprecessionofatomisnotonlyaveryimportantbutalsoaveryinterestingphysicalphenomenon.AndM^isa