专题02一元二次方程与二次函数的图象性质（五大题型）

专题02一元二次方程与二次函数的图象、性质【题型归纳目录】题型一：根的判别式题型二：根与系数的关系（韦达定理）题型三：二次函数图像的伸缩变换题型四：二次函数图像的平移变换题型五：二次函数的最值问题【知识点梳理】知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程（），用配方法可以将其变形为．①因为，所以，．于是（1）当时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根；（3）当时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程（）的根的情况可以由来判定，我们把叫做一元二次方程（）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程（），有(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当Δ<0时，方程没有实数根．知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程（）有两个实数根，，则有；．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果（）的两根分别是，，那么，．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程，若，是其两根，由韦达定理可知，，即，，所以，方程可化为，由于，是一元二次方程的两根，所以，，也是一元二次方程．知识点3：二次函数图像的伸缩变换问题函数与的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出，，的图象，通过这些函数图象与函数的图象之间的关系，推导出函数与的图象之间所存在的关系．先画出函数，的图象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数，的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数的图象可以由函数的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数，的图象，并研究这两个函数图象与函数的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y=ax2(a≠0)知识点4：二次函数图像的平移变换函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y=2(x+1)2+1与y=2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+1)2+1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y=－3x2，y=－3(x－1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法：由于y=ax2+bx+c=a(x2+)+c=a(x2++)+c－，所以，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质：（1）当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而减小；当x>时，y随着x的增大而增大；当x=时，函数取最小值y=．（2）当a<0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而增大；当x>时，y随着x的增大而减小；当x=时，函数取最大值y=．【典例例题】题型一：根的判别式例1．（2023·河南新乡·统考三模）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数裉【答案】B【解析】即由题意，可知，∴该一元二次方程没有实数根，故选：B．例2．（2023·湖北恩施·统考二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，解得：且，故选：C．例3．（2023·云南楚雄·统考三模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）A． B．且 C．且 D．【答案】C【解析】由题意得：，解得：且，故选：C．变式1．（2023·浙江温州·校考三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由题意知，，解得，∴实数m的值可以是，故选：A．变式2．（2023·内蒙古包头·统考一模）在正比例函数中，的值随值的增大而减小，则关于的一元二次方程根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【答案】A【解析】∵正比例函数中，的值随值的增大而减小，∴，∵关于的一元二次方程为，∴，∴一元二次方程为有两个不相等的实数根．故选．题型二：根与系数的关系（韦达定理）例4．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（

）A．0 B．3 C．6 D．13【答案】A【解析】∵m，n是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故选：A．例5．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）若是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】是关于x的一元二次方程的一个根，设该方程的另一个根是，则，解得，故选：C．例6．（2023·江苏南京·校联考三模）若，是方程的两个根，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，是方程的两个根，∴∴，故A选项正确；∵，，∴，异号，故C，D选项错误；由于并不知道，的大小关系，所以并不能推出，故B不符合题意；故选：A．变式3．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）若5是方程的一个根，则方程的另一个根是（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【解析】设另一个根是，，，故选：A．变式4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③；④方程的两根和为1；⑤若是方程的两根，则方程的两根满足；其中正确结论有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】由题意，，对称轴为直线，∴，，抛物线与轴相交于正半轴，则，∴，故①错误；∵抛物线与轴有两个不同的交点，∴，即：，故②正确；∵由图象可得，当时，函数值，∴，∵，∴，故③正确；对于方程，整理得：，∴其两根之和，∵，∴∴方程的两根和为2，故④错误；∵是方程的两根，∴函数图象与轴的两个交点的横坐标为，∵方程的两根，∴抛物线与直线的交点横坐标为，∵抛物线开口向下，∴，，∴，，∵，∴，故⑤正确；∴正确的有②③⑤，故选：B．变式5．（2023·广东佛山·校考三模）关于x一元二次方程有一个根是，则另一个根是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设方程的另一个根为，则，解得：；故选：A.题型三：二次函数图像的伸缩变换例7．（2023·湖北武汉·武汉市第一初级中学校考模拟预测）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分，第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系．

(1)直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______；(2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由；(3)若消防员从点前进到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，求请直接写出的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同）【解析】（1）依题意顶点坐标为，∴设抛物线解析式为，将点代入得，，解得：，∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；故答案为：；（2）不能，理由如下，依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，令，解得：，即消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过∴水流不能到达点处，（3）依题意，消防员从点前进到点（水流从点射出）处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，∵水流未达到最高点且恰好到达点处，∴过点，且对称轴∴将点代入得，解得或，∴例8．（2023·江苏宿迁·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线的抛物线也经过点、点，并与轴正半轴交于点．(1)抛物线的函数表达式；(2)设点，点在抛物线对称轴上，并使得的周长最小．过点任意作一条与轴不平行的直线交此抛物线于、两点，试探究的值是否为定值？说明理由；(3)将抛物线适当平移后，得到抛物线，若当时，恒成立，求的最大值．【解析】（1）一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，令，则，令，则，∴，，方法一：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线过点，，且抛物线与轴正半轴交于点，∴，设函数表达式为，点代入得，∴抛物线的解析式为；方法二：将点，，对称轴，分别代入，∴，解得：，∴抛物线的解析式为．（2）的值是定值，理由如下，∵的周长为，由的周长最小，的长是定值，∴最小，∵点，点关于对称轴对称，∴如图所示，连接交对称轴于点，设所在直线的解析式为，且，，∴，解得，，∴直线的解析式为，∵点在抛物线的对称轴的直线上，∴点的纵坐标为，∴，∵过点任意作一条与轴不平行的直线交此抛物线于、两点，如图所示，过点作的平行线，过点作轴的平行线，交于点，∴设，把点代入得，∴，∴∴直线的解析为，∴，整理得：，∴根据韦达定理得，，∵点、在直线上，在中，，∴，，∴，∴，同理：，，∴，∴的值是定值．（3）∵，设，∴，设新的抛物线与直线的相交的横坐标分别设为，如图所示，∵将抛物线适当平移后，得到抛物线，∴抛物线是左右平移，则，∴，由抛物线左右平移得到，观察图像，随着图像向右平移，的值不断增大，若当时，恒成立，即，则的最大值在处，∴当时，对应的为最大值，∴，∴，（舍），∴，∴，解得，，，∴的最大值为．例9．（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考三模）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．

(1)写出抛物线的对称轴为直线______，抛物线的解析式为______；(2)如图2，连结，若P在上方，作轴交于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为h，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；(3)若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．(4)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形为矩形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵抛物线与x轴分别交于点和点，∴抛物线对称轴为：，把点和点代入得：，解得，∴二次函数解析式为：，故答案为：，；（2）解；∵抛物线，∴，设直线的解析式为；，把点和点代入得：，解得：，∴一次函数解析式为：，设平移后函数解析式为：，建立方程组得：，∵抛物线与直线始终有交点，∴，∴，∴h的最大值为：；（3）如图，设，设直线的解析式为：，∵，∴，解得：，∴直线的解析式为：，当时，，∴，设直线的解析式为：，∵，∴，解得：，∴直线的解析式为：，当时，，∴，∵G是点E关于x轴的对称点，∴，∵，，∴；

（4）存在，理由如下：如图1，当点N在y轴上时，四边形是矩形，此时点P的横坐标为：，

如图2，当四边形是矩形时，设，，则，由题意得：，得，解得：，综上所述，点P的横坐标为：，．变式6．（2023·广东深圳·统考模拟预测）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答：(1)作图探究：①下表是y与x的几组对应值：x…01234…y…830m00n8…___________，___________；②在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：

(2)深入思考：根据所作图象，回答下列问题：①方程的解是___________；②如果的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是___________；(3)延伸思考：将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程．【解析】（1）①当时，；当时，；答案为：；3；②描点，连线，该函数的图象如图，

（2）①由函数图象可得方程的解是或或；②根据的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是；答案为：①或或；②；（3）根据函数图象的平移规则可得：将函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到的图象；题型四：二次函数图像的平移变换例10．（2023·广东广州·校考二模）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点．(1)将沿y轴正方向平移t个单位得到，当抛物线与有且仅有一个公共点时，求t的取值．(2)当时，抛物线恒在直线的上方，求的取值范围．(3)将此抛物线在A，B之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）记为G，在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）是否存在有且只有8个？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵，∴抛物线顶点坐标为，由题意可得：当抛物线与有且仅有一个公共点时即过顶点，∴；（2）由题意可得：当时，恒成立，即当时，恒成立，所以有当时，且当时，，即由①得，由②得，∴；（3）由题意得，∴抛物线顶点坐标为，令，得，设，在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）有且只有8个可得：且，解得．∴．例11．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

(1)求该抛物线的解析式；(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．【解析】（1）把点代入得：，解得，∴抛物线的解析式为：（2）抛物线向下平移n个单位后得：，把点代入得：解得：即n的值为1．例12．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，顶点在轴负半轴上的抛物线与直线相交于点，，连接.

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若将抛物线向下平移个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线的下方，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.【解析】（1）∵由图象可知抛物线的对称轴为，∴，∴设抛物线的解析式为，∵抛物线与直线相交于点，，∴，∴，∴抛物线的解析式为，（2）存在一点，使得，理由如下：∵将抛物线向下平移个单位长度，∴平移后的抛物线为，过点作轴，交于点，交轴于点，过点作轴交于点，设，，∴,∵，∴，,∴，∵平移之前抛物线的解析式为，直线的解析式为，∴，，∴，∴,整理得到：,∴,∴,，∴或，

变式7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线与x轴相交于A、B两点（点B在点A的左侧），点A的坐标是，与y轴相交于点C，将抛物线L绕点旋转得到抛物线．(1)求抛物线的函数表达式．(2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线，与x轴相交于、两点（点在点的左侧），与y轴相交于点，要使，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．【解析】（1）把代入抛物线解析式得：解得，∴，则抛物线的顶点坐标为，顶点关于点的对称点为，∴的函数表达式为；

（2）当时，，∴抛物线与y轴的交点为，由题可知，要使，则与y轴的交点为，令，解得或，∴只需将抛物线向右平移2个单位或向左平移8个单位，∴的函数解析式为：或．题型五：二次函数的最值问题例13．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等．(1)若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；(2)若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．(3)记（2）中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．【解析】（1）∵当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等，∴二次函数的对称轴为，，∵该函数的最大值为，∴该函数的顶点坐标为，∴，∴由①②可得：，∴函数表达式为：；（2）∵该函数的图象与轴有且只有一个交点，∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，∴，，∴由①②可得（舍去），，∴，；（3）由（2）可得的解析式为：，∵将抛物线向上平移个单位得到抛物线，∴，∴当时，，∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为，∴，随的增大而增大，∴，∴，∴，∴，∵，∴．例14．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，，连接．

(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D为第四象限抛物线上的一个动点，且D点的横坐标为m，过点D作轴，垂足为点E，交于点F，过点D作交x轴于点N，交于点M．①写出的值为，并求出线段的长（用含m的代数式表示）；②若D点的横坐标m满足，其中，当的最小值为时，求t的值．【解析】（1）由于抛物线与x轴交于两点，故设抛物线的解析式为：．∵，∴C点坐标为，将C点坐标代入中，得:，∴．故抛物线的解析式为，整理成一般式：；（2）①∵，∴；∵轴，，∴；而，∴；故答案为；设经过点的直线的解析式为，将代入上面解析式，得：，解得：，∴设直线的解析式为：；过点M作于点G，如图，

∵轴，∴，而，∴，∴，；∵，∴，∴，即，∴；∵轴，点F在上，∴点F的横坐标也为m，代入直线的解析式，得点F的坐标为，又∵D的坐标为，∴，即；②∵，∴当时，函数值随m的增大而增大，当时，函数值随m的增大而减小，∴函数当时取得最大值；∵D点的横坐标m满足，其中，∴当时，函数值随m的增大而增大，当时，函数值随m的增大而减小，∴在或时取得最小值；当时，，解得：或（舍去），当时，，解得：（舍去）或，综上，满足条件的t值为或．例15．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，且，

(1)求这个抛物线的解析式；(2)如图1，点为第三象限抛物线上的点，设点的横坐标为，面积，求与的函数解析式（直接写出自变量的取值范围）；(3)如图2，在（2）的条件下，为延长线上的一点，与交于点，若，求的最大值．【解析】（1）把，分别代入解析式，得，解得，故抛物线的解析式为．（2）如图，设与x轴的交点为F，∵点为第三象限抛物线上的点，∴，

设，直线的解析式，∴，解得，∴直线的解析式，∴，∴，∴，故．（3）∵，，，∴，，∵，，∴，解得（舍去）∴，∴直线的解析式，∴，

．设直线的解析式，∴，解得，∴直线的解析式，设，∴，∴；设直线的解析式，∴，解得，

∴直线的解析式，设直线的解析式，∴，解得，∴直线的解析式，∴，解得，∴，

；；∴，

∴，∴的最大值为．变式8．（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）如图，在矩形中，点为边的中点，点为上的一个动点，连接并延长，交的延长线于点，以为底边在下方作等腰，且．

(1)如图①，若点恰好落在上，连接，．求证：；(2)如图②，点H落在矩形内，连接，若，，求四边形面积的最大值．【解析】（1）证明：过点作于点，如图所示，

四边形为矩形，．为中点，．，，，．．为等腰直角三角形，，．．，四边形为矩形，，四边形为矩形．，，

．，，．．四边形为矩形，四边形为正方形．，，．（2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，连接和，如图所示，

按照（1）的方法可证明，．为等腰直角三角形，，．，四边形为矩形，，四边形为矩形．，，．，，．，．，，

．四边形为矩形，四边形为正方形．．，．，，，四边形为矩形．．．设，，

．，时，的面积最大，且最大值为．四边形的面积的最大值为：．故答案为：．变式9．（2023·福建泉州·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，对称轴为直线．已知点，点C是y轴负半轴上一点，直线l经过P、C两点，且与抛物线交于A、B两点（点A在线段上）．(1)求抛物线的解析式；(2)若，求点A的坐标；(3)记，判断m是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵抛物线经过原点，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为；（2）如图1，过点B作轴于H，则，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，当时，，∴点，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，联立方程组，得，解得：，，∴；（3）设直线l的解析式为，把代入得：，∴，∴直线l的解析式为，联立，得：，整理得：，如图2，设，，则，，过点A作轴，过点B作轴，则，，∵∴，∵，∴，∴，∴m存在最小值，当时，m的最小值为4．变式10．（2023·广东广州·广州四十七中校考三模）已知直线经过点和点．(1)求直线的解析式；(2)若点是直线上的一点，以点为顶点的抛物线经过点，且开口向上．①试求的取值范围；②设抛物线与直线的另一个交点为，当点向左平移一个单位长度后所得到的点也在图象上，且，试求在的图象的最高点的坐标．【解析】（1）把点和点代入得：，∴，∴直线的解析式为；（2）①∵点是直线上的一点，∴，∵抛物线G是以点P为顶点的抛物线，∴可设抛物线G的解析式为，∵抛物线G经过，∴，∴，当时，则，不符合题意；当时，则，∵抛物线G开口向上，∴，∴，∴且，∵，∴且；②∵抛物线G得顶点为，∴抛物线的对称轴为直线，设点Q得坐标为，∵点向左平移一个单位长度后所得到的点，∴点得坐标为，∵点Q和点都在抛物线G上，∴点Q和点关于抛物线对称轴对称，∴，即，∴点得坐标为，∴，∴，∴，∴，解得（舍去）或；∴抛物线G的解析式为，∴当，即时，∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴离对称轴越远函数值越大，∵，∴当，，∴最高点的坐标为变式11．（2023·湖南长沙·校考二模）若三个非零实数中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数三构成“雅境三元数”．(1)实数可以构成“雅境三元数”吗？请说明理由；(2)若M1(，)，M2(，)，M3(，)三点均在函数（为常数且）的图象上且这三点的纵坐标，，构成“雅境三元数”，求实数的值；(3)设非负实数是“雅境三元数”且满足，其中是关于的一元二次方程的两个根，若过点A的二次函数同时满足以下两个条件：①；②当时，函数的最小值等于．求二次函数解析式．【解析】（1），，1，4可以构成“雅境三元数”．（2），，构成“雅境三元数”，有三种可能①当，可以根据条件得到，即，无解；②当，可以根据条件得到，即，解得；③当，可以根据条件得到，即，解得；满足条件的或者．（3）非负实数，，是“雅境三元数”且满足，．

又，是关于的一元二次方程的两个根，，或（舍去）．

抛物线经过点，，又，，，，

对称轴，取值范围，①若，则开口向上，由题意时取得最小值，解得或（舍去）．二次函数解析式：．②若，则开口向下，当时，即时，由题意时取得最小值，解得或2（舍去）．二次函数解析式：．当时，即时，由题意时取得最小值，解得（舍去）或（舍去）．综上所述，所求二次函数解析式为或．【过关测试】一、单选题1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件元涨到每件元，则平均每次涨价的百分率为（

）A． B． C． D．36%【答案】B【解析】设平均每次涨价的百分率为，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），的值为，即平均每次涨价的百分率为，故选：．2．（2023·福建福州·校考三模）已知二次函数（其中是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与轴有唯一公共点，则的值为（）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】抛物线经过不同两点，，抛物线对称轴为直线，即，整理得，抛物线与轴有唯一交点，∴，，，．故选：C．3．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知是一元二次方程的两根，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】变形得，，∴，∴，∴，∴或，∵，当时，原式；当时，原式；综上所述，的值是，故选：．4．（2023·北京海淀·北京市师达中学校考模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（

）A． B．0 C．1 D．4【答案】C【解析】∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，解得，故选：C．5．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知为正整数，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】变形得，，∵为正整数，∴存在正整数，使得①，∴，即，∴②，设关于的方程为③，方程有两个正整数解，∴，∴，∵为正整数，∴的值为，可证为时方程③无正整数根，∴当时，方程得，，解得，，，∴，故选：．6．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵关于的一元二次方程无实数解，∴，∴，故选A．7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得抛物线解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得抛物线解析式为：，即：，故选：A．8．（2023·天津滨海新·统考二模）二次函数大致图象如图所示，其中顶点为，下列结论①；②；③若方程有两根为和，且，则，其中正确的个数是（

）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】抛物线的顶点坐标为，，抛物线的开口向下，，，，，所以①错误；当时，，解得或，抛物线与轴的交点坐标为，，时，，，所以②错误；方程有两个根和，抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，，所以③正确；综上：正确的个数为1个，故选：B．9．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知某拋物线开口向下，经过点，，，且．若点，，在该抛物线上，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】拋物线开口向下，经过点，，，且．∴对称轴，又∵，，在该抛物线上，∴到抛物线的对称轴的距离最近，到抛物线对称轴的距离最远，且∴，故选：C．

10．（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵二次函数的图象经过点,，∴，解得，∴抛物线的解析式是，∴抛物线的顶点坐标为，∴当时，抛物线有最大值4，由于当时，，且在范围内有最大值为4，最小值为，∴根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是；故选：C.二、填空题11．（2023·湖北武汉·武汉市第一初级中学校考模拟预测）已知关于的函数，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②当时，随增大而减小；③点，是函数的图象上不同的两点，则；④函数的最小值为．其中正确的结论是______．（填写序号）【答案】②③④【解析】当时，；当时，，如图所示，

故①错误，当时，随增大而减小，故②正确；③点，是函数的图象上不同的两点，设，根据图象可得，则故③正确；④函数的最小值为．故④正确；故答案为：②③④．12．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）一元二次方程的两个实数根是，，且，则________．【答案】【解析】一元二次方程的两个实数根是，，，，，，故答案为：．13．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】关于的一元二次方程有实数根，，解得，故答案为：．14．（2023·湖北恩施·统考二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则__________．【答案】【解析】∵，∴，∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．15．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）如图，在正方形中，点，点，则二次函数与正方形有交点时，的最大值是______．

【答案】【解析】由题意，该抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的顶点在直线上移动，∵四边形为正方形，点，点，∴点的坐标为，如图所示，当抛物线左侧经过点时，取得最大值，

将代入得：，解得：或（不合题意，舍去），故答案为：．16．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知如图，平面直角坐标系中，一条直线与抛物线相交于、两点，求当时的x的取值范围是______．

【答案】或【解析】由图象可得，∵、∴当或时，．故答案为：或．17．（2023·江苏南通·统考三模）已知，点、、、分别在正方形的边、、、上，，、相交于点，，已知正方形的边长为16，长为20，则面积的最大值为______．

【答案】32【解析】如图，作于点M，交于点N，

四边形是正方形，，，又，四边形是矩形，，四边形，，，都是矩形，，设，则，四边形是矩形，，，，，，即，解得，，，，当时，取最大值，最大值为32，故答案为：32．三、解答题18．（2023·河南新乡·统考三模）教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，如图（1）在正方形绿化带内修建一个矩形耕种园，其中点在上，点在上，已知正方形绿化带的面积为，，是墙壁，，无墙壁．已知矩形耕种园的面积为正方形花园面积的，该耕种园借助绿化带的墙壁，只设置围栏，即可．小明用所学的数学知识进行了如下探究．

(1)建立数学模型由题意知，此耕种园的面积为，设米，则米．设所需围栏的长度为米，则关于的函数解析式为______．(2)画出函数图象①列表：581016202520其中，______．②请根据上表数据，在如图（2）所示的平面直角坐标系中描点，并画出关于的函数图象，其中，自变量的取值范围是______．(3)观察函数图象，解决问题①当所用围栏最短时，的长为______米．②若学校打算用20.5米的围栏建设耕种园（围栏正好用完），则______米．③若围栏的长度为米，则的取值范围为______时，每一个值都对应两种围栏方式．【解析】（1）∵为矩形，∴，，∴围栏的长度,故荅案为：；（2）①将代入可得：，∴；②根据表中数据描点作图如下：

由图可得自变量的取值范围是；（3）①当时，，化简得：，此时只有对应函数值，由函数图象可知当最小时，只有一个自变量可使函数取最小值，∵∴围栏最短时，；②将代入函数关系式可得：，化简得：，∴或；∵，∴或；③当时有或两种方案，当时只有一种种方案，当时每个函数值都有两个自变量与之相对应，∴.19．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，直线与反比例函数在第一条限内交于，两点，轴上的点满足．

(1)若点坐标为，求点的坐标；(2)若的面积为，求实数的值；(3)设点，的坐标分别为，，求的值．【解析】（1）∵点在直线与反比例函数图像上，∴，，∴，，∴直线的解析式为，反比例函数的解析式为，联立，得：，解得：，，∴点的坐标为．（2）如图，过点作于点，∵点在反比例函数的图像上，，∴，∵，∴，∴，∵的面积为，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴实数的值为．（3）∵直线与反比例函数在第一条限内交于，两点，点，的坐标分别为，，∴，∴，∴，∵，∴，∴的值为．20．（2023·江苏泰州·统考三模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．

(1)求