沪教版（上海）7年级寒假班03-实数的运算及有效数字-教师版

教师日期

学生

课程编号03课型新课

课题实数的运算

教学目标

1.知道实数运算的意义,掌握实数加减乘除.乘方.开方等运算的法则和有关运算律;

2.知道准确数.近似数.精确度.有效数字等概念的含义.

教学重难点

1.熟练掌握实数的运算法则及相关运算律,正确进行实数运算;

2.平方根和立方根运算，实数的混合运算注意符号等相关问题.

教学安排

版块时长

1实数的运算40分钟

2实数的混合运算30分钟

3准确数.近似数.精确度.有效数字25分钟

4随堂检测25分钟

5回家作业（下ー节课讲解）10分钟

初一数学寒假班（）

(do实数的运算

知识结构

模块ー实数的运算

知识精讲

知识点h实数比较大小

正数＞0＞负数;

比较两数大小是中学数学中的基本类型.基本技能,以下介绍几种常用的方法:

1.近似值法:借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法;

2.平方法:将两个数先平方,再来判定两个数大小的方法;

3.求差法:先求两个数的差,用差与〇作比较来判定两个数大小的方法.即。ー6大于、

等于、小于〇可判定a大于、等于、小于b；

4.求商法:先求两个数的商,用商与1作比较判定两个数大小的方法.即ユ大于、等于、

h

小于1,可判定正数。大于、等于、小于正数わ;

5,求倒数法:先求两个数的倒数,用倒数的大小来判定两个数大小的方法.即对于符号相

同的a,6两数，若丄〈丄，则若丄>丄，则a<6.

abab

知识点2:数轴上两点的距离公式

在数轴上，如果点ん点8所对应的数分别为a.b,那么48两点的距离ス8=|a-6|.

知识点3:实数的运算

在实数范围内,可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实

数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同,先乘方.开

方.再乘除,最后算加减,同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的.实数运算的

结果是唯一的.

实数运算常用到的公式有：

第一・组：(〃)2=a(aW0);=|a|;

第二组：y[ab=>^>y[b(a>0,6>0)；J-=^(a>0,b>0).

例题解析

【例1]填空:

1.在数轴上，原点左边是实数，原点右边是.实数,原点为〇;

2.数轴上右边的点所表示的数左边的点所表示的数.

【难度】★1.负，正；2.大于.

考查实数的大小比较的最基本方法.

【例2】化简:

迫ー♦

(1)-6V5+4夜;(2)62；(3)3拒・4ゼ;

⑷员L；⑸(-⑸；⑹(-3⑸.

【难度】★(1)-2行;(2)-—；(3)24；(4)-2；(5)-2；(6)18.

3

(2)原式=咅ー乎=一型=ー且;⑷原式=&メ5)=-2；

(6)原式=(~3竝)xQJ后)=18.

【例3】下列各式计算正确的是()

4我=±2B.8(-ユチ=V(-2)3=~2

C.怎=5D.一戸=3

【难度】

A、原式=2；B、原式=/2ノ=2；D、左边=-2,右边=2,所以不相等.

【总结】考查实数的基本运算,注意法则的准确运用.

【例4】比较下列各数的大小(填“〉”.“=”或“く”)

(1)2石372；(2)(-2>序;(3)加--------5

(4)7154；(5)275372；(6)7Tl-VTol.

【难度】★★(1)V；(2)>；(3)<；(4)<；(5)>；(6)<.

(1)351=12<18=G&j；(2)(-2)2=4>-2=レ8；

(3)師)=25<27=々3)；(4)V15<716=4；

(5)(205)=20>18=6拒);(6)乃=3.1415〈卜痴卜3.1622.

【总结】考查实数的比较大小,注意平方法是最常用的方法,ー些常用的近似数要熟记.

【例5】比较大小:

(1)2+76V3+2V2(平方法)；

(2)V7-V5(取倒法)V5-V3.

【难度】★★(1)<；(2)<.

(1)：&+⑹=4+6+46=10+4后,伊+2,2)=11+4庭,

(2+逐〈(省+2拘；

1_V7+V5]V5+V3

>.•.("一石<(V5-V3).

出-#!-2V5-V3-2

【总结】考查利用平方法比较实数的大小.

【例6】下列说法正确的是()

A.若同=例,则涙=がB.若メ〉ガ,则〃>/?

C.若同=《份),贝リ。=力D.若れ=か,贝リ4=6

【难度】

A、°、6可能一个为正一个位负,错;B、错;C、。可能是负数,错;D、正确.

【总结】考查实数的相关概念及运算,注意从多个角度去分析.

【例7】如果同=4,4b=2,且ab<0,则ト+4=.

【难度】★★0.

\[b=2,；.b=4,又,.,あ<〇,a=-4,|a+Z>|=0.

【总结】考查实数的基本运算,注意判定。、万的符号.

【例8】化简:

(1)如果在数轴上表示。ウ两个实数的点的位置如图所示,化简:\a-b\+\a+b\

0b

(2)如图,实数。在数轴上所对应的点是产，化简代数式|。+1|+|。+2].

-2万一101

【难度】★★

⑴-2。;(2)1.

(1)由图易知。<0,ft>0]。|>回,\a-b\+\a+b\=b-a-a-b--2a；

(2)由图易知一2<a<-l,.••原式|。+リ+|。+2|=-.-1+。+2=1.

【总结】本题主要考查含绝对值的代数式的化简,注意判定绝对值里的数的正负.

【例9】计算:(1)716-^=27.(2)

【难度】★★(1)7；(2)0.

(1)原式=4-(-3)=7；(2)原式=一;+；=0.

【总结】考查实数的基本运算,注意符号的变化.

【例10]计算:

(1)S-X石+3);(2)g-3)；

(3)指ーす祈+9]；(4)V16xV5-Vi25x

【难度】★★

(1)-4；(2)14-6石;(3)V6-7；(4)475-40.

(1)原式=ゆ，-32=一4；(2)原式=5+9-6石=14-6氐

(3)原式=而ー6-1=的一7；(4)原式=4石-5x8=4石一4〇.

【总结】考查实数的基本运算,能简便运算时要简便运算.

【例11】计算:

⑴5加一(3应一河⑵50+4テ7的;

(3)痛」而+5._:产;(4)4ー冋ー伊jx遅.

【难度】★★(1)-72；(2)-8-9そ;(3)2后；(4)-1-2月.

3

(1)原式=5母ー30+产=(5-3+J亚=gそ;

(2)原式=5そ+4x(-2)-7x2そ=-8-9そ;

(3)原式=30-石+石一石=2お;(4)原式=6-1-3百=-1-2け.

【总结】考查实数的基本运算,注意公式及法则的准确运用.

【例12】设5+S的小数部分为0,5一れ的小数部分为レ,求め+56的值.

【难度】★★2.

2<V7<3,7<5+V7<8,2<5-V7<3,

/-5+折勺整数部分为フ5-Vy的整数部分为2,

ュ。=5+6一7=近-2,6=5-77-2=3-77

4み+5み=(五ー2券ーV7>50ーけ)=3/—7—6+2け+15-5疗=2.

【总结】本题综合性较强，主要考查了求一个无理数的整数部分和分数部分，要注意对方

法的归纳总结.

【例13]若るー2+x-y-C-x=5,则x"=.

【难度】★★次.

_1i_1

由二次根式的定义得:x-220,2-xNOx=2,y=-3,，:テ=27=2§=次.

【总结】本题主要考查平方根性质的运用及实数的基本运算.

【例14】已知&=10'现=10ー',且q=エ,求x的值.

xb

【难度】★★★10.

由题意,得:67=106,6=10一3,又〈区ニニ,X3==103,/-x=10.

xb

【总结】本题主要考查开方与乘方的综合运用,注意两者的区别.

【例15】化简下列各式:

(1)|V5-3|+|V5+a2|；(2)卜-q(l-x)"(其中1cx<2)；

(3)|x—2|-F|x—3|.

【难度】★★★(1)3+ガ;(2)2-x；(3)见解析.

(1)原式=3-+a?=3+ガ;(2)原式=-卩ー刈=12一司=2-x；

(3)当x23时,原式=ズー2+スー3=2ズー5;当2<x<3时,原式=スー2—x+3=1；

当ス<2时,原式二2ースース+3=5—2x.

【总结】考查实数的基本计算及含绝对值的化简,注意要分类讨论.

\fy-2x+\x~—25l

【例16】己知^----尸丄----^=0,求7(x+y)-20的立方根.

\j5-x

【难度】★★★一5.

由题意,知:y—2x=0,ズー25=05-x>0,x=-5,歹=-10.

.ゝ7(x+力ー20=7x(―5—10)—20=—125,/.7(x+刃ー20的立方根是ー5.

【总结】考查非负数的和为零的基本模型以及求实数的立方根的运算.

［例17］化简:ジ+2&=.“-2ノ3=.

【难度】★★★(1)1+0；(2)V3-1.

(1)原式/+ノ2)=1+夜;(2)原式=/一百)=«一1.

【总结】考查复合二次根式的化简,综合性较强,注意方法的总结,教师讲解时选择性讲

解.

【例18]已知:。+ガ=5,求(1)a2+a2；(2)+a^­,(3)a2-a.

【难度】★★★(1)23；(2)77；(3)±V3

⑴/+む=,+ガ]一2。ダ=25-2=23；

(2)V■+户=〃+バ+2=5+2=7,且“f2>o,

Vノ

(3),?-a[=ノ+。=7—4=3,—a^=±73.

【总结】考查完全平方公式在实数运算中的运用,注意对符号的判定.

【例19】已知12017一同+夜ー2017=a,求的值Q17?

【难度】★★★2017.

由题已知:t/-2017>0,.-.a>2017,

A|2017-a|+7a-2017=a-2017+7«-2017=a,

A7a-2017=2017,两边同时平方得a-2017=2017?,.•.0ー2017?=2017.

【总结】本题主要考查平方根有意义的条件,及平方运算的运用.

【例20】已知a,6是实数，且a2+/+2a+86+17=0,则的值为.

【难度】★★★(.

,.•グ+ガ+2a+8b+17=（a+iy+0+4）2=0,Aa=-1,b=-4,

・.・原式=E+旧=g+2=|・

【总结】本题主要考查完全平方公式的运用及实数的运算及化简,通过配完全平方求字母

的值是实数运算中常用的方法,注意总结.

____模块二:近似数与有效数字"

⑥）知识精讲

知识点:有关概念

I.准确数概念:

一般来说,完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数.

2.近似数概念:

与准确数达到ー定接近程度的数叫做近似数（或近似值）.

☆在很多情况下,很难取得准确数,或者不必使用准确数,而可使用近似数.

☆取近似数的方法：四舍五入法,进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）

3.精确度概念:

近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求,叫做精确度.

☆近似数的精确度通常有两种表示方法：

（1）精确到哪ー个数位:

（2）保留几个有效数字.

4.有效数字概念：

对于一个近似数,从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字,

叫做这个近似数的有效数字.

例题解析

【例21］下列数据中,哪些是近似数?哪些是准确数?

(1)上海科技馆的建筑面积约98000平方米;

(2)我们班9位同学的身高为1.65米;

(3)地球赤道的半径为6378千米;

(4)据国家统计局在2005年12月公布的经济普查结果,我国2005年G。尸总量

达到亿元.

【难度】★见解析.

(1)98000近似数；(2)9准确数，1.65近似数；(3)6378近似数；(4)2005、12

准确数,近似数.

【例22】已知万=3.1415926……，按四舍五入法取近似值.

(1)兀ヱ(保留五个有效数字)；

(2)兀=(保留三个有效数字)；

(3)0.045267-(保留三个有效数字).

【难度】★(1)3.1416；(2)3.14；(3)0.0453.

考查有效数字的概念及四舍五入法的运用.

【例23】月球沿一定的轨道绕地球运动,它在近地点时与地球相距km在远地点时地球

相距k〃’.按下列精确度要求,用科学记数法表示这两个数的近似数:

(1)精确到万位;(2)保留三个有效数字.

【难度】★★

(1)3.6xlO\4.1xl05：(2)3.63x10s,4.06xlO5.

考查科学记数法及有效数字表示.

【例24］下列近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字?

(1)5691；(2)0.0589；(3)；

(4)0.003亿;(5)8.1xlO4.

【难度】★★

(1)个位,4个;(2)万分位,3个;(3)个位,6个

(4)十万位，1个;(5)千位，2个

对于ー个近似数,从左边第一个不是零的数字起,往右到末位数字为止的所有数字,叫做

这个近似数的有效数字.

【例25】己知圆锥ビ=丄仃2ム，其中『为底边圆半径,/7为圆锥的高.ー圆锥形仓库,底边

直径为10机,高为け〃,，若每立方米的货物重750起，则这个仓库堆有货物多少千克?

(け”1.732,结果精确到万千克)

【难度】★★3万千克.

750xド=750x1万戸/j=750x丄x3.14x(好)x石=33990.5kg=3万千克.

【总结】考查基本公式的应用，注意精确度的要求.

【例26】在地面上围建一个花坛,底部形状设计如图，它的外周由圆弧ス8C与正方形

/DEC的三条边组成.已知圆弧的半径一。4=ズ。,ZAOC=60°,正方形スDEC的面积

为30才,求花坛底部的周长(同=5.48,保留三个有效数字).

【难度】★★★45.1m.

正方形ADEC的面积为30平方米,：.AD==OA=同机,

.n兀r300x3.14x7301,

..---+3AD=---------------------+3x<30«45.1加,

180180

【总结】考查弧长和正方形的面积和周长，综合性较强

【习题1】数轴上表示数3的点与表示数一6的点之间的距离为

【难度】・9.

3-（-6）=9.

【总结】考查数轴上两点间距离的计算.

【习题2】把10086用四舍五入法保留三个有效数字的近似值为（）

A.101B.100C.10100D.l.OlxlO4

【难度】★口

考查四舍五入法及有效数字的概念.

【习题3】0.596精确到0.01的近似值为（）

A.0.59B.0.6C.0.60D.0.600

【难度】

末尾是6要进1,.♦・精确到0.01是0.6〇.

【总结】主要考查对精确度的理解,注意四舍五入的运用.

【习题4】若の有意义,则的值一定是()

A.正数B.负数C.非正数D.非负数

【难度】

,.•・エ•有意义,.'.a40aメエ'是非正数.

【总结】主要考查平方根的性质的运用.

【习题5】数轴上表示实数x的点在表示ー1的点的左边，则而ー庁ー2|x-l|的值()

A.正数8.负数C.小于ー1D.大于ー1

【难度】

由题已知:x<-l,.,.原式=|x-l|-2|x-リ=1-X-2(1-x)=1-x-2+2x=x-1,

.,.必ー1)2-2|x-l|<-2.

【总结】考查数轴上点的大小及含绝对值的计算及化简.

【习题6】无论ハわ为何实数,グ+ガー2"4〃+20的值一定是()

A.大于!58.大于等于15C.小于15D.小于等于15

【难度】★★B

a2+b2-2a-4h+20=(a-\y+(b-2^+\5,.*.大于等于!5

【总结】考查完全平方公式的应用.

[习题7]比较下列各组数的大小:

(1)后和2；(2)JT5和3；(3)-后和一6.

【难度】★★(1)>;(2)>；(3)>.

(1)V(75J=5>4=22,.•.石>2；(2):a0，=10>9=32,.••所>3；

(3)•.,ゆ5j=35<36=6?,-735>-6.

【总结】考查实数的比较大小.

【习题8】已知。,う两数在数轴上表示如下:化简:

&"+2)ー46-2)+取a+ム).ba

―•—1----1-----•----1~•一・"

-2-1012

【难度】★★〇

由图知ら<—2<1<67,*,•原式=レ+21ーレー21+レ+4=a+2—(2—b)-a—b=0.

【总结】考查数轴上点的大小及利用平方根的性质进行化简.

【习题9】若向+。=0,则化简时;=

レー斗

【难度】

・•・同+a=0,「•同=ー〃,a<0,.•・原式——=----=1.

111I卜ー2|2-Q

【总结】主要考查利用平方根的性质化简代数式及求值.

【习题10】若曰ー16|+J2尸1=0,则ガ=.

【难度】

1,11

由题已知:X—16=0,2j^—1=0,x=16,y=—，xy=162=4.

【总结】本题ー方面考查平方根的性质,另一方面考查非负数的和为零的基本模型的运

用.

【习题II]若い+“2=2,贝リ“+.的值是（）

A.-2B.2C.4D.0

【难度】★★B

"+パ+〃5-2=4—2=2.

Kノ

【总结】考查完全平方公式的应用.

【习题12】计算:

(1)2V5+V5-4V5;(2)—ciH—73a----ci；

234

(2)(y/a-b)(\/a+b)；(4)(厉-4)“屈+4『;

(5)(5-2后)+石,

【难度】★★

(1)-75；(2)口福;(,a-b2：(4)1；(5)V5-2.

12

⑵原式セ+ゴス丿区皇品;

(1)原式=(2+1-4脂=一逐;

(3)原式=(石jー〃”ー从;(4)原式=[/-4)(s/^+4力ユ=(15-16)2=1；

（5）原式=5+逐一2石+這=這ー2.

【总结】考查实数的基本运算,注意公式及法则的准确运用.

【习题13】设オ的小数部分为。,取（4+の。的值是（)

A.1B.3C,是一个无理数D.无法确定

【难度】★★★B

；2</<3,.•.ル的整数部分为2,ユ。=77-2,

.••原式=G+/-2)(77-2)=伊+2)¢/7-2)=3.

【总结】本题主要考查求无理数的整数部分与小数部分的运用.

【习题14】计算下列各式:

(1)|-5|-+(-2广-(6一2)°；

(3)(—3+V6)(—3—y/b)—(>/5——j=)~

【难度】★★★(1)4；(2)—；

40

(1)原式=5ー丄+丄ー1=4；

44

(2)原式=ーー0.125+0.8-----1=1-1+-+1-1=—；

24285440

(3)原式=(_3)ユ一0j一5一;+2=9_6_5-2+2=

5

(4)原式=1+9-(71-1)-6+1=10-6+1-6+1=6ーけ.

【总结】本题主要考查实数的综合运算,包含了零次基及平方根和立方根的综合运算,综

合性较强,计算时注意符号的确定及法则的准确运用.

课后作业

【作业1】近似数0.0010000有个有效数字.

【难度】十5

考查有效数字的概念.

【作业2】把256790用四舍五入法保留三个有效数字的近似值为（）

A.25.6xlO4B.25.7x10"C.2.56x10$D.2.57xlO5

【难度】★口

考查四舍五入及有效数字.

【作业3】计算

【难度】・

【总结】考查平方根及立方根的综合运算.

【作业4】计算:

(1)3及x-6伝+，広:；(2)(百一そ)2-(&+竝)2；

(3)5G-26x3板;(4)(5遥+Gx两+痴.

【难度】★★(1)--V2x；(2)-476；(3)-7也;(4)7.

3

(1)原式=卜ー6+］伝=—g伝；(2)原式=3-2后+2-3-2痴ー2=-4指;

(3)原式=56一12け=-76；(4)原式=5Q遅+Gx&+痴=5+2=7.

【总结】本题主要考查实数的运算,注意公式和法则的准确运用.

【作业5】比较下列各组数的大小:

(1)一夜和一3：(2)一岳和-4；(3)和一10.

【难度】★★(1)>；(2)>；(3)<.

⑴(厨=8<9=3?,.•.ー凤ー3；

(2)(s/15^=15<16=42,.,.一而>-4；

(3)MoiJ=101>100=102,A-V101<-10.

【总结】本题主要考查实数的比较大小.

【作业6】已知",わ在数轴上的位置如图所示,化简:

yl(a+1)'+—I)2--b)~.

【难度】2.