专题04二次函数的图像与一元二次方程根的分布

专题04二次函数的图像与一元二次方程根的分布【初高中知识点衔接】知识点初中高中二次函数与一元二次方程的关系建立二次函数与一元二次方程的联系,能以函数的观点来理解一元二次方程，并根据相应一元二次方程的根的情况分析二次函数的图像特征，此内容内容是初中九年级拓展内容，属于选修内容此内容是高中阶段必须掌握的内容【知识回顾与衔接】一元二次方程的根可以转化为对应的二次函数的图像与坐标轴轴交点的横坐标,所以在处理一元二次方程根的问题时，可以转化为相应的二次函数的图像进行处理，也是数形结合的思想方法的体现【例题精讲】1、若，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】求出对称轴、及，即可判断函数所过象限，从而得解.【详解】对于函数，因为，，则对称轴为，，且，所以函数开口向下，对称轴在轴右侧，与轴有两个交点，且交轴负半轴，故函数经过一、三、四象限，不经过第二象限.故选：B2、已知，并且m、n是方程的两根，则实数a、b、m、n的大小关系可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先设，从条件中得到的图象可看成是由的图象向上平移1个单位得到，然后结合图象判定实数的大小关系即可．【详解】设，又，分别画出这两个函数的图象，其中的图象可看成是由的图象向上平移1个单位得到，如图，

由图可知：．故选：A．3、若二次函数的图像都在轴下方，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】二次函数必须满足二次项系数，其次恒成立可利用二次不等式在上恒成立的处理方法来做即可.【详解】由于是二次函数，则二次项系数，依题意，对于恒成立，则二次函数开口必然向下，且和轴没有交点，即，解得.故选：A4、二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且，如图所示，则的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】根据题意和图形可知，只需要满足且即可，解不等式即可求解.【详解】由图可得，即，解得，又，所以.故选：.5、已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．或【答案】B【分析】根据方程的两根都大于2，分析的图象特征列出不等式组求解即可.【详解】方程的两根都大于2，则二次函数的图象与轴的两个交点都在的右侧，根据图象得：方程的判别式；当时函数值；函数对称轴.即，解得.故选：B.6、（多选）若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论正确的是（

）A．当时，，B．C．当时，D．二次函数的零点为2和3【答案】ABD【分析】当时，，解方程即可判断选项A，有实数根，，且，根据即可判断选项B，数形结合由图像与图像交点横坐标可判断选项C，由展开得：，先利用韦达定理求出代入可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于A，易知当时，的根为2，3，故A正确；对于B,设，因为的图像与直线有两个交点，所以，故B正确；对于C,当时，的图像由的图像向下平移个单位长度得到，，故C错误；对于D，由展开得：，利用韦达定理求出代入可得，所以二次函数的零点为2和3，故D正确．故选:ABD．7、已知关于x的方程，在下列两种情况下分别求实数a的取值范围.(1)有两个大于1的不等实数根；(2)至少有一个正实数根.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用根的分布可得答案；（2）先求关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时的范围，再求对立面可得答案.【详解】（1）关于x的方程有两个大于1的不等实数根，等价于二次函数的图象与轴有2个大于1的不同实根，可得，解得；（2）关于x的方程无实数根时，，解得，关于x的方程有两个负实数根时，，解得，所以关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时，可得关于x的方程至少有一个正实数根，则.8、已知．(1)若函数有零点，求实数a的取值范围；(2)若方程有两个实根，求的最小值．【答案】(1)(2)0【分析】（1）根据题意集合二次函数的判别式运算求解；（2）利用韦达定理整理可得，结合二次函数的性质求最值.【详解】（1）由题意可得：，解得或，故实数a的取值范围为.（2）由，可得，则，∵的对称轴为，注意到，则当时，取到最小值0，即的最小值为0.9、已知函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，那么实数k的取值范围是__________．【答案】【分析】根据一元二次方程根的分布，结合二次函数的图象性质即可求解.【详解】由题意可知函数有两个零点，所以，若，则为开口向上的二次函数，要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；若，则为开口向下的二次函数，要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；综上可知：或，故答案为：10、二次函数的函数图像与x轴两交点之间的距离为______.【答案】7【分析】令求出与x轴两交点，即可算出答案.【详解】因为，令得，解得，所以，函数图像与x轴两交点之间的距离为.故答案为：711、已知函数在上y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用二次函数的对称轴与进行比较，即可求出答案【详解】因为函数在上y随x的增大而增大则，解得所以实数m的取值范围是故选：A12、二次函数的图象如图所示，那么此函数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图像利用待定系数法设，代入点，即可求出其解析式.【详解】由图象经过可设其解析式为，代入点则有方程，，解得，故其解析式为，化简为.故选：C.【巩固练习】1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（

）

A．图象的对称轴是直线x=1B．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是－1，3C．当x>1时，y随x的增大而减小D．当-1<x<3时，y<0【答案】D【分析】根据二次函数的图象结合其性质判断．【详解】由图象知函数图象与轴的两个交点的横坐标分别是和3，因此B正确；又，因此A正确；时，图象向右下，，y随x的增大而减小，C正确；在时，图象在轴上方，，D错误．故选：D．2、已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出对称轴，确定单调性，然后判断各选项即可．【详解】对称轴为，则在上单调递减，在上是单调递增，A：，故A错误；B：，故B错误；C：，故C错误；D：，故D正确.故选：D.3、已知函数的图象都在x轴的上方，求实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分类讨论函数的平方项系数是否为零，根据常数函数、一次函数、二次函数的图象性质即可求出k的取值范围.【详解】因为的图象都在轴上方，①当时，或，当时，函数为一次函数，不满足条件；当时，函数满足条件；故；②当时，函数为二次函数，则，解得；综上，，即实数k的取值范围为.故选：B.4、设是关于x的方程的根．若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函数图像开口向上，利用根的分布，即可求解实数a的取值范围.【详解】由题意知，函数开口方向向上，若，则函数须同时满足三个条件：当时，，代入解得，恒成立；当时，，代入解得；当时，，代入解得，综上，实数a的取值范围是.故选：A.5、已知方程=0的两根为，满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析二次函数的图象，根据根的分布，结合根的判别式和对称轴，列出不等式组，求出答案.【详解】开口向上，对称轴为，要想满足，则要，解得：.故选：B6、（多选）如图，函数的图像与轴交于，两点，且对称轴为直线，点的坐标为，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】结合二次函数的图像与性质依次分析各选项即可得答案.【详解】解：因为，函数的对称轴为直线，所以，故A选项错误；因为，函数的图像与轴交于，两点，点的坐标为，所以，故B选项正确；因为函数开口向下，在上单调递增，在上单调递减，且图像关于直线对称，所以，故C选项错误；对于D选项，由于有两个不相等的实数根，故，D选项正确.故选：BD7、（多选）已知，分析该函数图象的特征，若方程一根大于3，另一根小于2，则下列推理一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】方程根的问题等价于函数零点问题，利用函数图象进行处理.【详解】由题得，函数的大致图像如图：方程一定有两实数根，故，所以不一定成立，由图可知：必有，，所以C，D一定成立，若，方程的根为，此时，所以此时不成立.故选：CD.8、已知二次函数，在下列条件下，求实数的取值范围．(1)两根均大于1；(2)一个根大于1，一个根小于1．【答案】(1)；(2)【分析】（1）结合二次函数图象，对称轴大于1，，判别式大于等于0，解得的范围即可；（2）结合二次函数图象，只需即可求解【详解】（1）因为方程的两根均大于1，所以，解得，即的取值范围为；（2）由可得，因为方程的一个根大于1，一个根小于1，所以，解得．即的取值范围为．9、函数在区间上（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值【答案】A【分析】作出函数的图象，结合图象可得函数在上的单调性，从而即可得函数在上的最值.【详解】解：因为，所以函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，如图所示：由此可得函数在上单调递增，在上单调递减，所以，无最小值.故选：A.10、关于二次函数，则下列正确的是（

）A．函数图象与x轴总有两个不同的交点B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点D．当时，y随x的增大而