专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式（原卷版）

专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：“知一求二”问题题型二：sinα，cosα的齐次式问题题型三：sinα±cosα，sinαcosα之间的关系题型四：诱导公式题型五：基本关系式与诱导公式的综合应用培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.2.能利用单位圆中的对称性推导出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.【考点预测】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀奇变偶不变，符号看象限【常用结论】1.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【方法技巧】1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.4.诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．5.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.6.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形；注意角的范围对三角函数符号的影响．二、【题型归类】【题型一】“知一求二”问题【典例1】已知α是第四象限角，且tanα＝－eq\f(3,4)，则sinα＝()A．－eq\f(3,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D．－eq\f(4,5)【典例2】已知α是三角形的内角，且tanα＝－eq\f(1,3)，则sinα＋cosα的值为________．【典例3】已知cosα＝－eq\f(5,13)，则13sinα＋5tanα＝.【题型二】sinα，cosα的齐次式问题【典例1】已知eq\f(tanα,tanα－1)＝－1，求下列各式的值：(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.【典例2】已知sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，θ∈(0，π)，则tanθ＝.【典例3】已知tanα＝eq\f(1,2)，则eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝；sin2α＋sinαcosα＋2＝.【题型三】sinα±cosα，sinαcosα之间的关系【典例1】已知α∈(－π，0)，sinα＋cosα＝eq\f(1,5).(1)求sinα－cosα的值；(2)求eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)的值．【典例2】已知tanα＝－eq\f(3,4)，则sinα(sinα－cosα)＝()A.eq\f(21,25) B.eq\f(25,21)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,4)【题型四】诱导公式【典例1】已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值为()A.eq\f(2\r(2),3) B．－eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)【典例2】eq\f(tanπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－α－πsin－π－α)的值为()A．－2B．－1C．1D．2【典例3】已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α))＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α)等于()A.eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)【题型五】基本关系式与诱导公式的综合应用【典例1】已知α为锐角，且2tan(π－α)－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是()A．eq\f(3\r(5),5) B．eq\f(3\r(7),7)C．eq\f(3\r(10),10) D．eq\f(1,3)【典例2】已知α是第三象限角，且f(α)＝eq\f(sin（－α－π）cos（5π－α）tan（2π－α）,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))tan（－α－π）).①化简f(α)；②若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值；③若α＝－420°，求f(α)的值．【典例3】已知tan(－2019π＋θ)＝－2，则2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝()A．－2 B．eq\f(2\r(3)＋1,5)C．eq\f(2\r(3)＋3,5) D．eq\f(3,5)三、【培优训练】【训练一】已知α为第二象限角，则cosαeq\r(1＋tan2α)＋sinαeq\r(1＋\f(1,tan2α))＝________.【训练二】如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是eq\f(1,25)，则sin2θ－cos2θ的值是________.【训练三】(多选)已知f(α)＝eq\f(2sinαcosα－2,sinα＋cosα＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤α≤\f(π,2)))，则下列说法正确的是()A．f(α)的最小值为－eq\r(2)B．f(α)的最小值为－1C．f(α)的最大值为eq\r(2)－1D．f(α)的最大值为1－eq\r(2)【训练四】已知关于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．【训练五】已知sinα＝1－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))，求sin2α＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))＋1的取值范围．【训练六】在△ABC中，(1)求证：cos2eq\f(A＋B,2)＋cos2eq\f(C,2)＝1；(2)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．四、【强化测试】【单选题】1.已知α∈(0，π)，cosα＝－eq\f(3,5)，则tanα＝()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)2.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值是()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(2),3) D．－eq\f(2\r(2),3)3.log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,4)))的值为()A．－1 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)4.若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\f(π,2)，πeq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))，则sin(π－2α)＝()A．－eq\f(24,25) B．－eq\f(12,25)C.eq\f(12,25) D.eq\f(24,25)5.若eq\f(1＋cosα,sinα)＝2，则cosα－3sinα＝()A．－3 B．3C．－eq\f(9,5) D.eq\f(9,5)6.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(17π,12)))等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2\r(2),3)7.已知sin2α＝eq\f(2,3)，则tanα＋eq\f(1,tanα)＝()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C．3 D．28.已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，则tan2α＝()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)【多选题】9.在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC10.已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，则()A.eq\f(π,2)<α<πB．sinαcosα＝－eq\f(12,25)C．cosα－sinα＝eq\f(7,5)D．cosα－sinα＝－eq\f(7,5)11.已知角α满足sinα·cosα≠0，则表达式eq\f(sinα＋kπ,sinα)＋eq\f(cosα＋kπ,cosα)(k∈Z)的取值可能为()A．－2 B．－1或1C．2 D．－2或2或012.若sinα＝eq\f(4,5)，且α为锐角，则下列选项中正确的有()A．tanα＝eq\f(4,3)B．cosα＝eq\f(3,5)C．sinα＋cosα＝eq\f(8,5)D．sinα－cosα＝－eq\f(1,5)【填空题】13.若eq\f(sin（π－θ）＋cos（θ－2π）,sinθ＋cos（π＋θ）)＝eq\f(1,2)，则tanθ＝________.14.若tanα＝－2，则cos2α＋2sin2α＝________.15.已知－eq\f(π,2)＜α＜0，sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，则eq\f(1,cos2α－sin2α)的值为________.16.已知θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.【解答题】17.(1)已知cosα是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))tan2π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))的值；(2)已知sinx＋cosx＝－eq\f(7,13)(0<x<π)，求cosx－2sinx的值．18.已知角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)．(1)求eq\f(sinα＋π＋cosα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＋2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))))的值；(2)若α是第二象限角，求sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＋sin(π－α)cosα－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2