工程流体力学课件

工程流体力学

主讲:冯

进长江大学机械工程学院

§3流体运动学

§3.1研究流体运动的两种方法

一、拉格朗日法

拉格朗日法着眼于质点，它以每个运动着的流体质点为研究对象，观察质点的运动轨迹以及运动参量随时间的变化，综合各质点的运动，得到流体的运动规律。在概念上拉格朗日法直观，但在处理流体运动问题时数学处理较复杂。拉格朗日法的数学表示：

上式中b1、b2、b3为拉格朗日变数，是质点的标记。对同一质点而言，b1、b2和b3是不变的，也就是在某时刻通过某空间点的质点，而不是其他质点。拉格朗日法用坐标分量可表示为：

速度和加速度为：

同理：流体的密度、压强和温度可表示为：

二、欧拉法

欧拉法着眼于充满运动流体的空间（这种空间称为流场），以流场上各个固定的空间点作为考查对象，观察流体质点通过这些固定空间点时运动参数的变化规律，而不涉及具体质点的运动过程。因为在某一空间点，此时刻为某个质点所占据，在另一时刻被另一质点占据。设在某一瞬时，观察到流场中各个空间点上质点的流速，将这些流速综合在一起就构成了一个流速场。

欧拉法的数学表示：在用ux、uy、uz分别表示各坐标轴x,y,z方向上的分量，即：

同理：流体的密度、压强和温度可表示为：

流体质点的加速度表示流体质点由空间点位置M（x、y、z、t），经dt后运动至相邻点M’（x+dx,y+dy,z+dz）时的速度变化，根据全微分定义，其x方向的分量有：其中：

故：同理有：

因此，在t时刻空间点（x,y,z）的加速度为：

上式中▽称为哈密顿算子，在直角坐标下它等于：

在柱坐标下它等于：在球坐标下它等于：

哈密顿算子的运算规则是对哈密顿算子左边的量不作微分，而对哈密顿算子右边的量作微分。表示在某一固定空间点上流体质点速度对时间的变化率，也就是在同一地点由于速度随时间变化而引起的加速度变化，称为当地加速度（局部导数）。表示流体质点经过不同空间位置而引起的加速度变化，称为迁移加速度（位变导数）。

欧拉法表示随体导数的方法对于任何矢量和任何标量φ都成立。例如空间点上流体密度为标量，密度对时间变化的数学表示为：

三、拉格朗日方法与欧拉法的转换1.拉格朗日法转换为欧拉法在拉格朗日方法中，对矢径r作关于时间的偏微分，得质点运动速度：

因为：反解上式三个标量方程得：

代入速度表达式得：

例：设拉格朗日观点给出：

式中Ｃ１和Ｃ２对不同的质点取不同的常数。将此转换到欧拉观点中去，并用两种观点分别求加速度。

2.欧拉法转换为拉格朗日法在欧拉方法中，速度函数：首先求解这三个微分方程，得微分方程的三个解：

用矢径表示其解，可写为：

当确定研究t=t0时刻在空间点（x0,y0,z0）的流体质点时，由上式确定b1、b2和b3，得到该质点的轨迹方程。例：设流体运动以欧拉观点给出：

式中。当t=0时，x=0，y=0，z=0。将此转换到拉格朗日观点中去，并用两种观点分别求加速度。

§3.2流体运动中的基本概念一、定常与非定常

当流场中各点的运动参数不随时间变化时，则称流体流动为稳态流动或定常流动。当流场中各点的运动参数随时间变化时，则称流体流动为非稳态流动或非定常流动。例1：设拉格朗日观点给出:

式中拉格朗日数Ｃ１和Ｃ２对不同的质点取不同的常数。判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。

例2：设欧拉观点给出:

求判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。例3：设欧拉观点给出:求判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。

二、迹线和流线

1.迹线某一流体质点的运动轨迹曲线称为迹线。可见，轨迹的概念是同拉格朗日观点相联系。例：设拉格朗日观点给出:

式中拉格朗日数Ｃ１和Ｃ２对不同的质点取不同的常数。求t=0时，通过点（－１，－１）的质点迹线。

2.流线对于某一固定时刻，流场中存在这样一条曲线，其曲线上任意一点的速度与曲线在该点的切线方向重合，这样的曲线称为流线。流线是同一时刻不同质点所组成的曲线，给出了不同流体质点的运动方向,同一时刻的流线互不相交。可见，流线的概念是同欧拉观点相联系。

流线有如下的性质：（1）除了在速度为零和无穷大的那些点以外，经过空间一点只有一条流线，即流线不能相交，因为在空间每一点只能有一个速度方向；（2）流场中每一点都有一条流线通过，所有的流线形成流线谱；（3）稳态流动时流线的形状和位置不随时间变化，并与迹线重合；非稳态流动时流线的形状和位置是随时间变化的。

在流线上某点的邻域内，取一旋线长dr

，根据流线的定义,即:

上式称为流线方程。流线与欧拉概念相联系。例：设欧拉观点给出:

式中常数a≠0。求t=0时的流线族。解：根据流线方程有：

积分上述方程，得：

故当t=0时的流线族为：

３．迹线与流线的异同点：

Ⅰ.概念上不同

Ⅱ.不定常时迹线与流线一般不重合，

Ⅲ.定常时二者必然重合。

例：流体运动由下列欧拉变数下的速度函数给出：（1）（2）求流线族并求t=0时过m(-1,-1)点的流线和迹线。

三、流管、有效过流截面和流量

1.流管

流场中作一条不与流线重合的任意封闭曲线，过曲线上的每一点作流线，这些流线所组成的管状表面称为流管。特点：流管内的流体不能穿出流管表面，流管外的流体不能穿入流管表面。

2.有效过流截面作一连续曲面截流管，流管包围的这部分连续曲面称为过流截面。当过流截面上每一点的法线与过该点流线的切线重合时，则称过流截面为有效过流截面。当流线平行时有效过流断面为平面，否则为曲面。

3.流量流量有体积流量和质量流量之分。通过过流截面的流量由下式计算：

体积流量：质量流量：

流管上两过流截面间的质量流量关系：由上式可以推论：流管的过流断面不能收缩到零，流管不能在流场内部中断，只能始于或终于流场的边界。

四、不可压缩流体和不可压缩均质流体

在流场中取控制体系统，设控制体系统的体积为V，控制体内某点的密度为ρ，则控制体内流体的质量：根据质量守恒原理，。故:要保证上式积分为零，必有：

上式中，称为散度。1.不可压缩流体根据定义，质点的密度在运动过程中不变的流体称为个不可压缩流体。换言之，对于不可压缩流体的而言，体积大小不变，即：

那么必有:

对于可压缩流体，体积大小要发生变化，即：

同样也必须满足:

2.均质流体均质流体是指流场中各点的密度都相同，其数学表示ρ＝常数。对均质流体，有。

3.不可压缩流体均质流体不可压缩均质流体要满足两各条件；即：（1）（2）由这两个条件可以看出，。

应该特别指出，不可压缩流体表示每个质点的密度在它运动的全过程中不变，但是这个质点的密度和那个质点的密度可以不同，因此不可压缩流体的密度不一定处处都是常数。只有既为不可压缩流体同时又是均质流体时，密度才处处时时都是为常数。

4.流函数当不可压缩流体为二维流动时，在直角坐标下有：

若存在某标量函数ψ，它具有：代入上述散度方程，满足,故称ψ为流函数。

例1：已知流场中的速度分布：

试判断流体是可压缩流体还是不可压缩流体。例2：已知二维流场中的流体为不可压缩流体，x方向的速度分量：，其中a和b为常数。当y=0时，uy=0。求y方向的速度分量uy。

五、流体质点的变形

1.流体质点的线应变率

在流场中取一流体微元体（如上图示），在直角坐标系中，AB=δx

，BB1=δy

，BC=δz

。设单元中心点的速度：假如：

则面BB1C1C上的速度有：

侧面AA1D1D上的速度有：在时间内，微元体沿X方向的变形为：线应变为：则线应变率ε1为：

同理流体质点沿Y和Z方向的线应变率为：

2.流体质点的体积应变率忽略二阶、三阶无穷小，体积应变为：故体积应变率为：

用矢量运算表示：3.流体质点的角应变率过质点作平行于XOY平面截微元体，交控制体的剖面为EFGH（如图示），假设：

则剪切变形如图a所示，在X方向的措切变形为：引起的角度变形：

设，则剪切变形如图b所示，在Y方向的措切变形为，引起的角度变形。当时，则在X和Y方向引起的变形为图c所示。设角变形为γxy，则：

γxy对时间的变化率为角应变率θ3，等于：同理，过质点中心，分别用平行于yoz和zox平面截控制体，则角应变率有：

六、有旋流动和无旋流动1.有旋流动

∠ECF=α，∠GCH=β，CA为∠ECH的角平分线，CB为∠FCG的角平分线。则：则∠BCA为：

两角平分线间的夹角对时间的变化率为控制体绕过C且平行于Z轴的转动轴的旋转的角速度，即：同理绕过质点中心平行于X轴的转轴转动,其角速度ω1有：

绕过质点中平行于Y轴的转动,其角速度ω2有：即：

上式中称为旋度，也称为涡量。通常表示为。它等于：

若,则流体质点不转动，称为无旋流动。否则称为有旋流动。对于无旋流动有：

2.无旋流动若存在某标量函数φ，它具有：代入旋度方程，满足,故称φ为势函数。无旋流动又称有势流动，简称势流。

例1：已知流场中的速度分布：

试判断流体流动是有旋流动还是无旋流动。§2.3小结一、基本要求

1.理解描述流体运动的拉格朗日法方和欧拉法基本概念，拉格朗日法方和欧拉法的转还关系，速度和加速度的求解；

2.定常流动与非定常流动的正确判断；