大学物理-第四章-机械振动与机械波课件

第七章第四章机械振动与机械波本章内容本章内容Contentschapter4简谐振动的基本概念和规律4－1机械波的产生及其特征量4－5平面简谐波4－6波的传播4－7波的干涉驻波4－8第一节ss4-1简谐波的基本概念和规律机械振动机械振动：物体在它的平衡位置附近作往复运动条件：回复力始终指向平衡位置物体具有惯性机械振动与简谐运动例如：用轻弹簧连接小钢球时，小球的振动；各种声源的振动；单摆的摆动等等。动画一个复杂的振动，可以由一些简单形式的振动来合成动画用图掌握简单形式振动的基本规律，是研究复杂振动的基础动力学方程动力学方程一、简谐运动的动力学方程及其解－运动方程kxOOFFmFF正X向反X向xxxx00FFkx物体在任一位置受的弹性力平衡位置FFmakxm2ddt2x简谐运动的动力学方程特征:物体在与其对平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用下,其运动为简谐运动。上述连等式的含义:1kxm2ddt2x2简谐运动的动力学微分方程表达式为FFmaFFkx是统一的;与微分形式微分方程弹簧振子的角频率取决于其自身的物理性质,wmkkxm2ddt2x简谐运动的动力学微分方程可写成kxm2ddt2xxxcosA()wtj+0xxddt22+x0w2即2ddt2xkxm+0亦即用高等数学可以证明(略)这一微分方程通解的三角函数形式为这就是大家已经知道的简谐运动的运动学方程。弹簧振子xOOkm简谐运动的运动学方程1.弹簧振子及其运动分析弹簧m忽略质量振子(小球)惯性质量弹簧振子k(劲度)水平面光滑轴原点O振子平衡点(弹簧无形变位置)x振子在轴上点两侧往复运动xOv0AxAxx0vvv0xxxxxAA((B((A((C((D((E2.弹簧振子的运动方程小球相对平衡点的位移随时间按xOtsincos或函数规律变化((A((E示意一周期,弹簧振子的运动方程习惯上用函数表示为:cosxxcos()wtOj+AAwOj振幅取决于弹簧振子的物理性质取决于振子的初始运动状态xx00动画OxAA某一时刻，振子所处的状态，必须用振子的位置坐标运动方向同时描述缺一不可例OxAA例如A2A2状态在距平衡点正侧处朝轴反方向运动A2x描述x=v0A2状态在距平衡点负侧处朝轴正方向运动A2x描述x=-v0A2运动方程简谐运动的速度和加速度简谐运动的运动方程xxcos()wtOj+A由可得简谐运动的速度vdtdxxsin(wt+)wAOjwA:速度振幅a简谐运动的加速度dtdvcos()wt+2wAOj2wA:加速度振幅0AAv最大a0a最大v0a最大v0xxAxA2wx加速度始终与相对平衡点的位移成正比，但方向相反。此结论是判别物体是否作简谐运动的依据之一。振动曲线振动曲线xxcos()wtOj+Avsin(wt+)wAOjacos()wt+2wAOj2wx画出Oj0最简单情况下的振动曲线xxcoswtAacoswt2wA2wxvsinwtwAsina(+cosap2(cosa(+cosap(三角函数性质tttvaOOO2wwAAxAOj0TTT234TT4特征参量二、描述简谐运动的特征量xxcos()wtOj+A三个特征量:振幅角频率(圆频率)初相的物理意义振幅A物体相对于平衡点位移最大值的绝对值角频率wcos()wtOj+中wtOj的单位都应是角度或弧度和振子往复运动一次所需时间为一个周期T余弦函数的一个周期为2p,即wT2pw2pT或设振子单位时间振动的次数称为频率为n,则n1Tw2p得w2pn角频率或w2pT一秒钟内变化多少弧度rads1((1.2.振幅、角频率振子质量越大(越笨)则振动频率越低,弹簧劲度系数越大(弹性恢复力度强)则频率越高.mkkm弹簧振子的角频率,也取决于其自身的物理因素w其周期nT2pwkm2p频率w2pkm2p1众所周知,单摆的周期T2plgl摆长越长则频率越低,当地重力加速度越大频率越高g或频率n2plgxxcos()wtOj+Acos()tOj+A2pncos()tOj+A2pT简谐运动可使用w、nT或参量表达二、描述简谐运动的特征量xxcos()wtOj+A三个特征量:振幅角频率(圆频率)初相的物理意义振幅A物体相对于平衡点位移最大值的绝对值1.2.角频率wcos()wtOj+中wtOj的单位都应是角度或弧度和初相二、描述简谐运动的特征量xxcos()wtOj+A三个特征量:振幅角频率(圆频率)初相的物理意义振幅A物体相对于平衡点位移最大值的绝对值1.2.角频率wcos()wtOj+中wtOj的单位都应是角度或弧度和km弹簧振子的角频率,也取决于其自身的物理因素wxxcos()wtOj+Acos()tOj+A2pncos()tOj+A2pT初相Oj描述开始观测时()振子t0的物理量.运动状态3.0xv0x00xv0

0xv0x00xv0x0000

0000相位1.相位xxcos()wtOj+AOj初相已述时的相位t0即相位t是决定简谐运动物体某时刻的运动状态的物理量j或Ft某时刻简谐运动物体的运动状态:xxcos()wtOj+Avsin(wt+)wAOj0x0v0v+2p对应vsinwA0状态2p2p对应vsinwA0状态2p)(0xxcos()wtOj+0()wtOj+,,+2p例如某时刻振子通过原点t相位相位差2.相位差AAxx1xx2coscos1(wt)Oj+12(wt+)Oj2其相位差rj(wt+)Oj2(wt)+Oj1Oj2Oj1取决于初相差rj0或整数倍2pxx2与xx1同相rj或的奇数倍ppxx2与xx1反相若用rj0p作相对比较rj0xx2超前xx1称rj的相位rj0xx2超前xx1称rj的相位w相同的两个简谐运动之间,相位的相对差异在同一时刻t1.相位xxcos()wtOj+AOj初相已述时的相位t0即相位t是决定简谐运动物体某时刻的运动状态的物理量j或F相位计算方法振幅和初相的决定由初始条件求振幅vxx00AOj和初相t0+v0w(2(xx022A2sinOj2cosOj2AA2xx02+v0w22Oj消去sinwAOjOjcosAvxx00得Axx02+v0w22sinwAOjOjcosAvxx00A若消去得Ojtanv0xx0w初相也可直接由初始条件的Ojxx0v0和来判定,而且直接判断法更加常用和方便例如:例已知w10rads1xxOA2cmxx01cmv00及求OjOjcosAxx0可直接由得Oj21Ojcosarccos213p(即)3p53p有sinwAOjv0然后用决定取舍3pOj时v00不合题意,舍去取Ojp53有v00合理Ojtanv0xx0w若用求解则由于题目中只给出了v0的方向(正负)没有给出v0的大小,不便直接套用公式求解在简谐运动的三个特征量wOjA中,,除了w取决于振动系统自身的物理性质外,AOj都可以根据初始条件来判定和综上所述,应体会初始条件sinwAOjOjcosAvxx00的重要性:矢量图法振幅矢量∴质点的投影点在轴上做简谐振动三、简谐运动的几何描述－旋转矢量表示法Ojx=A

cos(wt﹢

)简谐运动方程旋转矢量OOAAXXOM(0)A初相wOjOj矢量端点在X

轴上的投影对应振子的位置坐标M(

t

)twM(

t

)twtwM(

t

)M(

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t

)twM(

t

)twM(T

)Tw周期

TxOM(0)初相M(

t

)twAwOjOjOjt时刻的振动相位(wt﹢

)F旋转矢量A以匀角速w逆时针转动Ojx=A

cos(wt﹢

)简谐运动方程OO循环往复例2xxAOOj3pAOA2xx4Oj5pOOx0tAAOOjpAxxxxOAA2Ojp3OOx0tAAOOx0tAAOOx0tAA例ot(s)x(cm)121看图写方程得xcos()t+232p34pcmxow3j2pt00由旋转矢量法，知例xxovoxo已知ao，求简谐运动动方程例如A2xo，vom/s23aom/s202，aow2xow2A23vowsinjAAw2aovow30.4m10rad/swaovo3A2aow2联立解得运动方程xcos()t0.432p10mwoxA2t0j32po例4-4

物体沿x轴作谐振动，其振幅为A=10.0cm周期为T=2.0s，t=0时物体的位移为x0=-5cm.且向x轴负方向运动.试求

(1)t=0.5s时物体的位移；(2)何时物体第一次运动到x=5cm处?(3)再经过多少时间物体第二次运动到x=5cm处?解由已知条件，该谐振动在t=0时刻的旋转矢量位置如图所示.由图及初始条件可知

由于所以,该物体的振动方程为-5(1)将t=0.5s代入振动方程，得质点的位移为(2)当物体第一次运动到x=5cm处时，旋转矢量从初始位置转过的角度为π，如图所示，所以有即(3)当物体第二次运动到x=5cm处时，旋转矢量又转过-55振动能量谐振子能量四、简谐运动的能量振动系统：如水平弹簧振子km振子质量弹簧劲度wmk振动角频率E+EkEp12mw2A212kA2机械能系统的（以x=0处为零势点）12Ekmv212msinw()wt+22212212()wt+22Epkxxkcos系统的动能势能系统的AOjAOjxxcos()wt+vsinw()wt+OjAAOj简谐运动方程振子运动速度特点EkEp均随时间而变且能量相互转换EkEpEpEk变到最大时变到最大时变为零变为零E系统的机械能守恒。E8

A2

简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变续上EkEpEEk+Ep0tEtxx0AA系统的122kxx12mv2Ep势能Ek动能E+EkEp机械能12mw22A12k2A12msinw()wt+222AOj12()wt+22kcosAOjxxcos()wtOj+A简谐运动方程能量表达式例书例8求1((2((3((4((周期总能EkEp时的x值xA2时的EkEp比值ET例弹簧振子已知m0.1kgA0.01mmax0.04m/sa2解法提要1((a2wxamax2wA,wamaxA2srad2pT3.14wps2((E12mw22A12k2A2105J3((Ep12k2xE212k2A2得22A+x+7.07103mxEkEpE+12E0A22A能量Ep122kxxA22AEpEkxEkEpE+0A能量Ep122kxxA2A2AEkEp4((xA2Ep12k2x18k2AEpEkE12k2A18k2A38k2A得EkEp3第三节第三节简谐振动的特征及描述简谐运动的合成4-4sssscomposeofsimpleharmonicmotion

振动合成txx12,同相xx12,wj102j0j0Dootxx12反相oxxj102j0jD2j0j10wwop12txx超前xx12wj102j0oj102j0o21t2t121txx超前xx12woj201j0j102j0o21t2t121一、两个同频率振动的相位差xx1cosA1cosA2xx2()wt+j10()wt+2j0w相同j102j0jD()wt+j10()wt+2j0jDp在范围内比较超前或落后在旋转矢量图中可直接比较初相.在曲线中,谁先达到某一特征值(如零,极值)者谁超前.xxt振动合成同向同频合成同向同频1Aj1w0xx22yxx1y1yxxOxA2w2j200jwAjj00wxx1cos()wt+A1cos()wt+A2xx2j102j0同在轴x且相同xx1xx2xx+合成振动用旋转矢量法可求得合成振动方程xxcos()wtj+A0)AA12+A222A1A2cos(+j102j0arctanA1cossin+A2sinA1+A2cos2j02j0j10j1012arctanyxarctany+yx1+x2j0简谐运动的合成同频率同方向二、两个合成振幅不仅与两个分振幅有关，而且还j102j0合成振幅合振幅xx1cos()wt+A1cos()wt+A2xx2合振动分振动；xxAcos()wt+j其中，合振幅AA12+A222A1+j102j00cos)(A22j0j10若2p+k0()21,k,,...AA12+A222A1A2++A2为合振幅可能达到的最大值A1若A1A2则AA12,2j0j10则cos()12j0j10若0()21,k,,...则cos()1AA12+A222A1A2值为合振幅可能达到的最小若A1A2则A2p+k(+1)A2A10,2j0j102j0j10若为其它值，则处于AA2A1A2A1+与之间2j0j10例书例9求合振动方程例已知两振动周期相同T8s振幅相等2A0.02m相位差Dj4p其中一个初相为零1A)AA12+A222A1A2cos(+j102j02+2cos4p0.020.037m1A2AAxoOj1设0Oj24pOj解法提要w2pT4ps1radOjarctanA1cossin+A2sinA1+A2cos2j02j0j10j10arctansin0+sin4pcos0+cos4p8pradxcos()wtOj+A0.037cos(4pt+8p)m例书例11例已知1A6pxcos()wt+1xcos()wt+21A36p4求合振动的A1((振幅Oj2((初相3((运动方程解法提要应用旋转矢量图判断xoOj1Oj2A1A1A3Oj6pOj26p4A1((1A2+21A3((21A32((Oj6p+6p3p3((xcos()wtOj+A21A3cos()wt+3p第一节ss4－5机械波的产生及其特征量机械波的产生

波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。

波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。振动的传播过程称为波动。一、机械波形成的条件机械振动在媒质中的传播过程称为机械波。产生机械波的必要条件：波源作机械振动的物体；媒质能够传播机械振动的弹性媒质。横波软绳波的传播方向质点振动方向软绳质点振动方向波的传播方向抖动一下，产生一个脉冲横波连续抖动，产生连续横波横波与纵波质点的振动方向与波的传播方向垂直横波：动画纵波抽送一下，产生一个脉冲纵波软弹簧软弹簧波的传播方向质点振动方向连续抽送，产生连续纵波波的传播方向质点振动方向

在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。质点的振动方向与波的传播方向平行纵波：动画机械波传播特征机械波的传播特征各质元不随波发生整体移动,它们仅在各自平衡位置附近振动.波动实际上是质元的集体振动.介质中各质元依次振动,距离波源较远的点,其振动相位相对滞后.波动伴随着能量的传递.波长周期波速二、描述波的特征量波速u单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度，又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。ulTnl或luT波长l振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。周期T波形移过一个波长所需的时间。频率n周期的倒数。n1T,取决于波源振动频率。l波传播方向波速u几何描述三、波的几何描述波前波面波线波面振动相位相同的点连成的面。波前最前面的波面。平面波（波面为平面的波）球面波（波面为球面的波）波线（波射线）沿波的传播方向的射线。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。第一节ss4－6平面简谐波平面简谐波平面简谐波简谐波由简谐振动的传播所形成的波动。平面简谐波波面是平面，有确定的波长和传播方向，各质点振动的振幅恒定。波函数描述介质中各质元的位移y随质元的平衡位置x和时间t的变化关系的数学表达式.正向波xuyoPxux传播需时秒点的振动比点的振动落后了秒Poux或说，点重复秒前点的振动。uxPo一、沿轴正向传播的平面简谐波x设定坐标原点x动画波函数ux传播需时波函数是时间和空间双重变量的周期函数波函数cos()yAjwt+ux在设定坐标系中，波线上任一点、任意时刻的振动规律为xOyuxP正向波一列平面简谐波（假定是横波）坐标原点可任设（不一定要设在波源处）O振动处cos()jyAOwt+Ocos()yAjwt+ux振动处PO三种表达式cos()yAwtj+ux沿轴正向传播的平面简谐波函数x0wT2pn2puTl,uTln波函数还常用周期波长或频率的形式表达由消去波速cos)yA2ptlxj+)nTcos)A2ptlxj+)0得0l1T1分别具有单位时间和单位长度的含义，和tx分别与时间变量和空间变量组成对应关系。二、沿轴负向传播的平面简谐波xxOyuxP负向波或cos()yAjwt+uxcos)yA2ptlxj+)nTcos)A2ptlxj+)00+++点振动相位落后于点OP负向波一般形式波函数是的双重周期函数时间空间tx正向波-负向波+cos()yAjwt+ux0Tcos)A2ptlxj+)+0cos)A2ptlxj+)n0++三、平面简谐波函数的一般形式例已知例yA正向波0.02200cos()txp5(SI)求l波长un波速频率振幅解法提要波函数比较法m1smA0.02j00,比较可知：m+y0.2cos()tx+0.2pp2p质点振动最大速率vmax：vmaxAw0.22p11.26mS-1cos()yAwtj+ux正向波++反向波0反向波波幅A0.2mj初相p0例例my0.2cos+()tx+0.2pp2p已知任意时刻在波线上处质点的振动相位为txF1+()tx+0.2pp2p同一时刻在此反向波的传播方向上处质点的振动相位为xdF2+t+p2p()x0.2pd这两点的振动相位差为F2F1Fr()x0.2pd0.2px-0.2pd解xyxxddou在波的传播方向上相距为的两点的振动相位差求d说明X-d点的相位比x点的相位落后例求0点振动方程此波的波动方程P点振动方程a、b三质点的振动方向画出图中、0t0时的波形图已知uPAxy((m((ml0ba解沿方向微移波形图，判断出三质点的振动方向分别为u0ab代入上式用xlAcosu2pl(tp(cosA+u2plt(ul(Pyp223+(twj0ycosA(T2pwlu2p用旋转矢量法判断得jp200xu+tycosA(jw(xu+tcosAu2pl((p20物理意义四、波函数的物理意义ycos()Awtj+ux((，tx波函数0若给定某点P

的，波函数变为P点处质点的xP距原点为处质点振动的初相xP给定x振动振动方程cos()Awtj+x2plPy((tP0toyP点的振动曲线波形t给定若给定，波动方程表示所给定的时刻波线上各振动质点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的t1tt1cos()Awtj+x2ply((x1yOxt1波形曲线t1时刻的波形图0例将波形图倒退（反题设方向）ul4得t=0的波形图，知此时Y轴上质点坐标yAcos()yAwt+ux+p结论：ot时的波形图图解法（巧、快）xyAutT4时的波形图A0第一步：原点o的振动方程cos()yAwtj+0第二步：定初相j0向上移到0，从图可看出，t=0到t=T/4,Y轴上质点从-Apj运用旋转矢量法概念，判断出0y0tw0由某时刻的波形图求波动函数例直接法由某时刻的波形图求波动函数xyAutT4时的波形图A0第一步：原点o的振动方程cos()yAwtj+0cos()yAwt+ux+p结论：w由旋转矢量法知t＝T/4时的相位3p/2j0ytT/4两点的相位差为其初相位差：两点的波程差为：在同一时刻，距离原点O分别为x1和x2的两质点的相位分别为：相位差和波程差1波的能量波动在弹性介质内传播时，波所达到的质元要发生振动，因而有动能，质元还要发生形变因而有弹性势能.动能与弹性势能的总和即为该质元含有的波的能量.在波线上坐标为x处取一个体积元△V，其质量dm=△V

该体积元的振动速度为设平面简谐波为xO波的能量和能流（了解）该体积元△V的动能为

可以证明，因为介质形变，体积元△V的势能与动能相等

在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能、势能和机械能都是时间t的周期性函数，它们同时最大——平衡位置，同时最小（为零）——最大位移处。体积元△V的机械能为单位体积的介质中波所具有的能量称为能量密度。能量密度在一个周期内的平均值称为平均能量密度。

2波的能流单位时间内通过介质中某一截面的能量称为通过该面积的能流，以P表示。能流密度：对能流密度取时间的平均值，称为平均能流密度，以I表示。又称波的强度。在SI中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-2udt3波的振幅在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变，并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的总能量就相等，这是能量守恒定律要求的.对平面波，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度分别为I1,I2.由于S1＝S2，且根据能量守恒，在单位时间有所以从而对球面波仍有即所以（振幅与半径成反比）令有由此可写出球面简谐波的波动方程其中号表示波的传播方向。第一节ss4－7波的传播在波的传播过程中，波前上的每一点都可看成是发射子波的波源，在t时刻这些子波源发出的子波，经Δt时间后形成半径为uΔt(u为波速)的球形波面，在波的前进方向上这些子波波面的包迹就是t+Δt时刻的新波面.这就是惠更斯原理.球面波平面波O一、惠更斯原理障碍物的小孔成为新的波源原波阵面新波阵面S1S2t时刻t+Dt

时刻uDt反射线与入射线和界面法线位于同一平面内，并且入射线与法线的夹角(入射角)等于反射线与法线的夹角(反射角).这就是波的反射定律.1波的反射N界面RN界面IRA用惠更斯原理证明反射定律波的反射定律二、波的反射与折射用惠更斯原理证明反射定律设平面波AB以波速v入射到两种介质1和2的分界面MN上.在不同时刻，波前的位置分别为AB，CC＂，

DD＂，

EE＂，….由于是在同种介质中传播，波速不变，因而AA=BB′，CC′=C＂B′，DD′=D＂B′，EE′=E＂B′，….中心在A，C，D，E，…的一组圆柱面的包迹A′B′就是反射波的波前.当振动由点B传至点B′，由C＂，传至B′…时，在点A，C，D，E，…发出的次波分别通过了由半径AA′，CC′，DD′，EE′，…所决定的距离.

1）折射线、入射线和界面的法线在同一平面内；2）

2波的折射