天津滨海新区大港第七中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析

天津滨海新区大港第七中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B，因为对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.2.已知，为两个非零向量，设命题p：|?|=||||，命题q：与共线，则命题p是命题q成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设与的夹角为θ．若与共线，则cosθ=±1．再利用数量积运算性质即可判断出结论．【解答】解：设与的夹角为θ．若与共线，则cosθ=±1．∴|?|=|||||cosθ|=||||，反之也成立．∴命题p是命题q成立的充要条件．故选：C．3.设二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）的导函数为f′（x），关于x的方程f（x）=f′（x）有两个相等实根，则的最大值为(

) A．2﹣2 B．2+2 C． D．1参考答案：A考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由f（x）=f′（x）化为：x2+（b﹣2）x+c﹣b=0，由于关于x的方程f（x）=f′（x）有两个相等实数根，可得△=0，可得，代入，再利用基本不等式的性质即可得出．解答： 解：f′（x）=2x+b，f（x）=f′（x）化为：x2+（b﹣2）x+c﹣b=0，∵关于x的方程f（x）=f′（x）有两个相等实数根，∴△=（b﹣2）2﹣4（c﹣b）=0，化为，∴==≤=2﹣2，当且仅当b2=4，c=+1时取等号．∴的最大值为﹣2．故选：A．点评：本题考查了导数的运算法则、一元二次方程有实数根与判别式的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.函数与(且)在同一直角坐标系下的图象可能是参考答案：D略5.若角α的终边过点（﹣1，2），则cos（π﹣2α）的值为(

)A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：∵角α的终边过点（﹣1，2），∴cosα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（2cos2α﹣1）=1﹣2cos2α=1﹣=，故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．6.若复数的模为，则实数a=（

）A．1

B．－1

C．±1

D．参考答案：C，，故选C

7.在内随机地取一个数，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A若直线与圆有公共点，则因此概率为，选A8.定义在R上的函数满足：成立，且

上单调递增，设，则的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象．则图象的一条对称轴是

A．x＝

B．x＝

C．x＝

D．x＝参考答案：C10.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为,延长交双曲线右支于点，若,则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，A，B是半径为1的圆O上两点，且∠AOB＝．若点C是圆O上任意一点，则的取值范围为

▲

．参考答案：12.若非零向量满足，，则与的夹角为______．参考答案：略13.函数的最小值为

☆

．参考答案：

14.已知命题p：?x＞0，总有（x+1）ex＞1．则￢p为．参考答案：?x0＞0，使得【考点】2J：命题的否定．【分析】命题p是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【解答】解：命题p：?x＞0，总有（x+1）ex＞1”是全称命题，否定时将量词对任意的x变为?x，再将不等号＞变为≤即可．故答案为：?x0＞0，使得．15.设.若是与的等比中项，则的最小值为．参考答案：【知识点】均值不等式E8解析：由题意知，又，所以，所以的最小值为.【思路点拨】由题意得，又，即可利用均值不等式求解.16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为

．参考答案：抛物线的准线为x＝?1，所以P横坐标为2，带入抛物线方程可得P(2，)，所以OP＝．17.已知函数的导函数为，且满足，则在点处的切线方程为

参考答案：函数的导数为，令，所以，解得，即，所以，所以在点处的切线方程为，即。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，求实数a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式可得，当时，，在上单调递增；当时，由导函数的符号可知在单调递减；在单调递增.（Ⅱ）构造函数，问题转化为在上恒成立，求导有，注意到.分类讨论：当时，不满足题意.当时，，在上单调递增；所以，满足题意.则实数的取值范围是.试题解析：（Ⅰ），当时，，.∴在上单调递增；当时，由，得.当时，；当时，.所以在单调递减；在单调递增.（Ⅱ）令，问题转化为在上恒成立，，注意到.当时，，，因为，所以，，所以存在，使，当时，，递减，所以，不满足题意.当时，，当时，，，所以，在上单调递增；所以，满足题意.综上所述：.19.（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）参考答案：解：（1）因为时，，

代入关系式，得，……2分解得.…4分（2）由（1）可知，套题每日的销售量，

……6分所以每日销售套题所获得的利润从而.

……8分令，得,且在上,，函数单调递增；在上，，函数单调递减，

……10分所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，……11分所以当时，函数取得最大值.

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.……………12分20.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an﹣n（1）求证数列{an+1}是等比数列并求{an}的通项公式（2）设bn=（2n+1）（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过Sn=2an﹣n与Sn+1=2an+1﹣（n+1）作差、整理可知an+1=2an+1，从而an+1+1=2（an+1），进而数列{an+1}是以2为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论．（2）利用错位相减法即可求出数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）证明：∵Sn=2an﹣n，∴Sn+1=2an+1﹣（n+1），两式相减得：an+1=2an+1﹣2an﹣1，∴an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1），又∵a1=2a1﹣1，即a1=1，∴a1+1=1+1=2，∴数列{an+1}是以4为首项、2为公比的等比数列，∴an+1=2?2n﹣1=2n，∴an=2n﹣1．（2）∵bn=（2n+1）（an+1）=（2n+1）2n，∴Tn=3×2+5×22+7×23+…+（2n﹣1）2n﹣1+（2n+1）2n，∴2Tn=3×22+5×23+7×24+…+（2n﹣1）2n+（2n+1）2n+1，∴﹣Tn=6+2（22+23+24+…+2n）﹣（2n+1）2n+1=6+2?﹣（2n+1）2n+1=﹣2+（﹣2n+1）2n+1，∴Tn=2+（2n﹣1）2n+1．21.△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用已知5（a2+b2﹣c2）=3ab代入余弦定理公式求得cosC的值，利用同角三角函数关系求得sinC的值，进而利用二倍角公式求得cos2C的值；通过cosA求得sinA的值，最后利用两角和公式取得sin（A+C）的值，进而取得sinB的值，求得B．（Ⅱ）利用正弦定理求得a和c的关系式，代入a﹣c=﹣1求得a和c，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（I）由∵cosA=，0＜A＜π，∴sinA==，∵5（a2+b2﹣c2）=3ab，∴cosC==，∵0＜C＜π，∴sinC==，∴cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（II）∵=，∴a==c，∵a﹣c=﹣1，∴a=，c=1，∴S=acsinB=××1×=．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．22.已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣e2x﹣1．（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求f（x）的单调区间；（2）当a≤1时，f（x）＜0，求x的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），得到f′（）=0，解出a，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；（2）由于a≤1，所以ln（2x+a）≤ln（2x+1），所以f（x）≤ln（2x+1）﹣e2x﹣1，利用对任意x，ln（2x+1）﹣e2x﹣1＜0，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=﹣2e2x﹣1，由已知得f′（）=0，即：﹣1=0，所以a=0，…（1分）所以f（x）=ln2x﹣e2x﹣1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣2e2x﹣1，…（2分）由于f′（x）在（0，+∞）上为减函数，而f′（）=0，所以当x∈（0，）时，f′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．（2）由于a≤1，所以ln（2x+a）≤ln（2x+1），所以f（x）≤ln（2x+1）﹣e2x﹣1，…（6分）令g（x）=ln（2x+1）﹣2x（x＞﹣），则g′（x）=，所以，当﹣＜x＜0时，g′（x）＞0，当x＞0时，g′（x）＜0，所以g（x）≤g（0）=0，即