河南豫北高中2021-2022学年高三毕业班考前定位联合考试数学试题（理）（含答案解析）

河南豫北高中2021-2022学年高三毕业班考前定位联合考试

数学试题（理）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=卜,=馆（2》-丁）｝,B=｛^|x-2|<1｝,则AAB=（）

A.（0,2）B,（1,2）

C.（1,3）D.（0,3）

2.已知复数z的实部为1,且|z-Z=2|z+Z|,则|z|=（）

A.及B.2C.6D.4

3.已知x>0,y>0则“f+y24I，，是“x+y4血”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知数列｛4｝是等差数列，生，”是方程/-3》-21=0的两根，则数列｛q｝的前

20项和为（）

A.-30B.-15C.15D.30

5.已知a,夕是两个不同的平面，m,〃是两条不同的直线，则下列条件不能推出aJ•尸

的是（）

A.mLa,nl//3,m//nB.m//a,n工0,m//n

C.m//a,n///3,机D.tnYa,nA./3,m±n

6.某高科技公司为加强自主研发能力，研发费用逐年增加，统计最近6年的研发费用

y（单位：亿元）与年份编号x得到样本数据（七,y）（i=l,2,3,4,5,6）,令4=ln»,并将

（与马）绘制成下面的散点图.若用方程丫="小对y与x的关系进行拟合，则（）

2-

1.5•.,

1••一

0.5-

Oi23456~x

A.a>l,h>0B.a>\,h<0C.0<a<\,h>0D.0<6f<1,/?<0

7.小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项,

且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

8.已知数列｛〃〃｝满足q+耳。2—卜^,则

q+2cli+21%+,,‘+2~°」a2O22=（）

A.2x（2ac2-l）B.|（22022+1）

C.|（24044-1）D.|（24044+1）

9.将函数f（x）=sin（3x+9）（帆|苦）的图像向左平移等个单位长度后得到函数g（x）的

图像，若/a）与g（x）的图象关于y轴对称，则？=（）

71c71-兀八兀

A.-B.-C.-D.—

36912

22

10.已知马分别是双曲线=l的左、右焦点，点A,8在C上，若|。4上如

（。为坐标原点），丽=4书（4>0）,则△ABE的面积为（）

A.16B.24C.32D.36

II.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如

图，在“阳马”P-AfiCD中，底面43cD,AD=2AB=2PA=2,尸是棱BC的中

点，点E是棱AB上的动点，则当！PEF的周长最小时，三棱锥P-AEF外接球的表面

积为（）

A7jiZ万R7亚乃

248

CD.卫

42

12.设〃=e()s_i,Z?=2(e()()l-1),c=sin0.01+tan0.01,则()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

二、填空题

试卷第2页，共4页

r--U1r>A

13.已知函数f(x)=(',若/(”)=-m,则实数，w=______.

.x(x+4),x<0

14.已知£,5是单位向量，若(2Z+B)J_B,则£,B的夹角为.

15.已知/(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于点(2,0)对称，当xw[0,2]时，

/(x)=-"l-(x-l)2,若方程f(x)-叔》-2)=0的所有根的和为6,则实数%的取值范

围是・

22

16.已知椭圆C:=+斗=1(4>6>0)的左、右焦点分别为「，尸2，过耳的直线与C交

ab

于A,8两点，满足4片，4行且|A闾=2|A用，则tanNB鸟耳=.

三、解答题

17.在“1BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a(cosC+2)=6csinA.

⑴求C；

(2)若2a+b=Vic,求sinA.

18.如图1,在矩形ABCD中，点E在边CD上，BC=DE=2EC,将A/ME沿AE进行

翻折，翻折后力点到达P点位置，且满足平面PAE，平面43CE,如图2.

图1图2

(1)若点F在棱抬上，且E尸〃平面P8C,求不；；

PA

(2)求二面角8-PC-E的正弦值

19.为了鼓励师生积极参与体育运动，某校举办运动会并设置了丰厚的奖励，甲同学报

名参加了羽毛球和长跑比赛.甲在羽毛球比赛中顺利晋级到了决赛，决赛采用“五局三

胜制”，先获胜三局的选手即获得冠军，甲在每局中获胜的概率均为;，各局胜负相互

独立.

(1)求甲获得羽毛球比赛冠军的概率

(2)长跑比赛紧接在羽毛球决赛后进行，由于连续比赛，体力受到影响，若羽毛球决赛局

打3就结束，则甲在长跑比赛中有；的概率跑进前十名，若羽毛球决赛局数大于3,则

甲在长跑比赛中不可能跑进前十名.已知羽毛球比赛冠军奖金是300元，亚军奖金是

100元，长跑比赛跑进前十名就获得100元奖金，没有其他奖项，求甲在这两项比赛中

获得的奖金总额X(单位：元)的分布列.

20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=8与抛物线C交于点P,且

依l=|p.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点尸作抛物线C的两条互相垂直的弦A3,DE,设弦A8,OE的中点分别为P,

Q,求|PQ|的最小值.

21.已知函数f(x)=2or-sinx(a€R).

(1)当时，求/(x)在区间［0,兀］上的最值；

(2)若当x>0时，不等式/(x)+orcos无之0恒成立，求。的取值范围.

22.在极坐标系中，已知直线°一；一和曲线C：夕2=一—2八，以极点为坐

2cosl6>+-I2-cos*

标原点，极轴为*轴的正半轴建立直角坐标系.

(1)求/与C的直角坐标方程；

⑵若/与C交于A,8两点，且点P(l,0),求高+，所的值.

23.已知函数/(x)=|x+2|-|x-6|.

⑴求不等式/(x)<4的解集；

(2)若对任意xeR,不等式〃》)4父+2》+”恒成立，求实数机的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】由定义域得到不等式，解不等式求出A,解绝对值不等式求出8,从而求出交集.

【详解】由对数函数真数大于0得到2x-/>0,解得：0<x<2,所以A=(0,2),

由解得：l<x<3,所以8=(1,3),

故Ac3=(l,2).

故选：B

2.C

【分析】设出z=l+ai(“€R),根据条件列出方程，求出。=±2,从而求出模长.

【详解】设z=l+“i(aeR),则|z-*=|2ai|=2|a|,|z+z|=|2|=2,

由题意得：2|“|=2X2,所以。=±2,所以|Z|=J『+22=石.

故选：C

3.A

【分析】根据基本不等式可以从产+丁41得到x+y4后，充分性得证；必要性可以举出反

例证伪，故得到答案.

［详解】根据基本不等式得。+y)2^x2+y2+2xy<2(x2+j2),

^x2+y2<\,则x+y442卜?+y?)«&.

反过来，若》=夜-1，丫=1，满足x+y=而f+V=4-2应>1,

所以4+/41“是，“+y<的充分不必要条件.

故选：A

4.D

【分析】根据韦达定理得至U%+46=3,利用等差数列求和公式及等差数列性质进行计算.

【详解】«5，46是方程9一3%一21=0的两根，

所以%+%6=3,

又｛q｝是等差数列，

答案第1页，共13页

所以其前20项和为

20(%,出。)=203+%)=30.

22

故选：D

5.C

【分析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可

【详解】对A,m±a,m〃〃则〃_Lc,又〃///?故a_L尸，正确；

对B,nVp,m〃〃则加又加〃a故cJ-尸，正确；

对C,平面a,夕的关系无法确定，C错误；

对D,则〃〃a或"ua,又〃_1_£,故a_L夕，D正确；

故选：C

6.A

【分析】首先将所给方程，变形为回归直线方程的形式，再结合图像即可判断.

【详解】因为尸证无，令z=ln)，，则z与x的回归方程为z=bx+lna.根据散点图可知z

与x正相关，所以b>0.从回归直线图像可知，回归直线的纵截距大于0,即lna>0,所

以a>1.

故选：A

7.C

【分析】先按照周一，再安排其他两天，利用分步计数原理及排列组合知识进行求解；

【详解】先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周

三，所以不同的安排方式有C；C；A；=24种.

故选：C

8.C

【分析】先求出通项公式，利用等比数列求和公式进行计算.

【详解】因为4+盘阳+…+最丁"〃=2〃，

所以当〃22时，6+5%1■手工1=2(〃-1)，

两式相减得表4=2,

所以a“=2"5N2),

又4=2也适合该式，

答案第2页，共13页

故=2”.

所以｛a,,｝为等比数列，

所以q+2%+22/+…+22S&022=，(4-1一)-1^24044-lj-

故选：C

9.B

TT

【分析】先求出平移后的解析式，利用两图象关于y轴对称，得到等量关系，求出

O

【详解】由题意知ga)=sin(3x+g+。)因为与g(x)的图象关于y轴对称，

所以F(-x)=g(x),即sin(°-3x)=sin13l+1+°],则夕一3x-(3x+g+°)=2kn或

2兀

(p-3x+3x+—^-+(p=(2k+])Ti,keZ.前面一种情况不能怛成立，

7T

后面一种情况解得：(p=—+k7r,keZ

6

因为lel<E，所以&=0,得8=9满足题意.

26

故选：B

10.B

【分析】由已知A,片，B三点共线且A、8都在双曲线C的左支上，根据双曲线方程有

\OAh\OFt\=\OF2\,则Af；，Ag,应用勾股定理及双曲线的定义求|然|、IAB|,最后利用

三角形面积公式求aAB居的面积.

【详解】由丽=4斤反4>0)知：4,月，B三点共线，且4、8都在双曲线C的左支上，

不妨设A在第二象限，由条件知：f；(-717,0),工(a,0),

所以|。4|=|0年=|。闾=&7,则AF；_LAK.

设幽=m(zn>0),则同="+6.

在心一斗入中，|A用?+|4月2=恒周2,即机2+5+6)2=68,解得加=2.

设忸用=〃(">0),贝IJ忸用=“+6.

在RSAB6中，|48『+,月「=忸图2,即(〃+2)2+8?=("+6尸，解得“=4.

答案第3页，共13页

11.D

【分析】由题可得PE+防最小，利用展开图可得此时EF=@,sinABAF=—,利用正

22

弦定理可得△AEF的外接圆半径为人进而可得内=,即得.

【详解】因为PF固定，所以要使！PEF的周长最小，只需PE+所最小.

如图，将四棱雉P-45c。的侧面/^钻沿AB展开，使得与矩形A8CD在同一个平面

内，当P,E,F三点共线时，PE+EF取得最小值.

EF

设的外接圆半径为广,则2r=

sinZBAF

2

设三棱锥P-AEE外接球的半径为R,则R2=

77乃

所以三棱锥P-AEF外接球的表面积S=4万4=4^-x-=—.

82

故选：D.

12.A

答案第4页，共13页

【详解】因为所以。>尻

设/(x)=2(e、一］)一sinx-tanx,

贝ijfM=2eA-cosx---,

cosx

OeinY

令g(x)=7'(x),贝IJg'(x)=2e*+sinx....-.

COSX

、i,fn吟q八2sinx2，由48g

当xw0,2时，2e">2,sinx>0,----<-----=——<2

l6)cos'x高巴9f

6

所以g'(x)>0,所以当xe(()A)时，f(x)>f'(O)=O,

所以f(x)在《高上单调递增，

从而f(x)>f(0)=0,

因此/(001)>0,即6>c.

综上可得a>b>c.

故选：A

【点睛】比较函数值的大小，要结合函数值的特点，选择不同的方法，本题中，可以作

差进行比较大小，而"C的大小比较，则需要构造函数，由导函数得到其单调性，从而比较

出大小，有难度，属于难题.

13.-5

【分析】分根之。和加<0两种情况，解方程〃+1=-刃及裙+4机=-〃?，结合范围求得结果.

【详解】当机之。时，由/(〃?)=-加得/+1=-加，此方程无实数解；

当m<0时，由/(6)=-/n得〃/+4"z=-机,解得〃2=-5.

故答案为：-5.

14.y##1200

【分析】根据平面向量的垂直表示与数量积运算求解即可

【详解】设2，B的夹角为，，因为(2£+B)_LM所以(21+分坂=224+^=2COS6»+1=0，

1,刀■

所以cose=-j又e«o㈤，故。=茎.

2万

故答案为：y

答案第5页，共13页

5/彳M廿巧

【分析】将方程的根转化为图象交点问题，画出图象，数形结合进行求解.

【详解】方程fW--X-2）=0的根转化为y=f（x）和y=Mx-2）的图象的公共点的横坐标,

因为两个图象均关于点（2。对称，要使所有根的和为6,则两个图象有且只有3个公共点.

作出y=/（x）和y=z（x-2）的图象如图所示.

当斤＞0时，只需直线）=%"一2）与圆（x—7y+），2=l相离，可得&＞骼；

当无＜0时，只需直线＞=%（兀-2）与圆（x-5）2+y2=l相切，可得上=_4.

故上的取值范围是更,+«＞.

【分析】根据椭圆的定义，结合勾股定理可得求得忸用=与，再根据tan/A/谯=2与

4

tanZABF2=-,进而根据tanZBF2Ft=tan（ZA耳工-ZABF2）求解即可

【详解】因为|AE|=2|A周，|A周+|A闾=2a,所以|A耳|=告，引局=g.设忸周=%＞0,

根据椭圆定义可得忸用+忸用=2%所以忸周因为A耳，Ag,所以/班月=],

所以|A3『+|A用2=1崎，BP（y+wj+fyj=（2"机）2,解得“=3根.所以忸用=',

答案第6页，共13页

4〃

则颉4">需=2,tan/ABF?=需=力=g,所以

3.3

tanZAFF-tanZ.ABF2

lanNBg耳=lan(NA耳乙一NAB/^)=}22

1+tanZ.AFFtanZABFn

}22l+2x-

3

故答案为：A2

17.d)C=y

(2)"一&

【分析】（1）利用正弦定理得到GsinC-cosC=2,利用辅助角公式求出C=（；

（2）利用正弦定理及第一问结论，求出A=?7T-B7T，利用差角公式进行求解.

46

【详解】（1）由条件及正弦定理得sinA（cosC+2）=6sinCsinA,

因为sinAwO,所以cosC+2=V5sinC,

所以GsinC-cosC=2,所以sin(c-.J=1.

因为Cw(O,7t),所以c-B=W，所以c=4.

623

27r

(2)因为2a+0=yf2c，C=,

由正弦定理得：2sinA+sin3=J5sinC,即2sinA+sin^-A

~2'

整理可得sin（A+斗拳

.,—r/口4兀LL,、I,兀兀口L4兀兀

由已知可得4（屋所以A+1"即A=

.Tt兀兀.兀>/6-A/2

sin—cos——cos—sin—=-------

46464

,,、PF]_

18.(1)---=

PA3

(2)T

答案第7页，共13页

【分析】(1)作出辅助线，由线面平行得到线线平行，从而求出比例关系，得到答案;

建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.

【详解】(1)如图，在尸B上取点G,使得连接尸G,GC,

则PG〃钻〃CE.

因为EF〃平面P8C,平面EEGCc平面P3C=CG,所以EF〃CG,

所以四边形EFGC是平行四边形，所以产G=EC.

(2)在平面ABC内，过E作团_LA8,垂足为以E为坐标原点，EH,EC所在直线

为x，y轴建立空间直角坐标系，如图所示.

设EC=1,则E(0,0,0),C(O,1,O),P(1,-1,V2),8(2,1,0),

所以而=(-1,2,-应),EC=(0,1,0),CB=(2,0,0).

设平面PCE的法向量为m=(玉,%，4),则，,

th-EC=0

即卜+2y「01O,令日则诟=("oi).

凹=0

fi.pc—()

设平面尸86的法向量为5=(孙％4),贝|._~，

vn-CB=0n

答案第8页，共13页

-々+2：「2=0,令为"则Z=(o,i,®

2X2=0

所以cos〈菽〉=册=一5

设二面角8-PC-E的大小为6,所以sin®=

(2)分布列见解析

【分析】(1)根据相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；

(2)依题意X的可能取值为100、200、300、400,求出所对应的概率，即可得到分布列;

【详解】(1)解：甲获得羽毛球比赛冠军有3种情况：

①甲连胜3局，概率为

②前3局甲输1局，第4局甲胜，概率为C；xjx(2Y=@_；

③前4局甲输2局，第5局甲胜，概率为C；x

所以甲获得羽毛球比赛冠军的概率为，+/+$=言.

(2)解：依题意X的可能取值为100、200、300、400,

814

①羽毛球打3局获胜，长跑获奖，此时X=400,概率为=x；==；

27227

«14

②羽毛球打3局获胜，长跑末获奖，此时X=300,概率为===；

27227

③羽毛球打3局失败，长跑获奖，此时X=200,概率为xl=—；

④羽毛球打3局失败，长跑末获奖，此时X=100,概率为(口xl=—；

⑤羽毛球打4局或5局获胜，此时X=300,概率为卷+《=9

64114

⑥羽毛球打4局或5局失败，止匕时X=100,概率为1-二-二=77.

812781

答案第9页，共13页

所以P(X=100)=—+一=——，P(X=200)=—,P(X=300)=——+—=

81541625427818?

4

P(X=400)=—.

即X的分布列为

X100200300400

311524

r

162548127

20.⑴/=8x

(2)8

【分析】（1）设出网飞,8）,由焦半径得到方程，求出夕=4,进而求出抛物线方程；

（2）设出直线方程，表达出P,。两点坐标，用两点间距离公式表达出|尸。|,利用基本不

等式求出最小值.

【详解】（1）依题意,设P（知8）.

由抛物线的定义得IP用=%+与=（0,解得：xn=2p,

因为P（事,8）在抛物线C:y2=2px（p>0）上，

所以82=2px。，所以8?=2夕20,解得：p=4.

故抛物线C的方程为V=8x.

（2）由题意可知尸（2,0）,直线4B的斜率存在，且不为0.

设直线48的方程为尤=加），+2（机工0）,.

联立2:，整理得：/-8wy-16=0,

[y=8x

则乂+必=8，〃，从而苦+毛=帆（乂+%）+4=8m2+4.

因为「是弦A8的中点，所以网4疗+2,4时，

同理可得Q（3+2,-±）.

kmmJ

答案第10页，共13页

当且仅当加1=二且加=工，即加=±1时等号成立,

mm

故|P&的最小值为8.

【点睛】圆锥曲线与直线相交问题，一般设出直线方程，联立后得到两根之和，两根之积,

结合题目条件列出方程，或表达出弦长，常常结合基本不等式或二次函数等进行求解.

21.(1)最小值为工一立，最大值为g

622

⑵g+8)

【分析】(1)求导分析导函数的正负，进而得到/*)的单调性，确定函数的最值即可；

(2)化简构造函数g(x)=^Uqin-Y—ax,求导换元分析l2COS~JC4-1了的取值范围，进而分I

2+cosx(2+cosx)，3

和讨论”的范围即可

【详解】(1)a时，f(x)=gx-sinx,所以尸(x)=；-cosx.

当xeO"?)时，小)<0,f(x)单调递减，当"时，/3>0,/⑴单调递增，又

/(。)=0,/暂=£-4，于5)=g

\J)O2Z

所以/(X)在［0,利上的最小值为立，最大值为

622

cinY

(2)由当x>0时，不等式/*)+arcosxN0恒成立，可得一------奴"0恒成立.

2+cosx

、六..sinx2cosx+l

1S^W=--------以，则g'(x)=

2+cosx(2+cosx)2

.2cosx+l2cosx+4—323

而--------7=------5-=---------T-------7

(2+cosx)(2+cosx)2+cosx(2+cosx)

令£=85工+2,故;w，

则2cosx+l,

(2+cosx)~一年

答案第11页，共13页

，2COSX+1c

若则g(x)=(o+cos扭―4。(不恒为零)，

即g(x)在区间(0,+=0)上单调递减.

所以当x>0时，g(x)<g(0)=0,符合题意.

若“<；，则g'(0)=；-a>0,

因为g'(x)的图象是不间断的，故存在％e(0,y),

使得Vxe(O,x0),总有g'(x)>0,g(x)在区间(0,不)上单调递增,

故Vx«0,x。)，总有g(x)>g(0)=0,这与题设矛盾.

综上，实数。的取值范围是，+«>).