微积分下2第十章

思考题1.写出微分方程

y

-

4

y

+

4

y

=

6

x2

+

8e2

x的待定特解的形式.2.写出微分方程y¢+

4

y¢=

2

cos2

(2

x)的待定特解的形式.思考题解答2.设

y

-

4

y的特解为2+

4

y

=

6

x*1y2

xy

-

4

y

+

4

y

=

8e设 的特解为*2y21则所求特解为

y*

=

y*

+

y*

r

2

-

4r

+

4

=

0=

21,2特征根r\

y*

=

Ax2

+

Bx

+

C12y*

=Dx2e2

x（重根）21y*

=

y*

+

y*=

Ax

2

+

Bx

+

C

+

Dx

2

e

2

x

.思考题解答3.原方程可化为

y

+

4

y

=

1

+

cos

4

x21则所求特解为

y*

=

y*

+

y*

r

2

+

4r

=

0特征根

r1

=

0，r2

=

－4\

y*

=

Ax1y*

=

B

cos

4

x

+

C

sin

4

x2=

Ax

+

B

cos

4

x

+

C

sin

4

x设 的特解为1y*y

+

4

y

=

1设

y

+

4

y

=

cos

4

x*的特解为

2y21\

y*

=

y*

+

y*一、差分的概念二、差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构四、小结第六节差分与差分方程的概念

常系数线性差分方程解的结构一、差分的概念1.差分的定义设函数y

=f

(x).当x取非负整数时，函数值可以排成一个数列:f

(0)，f

(1)，，f

(

x)，f

(

x

+

1)，将之简记为y0，y1，y2，，y

x，yx

+1

,称函数的改变量

yx

+1

-

yx

为函数y的差分，也称为一阶差分，记为

Δ

yx

=

yx

+1

-

yx

.函数y

=f

(x)的二阶差分为函数y的一阶差分的差分,即Δ2

y

=

Δ(Δ

y

)

=

Δ(

y

-

y

)x

x x

+1

x=

(

yx

+2

-

yx

+1

)

-

(

yx

+1

-

yx

)=

yx

+2

-

2

yx

+1

+

yx同样可定义三阶、四阶差分：D3

y

=

D(D2

y

),

D4

y

=

D(D3

y

)x

x

x

x高阶差分：二阶及二阶以上的差分.例1求D(x

2

),D2

(x

2

),D3

(x

2

).解设y

=x

2，则2

2

2Dyx

=

D(

x

)

=

(

x

+

1)

-

x

=

2

x

+

1D2

y

=

D2

(

x

2

)

=

D(2

x

+

1)x=

[2(

x

+

1)

+

1]-

(2

x

+

1)

=

2D3

y

=

D3

(

x

2

)

=

2

-

2

=

0x解

(1)Dyx

=

yx

+1

-

yx例2求下列函数的差分(1)

y

=

loga

x;

(2)

y

=

sinax=

loga

(

x

+

1)

-

loga

xxa=

log

(1

+

1

);.a22=

2

cos

a(

x

+

1

)

sin=

sin

a(

x

+

1)

-

sin

ax(2)Δ

yx解Dyx

=

yx

+1

-

yx=

(

x

+

1)!-

x!=

x

x!D2

y

=

D(Dy

)=

D(x

x!)x

x=

(x

+

1)

(x

+

1)!-

x

x!=

x

2

+

x

+

1)x!例3

求y

=

x!

的一阶差分，二阶差分

.解(

n) (

n)Dyx

=

(

x

+

1)

-

x=

(

x

+

1)

x(

x

-1)(

x

+

1

-

n

+

1)

-

x(

x

-1)(

x

-

n

+

2)(

x

-

n

+

1)=

(

x

+

1)

-(

x

-

n

+

1)]x(

x

-1)(

x

-

n

+

2)=

nx(

n-1)(

n)=

1，求Δ

yx

(即Δ(

x

)).x

(0)例4

设y

=

x

(

n)

=

x(

x

-

1)(

x

-

2)(

x

-

n

+

1),（公式）2.差分的四则运算法则D(Cyx

)=CDyx

(C为常数)D(

yx

+

zx

)

=

Dyx

+

DzxD

yx

zx

)=

yx

+1Dzx

+

zx

Dyx

=

yx

Dzx

+

zx

+1Dyxx x

+1x x

+1=zx

Dyx

-

yx

Dzx

=

x

(4)Dz

yx

z

zzx

+1Dyx

-

yx

+1Dzxz

z参照导数的四则运算法则学习D

yx

zx

)zxzx

+1

+

yx

zx

+1

-

yxzx

+1

-

yxzx

+1

-

yx=

yx

+1=

yx

+1zxyx

+1

-

yx

)zx

+1

+

yx

zx

+1

-

zx

)==

z

x

+1Δ

yx

+

yxΔ

z

x证明（3）zx

)zxzx

+1

-

yxD

yx=

yx

+1=

yx

+1zx

-

yx

zxzx

+1

-

yx

+1

zx

+

yx

+1又证明（3）zx

+1

-

zx

)+

yx

+1

-

yx

)

zx=

yx

+1=

yx

+1Δ

z

x

+

z

xΔ

yx分析设y

=

x

3，求Δ3

y

.xy

=

x

3=

x(

x

-

1)(

x

-

2)

+

3

x(

x

-

1)

+

x例5=

x(3)

+

3

x(2)

+

x(1)Dx(

n)

=

nx(

n-1)借助公式和差分的运算法则可求解D3

y

=

DD(Dy

)x

x=

DD(Dx(

3)

+

3Dx(

2)

+

Dx(1)

)=

DD[3

x(

2)

+

6

x(1)

+

x(0)

]=

D[3Dx(2)

+6Dx(1)

+D1]=

6Dx(1)

+

6Dx(0)

=

6.解设y

=

e

2

x，求Δ2

y

.xDyx

=

yx

+1

-

yx=

e2(x

+1)

-

e2

x例6e

2

-

1);=

e

2

x=

D

e

e2

-1)2

x(

)xxD2

y

=

D

Dy=

e2

-1)De2

x

=

e

2

x

(e

2

-

1)2

.二、差分方程的概念1.差分方程与差分方程的阶定义1含有未知函数的差分

Δ

y

,Δ2

y

,的函数方程x

x称为差分方程.形式：F

(

x,

y

,

Dy

,

D2

y

,,

Dn

y

)

=

0x

x

x

x定义2含有未知函数两个或两个以上时期的符号y

x

,y

x

+1

,的方程，称为差分方程.形式：F

(x,yx

,yx

+1

,,yx

+n

)=0或G(

x,

yx

,

yx

-1

,,

yx

-n

)

=

0

(n

‡

1)方程中未知数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶.注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。如yx

+5

-4

yx

+3

+3

yx

+2

-2

=0是三阶差分方程；D3

y

+y

+1

=0，虽然含有三阶差分，x

x但实际上是二阶差分方程，由于该方程可以化为yx

+3

-3

yx

+2

+3

yx

+1

+1

=0因此它是二阶差分方程，事实上，作变量代换t

=x

+1，即可写成yt

+2

-

3

yt

+1

+

3

yt

+

1

=

0.例

7

下列等式是差分方程的有(

).C

.D2

y

=

y

-

2

y

+

yx x

+2

x

+1

xD.

yx

-

2

yx

-1

+

3

yx

-2

=

4解由差分方程的定义有：A,D是差分方程.B的左端

-

3Dyx

=

-3(

yx

+1

-

yx

)

=

-3

yx

+1

+

3

yx，x则等式实为-3

yx

+1

=a

，仅含一个时期的函数xB.

-

3Dyx

=

3

yx

+

aA.2Dyx

=

yx

+

x值y

，故不是差分方程

.而C的左端D2

y

=D(yx

+1

-yx

)=Dyx

+1

-Dyx

=yx

+2

-2

yx

+1

+yx，恰好等于右端，故不是差分方程.x

+1

x例8确定下列方程的阶2(1)

yx+3

-

x

yx+1

+

3

yx

=

2(2)

yx-2

-

yx-4

=

yx+2解(1)

x

+

3

-

x

=

3，\(1)是三阶差分方程；(2)

x

+

2

-

(

x

-

4)

=

6，\(2)是六阶差分方程.2.差分方程的解如果函数y

=φ(x)代入差分方程后，方程两边恒等，则称此函数为该差分方程的解.差分方程的通解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.差分方程的特解通解中任意常数被初始条件确定后的解.例9

yx

,Ux

,Zx分别是下列差分方程的解

yx

+1

+ayx

=f1

(x),yx

+1

+ayx

=f2

(x),yx

+1

+ayx

=f3

(x)初始条件证明

由题设知：yx+1

+

ayx

=

f1

(

x)Ux+1

+

aU

x

=

f2

(

x)Zx+1

+

aZ

x

=

f3

(

x)\

Vx+1

+

aVx

=

yx+1

+

ayx

+

Ux+1

+

aUx

+

Zx+1

+

aZ

x=

f1

(

x)

+

f2

(

x)

+

f3

(

x)\

Vx

是所给差分方程的解

.求证Vx

=

yx

+

Ux

+

Zx是差分方程yx

+1

+ayx

=f1

(x)+f2

(x)+f3

(x)的解.三、常系数线性差分方程解的结构n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1yx

+1

+

an

yx

=

0n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f

(x)f

(x)„

0(1)(2)注：(1)为(2)所对应的n阶常系数齐次线性差分方程.yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1yx

+1

+

an

yx

=

01.

n阶常系数齐次线性差分方程解的结构(1)无法显示该图片。定理

1

如果函数

y1

(

x),

y2

(

x),

，y

k

(

x

)

是方程(1)的k

个解,那末

y

=

C1

y1

+

C2y2

++

Ck

yk

也是(1)的解.（

C1

,

C2，，Ck

是任意常数）问题:若k

=n，则y

=C1y1

+C2y2

++Ck

yk

一定是通解吗？是任意常数）（

C1

,

C2，，Cn注：设y1

,y2

,

,yn

为定义在区间I

内的n个函数．如果存在n个不全为零的常数，使得当x

在该区间内有恒等式成立k1

y1

+

k2

y2

+

+

kn

yn

=

0那么称这些函数在区间内线性相关；否则称线性无关.定理2：如果y1

(x),y2

(x)，，yn

(x)是方程(1)的n个线性无关的特解,那么y

=C1

y1

+C2

y2

+

+Cn

yn就是方程(1)的通解.例如当x

˛

(-¥

,+¥

)时，e

x，e-

x

,

e2

x线性无关1，cos2

x, sin2

x

线性相关由此可见，要求出n阶常系数齐次线性差分方程（1）的通解，只需求出其n个线性无关的特解.2.

n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构*定理

3

设

yx

是n

阶常系数非齐次线性差分方程*yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f

(x)(2)的一个特解,

Yx

是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,

那么

yx=

Yx

+

yx

是n

阶常系数非齐次线性差分方程(2)的通解.由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一个特解即可.定理

4

设非齐次方程(2)的右端

f

(

x)是几个函数之和,

如yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f1

(x)+

f2

(x)而*

与1

2y

y*

分别是方程,*

*1

2y

+

y的特解,

那么

就是原方程的特解.yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f1

(x)

yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f2

(x)证明

把函数y

=

C

+

2

x代入差分方程yx

+1

-

yx

=

2，则左边

=

[C

+

2(x

+

1)]-

(C

+

2

x)=

2

=

右边，所以y

=

C

+

2

x是差分方程yx

+1

-

yx

=

2的解，它又含有一个任意常数，而所给差分方程又是一阶的，故y

=C

+2

x是该差分方程的通解.例10验证：y

=C

+2

x是差分方程

y

x

+1

-

y

x

=

2的通解.四、小结差分的定义差分方程与差分方程的阶差分方程的解、定解条件和通解4.常系数线性差分方程解的结构练习题1.设y

=a

x，求Dy

x.2.设y

=x

2

+2

x，求D2

y.下列等式是差分方程的

有（）A、-

3

yx

=

3

yx

+

a

x

,

B、D2

yx