第章 刚体的定轴转动A rigid body abou a fixed axis

5.1刚体的运动5.2刚体定轴转动定律5.3转动惯量的计算5.4刚体定轴转动定律的应用5.5转动中的功和能5.6刚体的角动量和角动量守恒定律*5.7进动第5章刚体的定轴转动(Arigidbodyaboutafixedaxis)转轴1鞍山科技大学姜丽娜本章将介绍一种特殊的质点系——刚体——所遵循的力学规律。着重讨论刚体的定轴转动。§5.1刚体的运动一、概念什么是刚体?实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。如果在讨论一个固体的运动时,这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当作刚体来处理。在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。(2)刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。1.刚体定义:ΔmiΔmｊｒiｊN支持力注意：(1)刚体是固体物件的理想化模型。质元第5章刚体的定轴转动(Arigidbodyaboutafixedaxis)2鞍山科技大学姜丽娜2.刚体的运动形式:如果刚体在运动中,连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行,这样的运动就叫平动。转动是刚体的基本运动形式之一。刚体转动时各质元均做圆周运动,而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上,这条直线叫转轴。如果转轴方向不随时间变化,则称定轴转动。

⑵转动:⑴平动：转轴ΔmiΔmｊｒiｊ注意：刚体平动时,刚体内各质元的运动轨迹都一样,而且在同一时刻的速度和加速度都相等。因此,在描述刚体的平动时,可以用一点的运动来代表，通常就用刚体的质心的运动来代表整个刚体的平动。3鞍山科技大学姜丽娜刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的结合。如图,车轮的转动。4鞍山科技大学姜丽娜转动平面二、刚体定轴转动的描述刚体绕某一固定轴转动时,其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动,且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同,根据这一特点,常取垂直于转轴的平面为参考系,这个平面称转动平面。,虽然刚体上各质元的线速度、加速度一般是不同的。但由于各质元的相对位置保持不变,所以描述各质元运动的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一样的。因此描述刚体的运动时,用角量最为方便。OviΔmi转轴ZriＰ转轴5鞍山科技大学姜丽娜2.角位移△θ1.角位置θ4.角加速度矢量转动平面v△θθ方向与转动方向成右手螺旋法则。3.角速度矢量ω:

ω方向与转动方向成右手螺旋法则。ＰP点线速度P点线加速度切向加速度法向加速度当减速转动时,角加速度与角速度方向相反;注意:当加速转动时,角加速度与角速度方向相同；ωoX转动方向Z6鞍山科技大学姜丽娜５.当角加速度矢量是常矢量时：匀加速度直线运动公式：7鞍山科技大学姜丽娜vi§5.2刚体定轴转动定律将刚体看成许多质量分别为△m1;△m2…△mi……△mn的质点;各质点距转轴的距离分别为r1、r2、ri、rn各质点速率分别为v1、v2、vi、vnrioi1.第i个质点对O点角动量2.当质点受合外力Fi

时该力对O点的力矩FiｒioOωZΔmiＰ8鞍山科技大学姜丽娜实验发现,刚体做定轴转动时,其转动状态的改变与外力的大小方向及作用点均有关。(如开门)O－转轴与转动平面内的交点M=F⊥rsinφ力矩定义:pφ力矩的方向:沿Z轴方向力矩的大小:FrF⊥F//OZF//--表示力F在转轴方向的投影F⊥--表示力F在转动平面内的投影r--O点到力的作用点的矢径Φ表示F⊥与r的夹角沿转轴方向,并与矢径r及F⊥

成右手螺旋法则。9鞍山科技大学姜丽娜FF⊥F//当我乔们用艺力F推门疤时，宣该力纽奉可以乌分解跟为垂蹲直于屋门轴架方向胃的力砖和平泽行于狠门轴岁方向功的力梁，平图行于租门轴满方向纳的力换对门谁的转伙动是送否起社作用脂？问题谨:10鞍山棋科技个大学距姜葬丽娜oiφiriFi⊥ｒiZΦi表示Fi⊥与r

i的夹角垂直诵于Z轴垂直得于Z轴3.箭整邻个刚黄体受浙合外畅力矩净沿Z轴的射分量团：ｒioOωZpFiFiZ11鞍山创科技针大学伪姜构丽娜riviΔmiＰｒioｒiZ第i个质非点对O点角殖动量垂直蜂于Z轴平行冻于Z轴第i个质捉点沿Z轴的诱角动裙量4.刺整岛个刚睁体总鹅角动按量沿Z轴的姓分量扔：OωZoi12鞍山完科技扑大学却姜傅丽娜5.潜刚忧体的遭角动神量6.散刚习体对疑于转恋轴的贩转动悉惯量7.糟刚丸体定授轴转浅动定得律——盛刚蝴体定贼轴转踢动定慨律刚体凉对于吊某一轧转轴架所受往的合妈外力治矩等驼于刚株体对叙该转蔽轴的童转动虏惯量愿与在耳此合诱外力葡矩作念用下忆所获谢得的平角加礼速度赚的乘剑积。意义捕：13鞍山斯科技棒大学伪姜鼻丽娜1.针定巾轴转份动惯两量定果义:§5坏.3才转代动惯罢量的茧计算分立届刚体短:转动惨惯量狂等于傍刚体补中每血个质炒点的患质量桌与这禁一质贯点到左转轴因的距暑离的暴平方徒的乘滩积的周总和特。Δmioiri14鞍山态科技够大学评姜坏丽娜连续禽刚体象:ρ—替—质量拢体密山度σ—脆—质量萄面密百度λ—麻—质量林线密桑度dmor15鞍山无科技柄大学猴姜狼丽娜2.趁转敬动惯感量的爷计算例伙1造刚性承三原竭子分庙子其庆质量斜分布缠如图忍所示渐，求忘绕转徐轴的汪转动菌惯量例麦2质量纽奉为m，长为l的均瓣匀细铜棒，萝分别豆求其筛绕垂裳直中形心转态轴和销绕一雄端转潜轴的学转动屿惯量角。⑴⑵r1r2r3m1m2m3转轴16鞍山狸科技矿大学深姜跳丽娜解:设棒勉单位芒长质键量:则⑴支按如元图⑴担所示危建立放一维茂坐标谨系,瞧绕中露心轴脂的转距动惯鲜量为则⑵灵按如自图⑵毁所示吹建立漂一维巷坐标振系绕唤一端迈的转锯动惯痒量为oX图⑴图⑵Xoλ=翅m/冈l,dxdxdm在=λdxdm17鞍山解科技趋大学知姜效丽娜oRZ例虑3求质怨量为m，半径俗为R的均逮匀薄机圆环快的转堆动惯腐量，唐轴与抗圆环仁平面虽垂直查并通妇过其凳圆心付。dm解:18鞍山慎科技低大学诸姜织丽娜RoZ例慌4求质构量为m，半径貌为R的均旁匀薄匙圆盘将的转恋动惯拥量，问轴与益圆盘动平面声垂直赚并通忆过其缺圆心俭。drr解:用设圆舒盘单驶位面吨积上婆的质影量为σ在圆忙盘上月取半挣径为r，宽为dr的圆辅环，渡该圆涌环质材量：圆盘化转动缩慧惯量普为19鞍山修科技责大学签姜帮丽娜例傲5求质薄量为M，半径苹为R，厚为l的均匀狠圆柱允体的捡转动舒惯量功，轴软与圆驱柱平借面垂屑直并辟通过公其轴步心。RoZldl解:蚀设圆妙柱体沃单位鼠长度之上的谋质量对为λ在圆坝柱体骂上沿践轴向巨取长纯为dl的薄亮圆盘舒，该钓圆盘椅质量代：圆盘宅转动研惯量骑为圆柱杜体转渣动惯投量为20鞍山业科技量大学司姜侵丽娜例稳6C60分子度由6脊0个休碳原驱子组晚成。严这些枣碳原初子各群位于耻一个昌球形吩32挠面体寻的6液0个舟顶角喘上。占此球馅体的虏直径稿为7阵1nm。求按痕均匀乘球面衰计算洪，求件此球胁形分认子对丙一个趟直径植的转依动惯书量是僚多少棋？解:移设碳谜原子母的质贴量为m，球体泻半径厅为R21鞍山俭科技要大学技姜仆丽娜Z3.转动单惯量唉的物众理意贝义及谊性质:⑴转动努惯量刃与质洁量类匹似,木它是孔刚体贼转动鉴惯性们大小水的量罪度;⑵转动丝式惯量舅不仅胞与刚念体质沿量有敢关,漂而且伶与刚猛体转摄轴的胞位置其及刚喇体的歼质量勿分布盐有关氏;⑶转动讯惯量碧具有握迭加肾性;如图愧,如皮果三洋个刚快体绕礼同一咸转轴免的转货动惯眉量分祖别为J1,J2,J3,则该唯刚体纲系统幅绕该辨轴的资转动使惯量蔬为J=定J1+J2+J3⑷转动握惯量富具有证相对珍性;同一便刚体然,转盟轴不垂同,脸质量保对转顽轴的拒分布秆不同塌,因禾而转努动惯那量不挂同。ZCdZ’刚体费对任仓一转奇轴的彩转动却惯量深等于套刚体茧对通侮过质佣心并吃与该叛轴平楚行的炉转动溪惯量帅加上桃刚体弊质量盈与两传轴间叹距的筐二次玩方的览乘积煤。⑸平狭行轴长定理界：J=Jc+m元d222鞍山左科技凝大学壶姜沉丽娜转动冒定律实验禽指出迈,一厦个绕对固定芝轴转钳动的某刚体宪,当戒它所兽受的载合外剪力矩捞(对沫该转泳轴而释言)吼为零泪时,世它将务保持骨原有搬的角袭速度颈不变罚。该西定理披反映戒了任回何转惠动物秤体都投有转荣动惯助性。一个改绕固摇定轴迁转动钞的刚估体,寄当它当所受困的合矿外力绍矩(挽对该贫转轴泪而言数)不沉为零使时,爸它将撒获得拍角加黄速度劈燕,角肝加速姥度的化方向担与合片外力舍矩的俗方向牢相同时;角凳加速或度的枯量值律与它邪所受旬的合胃外力狮矩成艺正比钥,并呜与它多的转厦动惯榴量成甜反比察。当选您用国诞际单汇位制激时,揉该定颠律可肿写成§员5.测4洁刚体矛定轴敏转动温定律莲的应辉用刚体凳转动助的第娘二定决律:刚体咸转动竭的第细一定穴律:23鞍山势科技燃大学损姜护丽娜例6如图秋一质身量为M长为l的匀逗质细饼杆，妹中间俯和右虎端各饼有一卸质量纸皆为m的刚待性小刘球，盲该系觉统可描绕其鸡左端睡且与无杆垂浮直的膊水平临轴转笑动，子若将肯该杆剖置于黑水平袍位置虫后由复静止育释放粉，求销杆转扣到与站水平宪方向天成θ角时系,杆架的角帅加速竖度是蓬多少少?解:庄1设床转轴杰垂直功向里忧为正佣,系责统对钉该转乓轴的竭转动尊惯量弊为该系缘瑞统所包受的库合力盖矩为由转哨动定陆律:M=辽Jα可得方向受:指赛里。θmgl24鞍山革科技乖大学黑姜报丽娜例7旧固定律在一施起的狱两个夫同轴芽均匀滨圆柱义体可匆绕其浸光滑愿的水关平对芽称轴OO’转动坏,设谋大小淹圆柱添体的少半径竿分别炸为R和r,质量六分别臂为M和m,绕在饺两柱砍体上槽的细胃绳分满别与刷物体m1和m2相连,m1和m2则挂孟在物妥体的亚两侧疲,如判下图弹所示票。求:⑴柱少体转蒙动的尽角加誓速度α;⑵两细最绳的摩张力T1和T2。设R=态0.甘2m,挑r学=0择.1m,m沫=4kg,M讽=1下0kg,m1=m2=2kgmOO’m1m2MrR25鞍山屡科技穴大学酸姜随丽娜4.禾由段牛顿脖第二怀定律婆和转趟动第山二定信律可右列方亭程如饿下XoT2m2gT1m1g3.家隔茅离物主体分哪析力讨,2.蕉定伸性分票析m1向上m2向下坡;定锋转轴驼正向铜沿oo’从左桨侧视狐图看你转轴夕正向矛指里稀;设m2向下普为坐妻标正绘向;解:1.屯确定嘉研究充对象敌：m、M、m1、m2T’2RroT’126鞍山吧科技亭大学齿姜舍丽娜4.薯解酱方程足可得庭结果予如下郑:27鞍山策科技归大学抚姜滩丽娜练习拘1：慕如图怎所示努,有漠两个训质量唯分别岩为M1、M2，半径烂分别同为R1、R2的匀坐质定胶滑轮敲，轮肺缘上持绕一烤细绳薄,扰其两本端挂亲着质洋量分迷别为m1和m2的物治体。抵若m1<m2,忽略器轴承始处的垦摩擦称,握且绳狂子与蚂滑轮半间无投相对颈滑轮久,拖求滑阔轮的绢角加拿速度述及绳串子的谷张力T1、Ｔ2、T3。m2m1T2T1T3M1R1M2R228鞍山夺科技剩大学搁姜管丽娜T2M1R1M2R2T3T1m1gT2m2gT3T129鞍山桐科技衡大学胸姜牢丽娜30鞍山搞科技页大学钳姜闸丽娜练习碧2:P.恶28津6许5鲁.1料1两个纱物体稼质量厦分别跪为m1和m2定滑往轮的小质量展为m，半径途为r，可视糠为均选匀圆巾盘。及已知尚桌面救间的洋滑动梢摩擦贫系数冒和为μk，求m1下落涉的加糊速度淘和两同段绳杜子中判的张浩力各赌是多神少？卖设绳嫌子和液滑轮豆间无思相对进滑动景，滑直轮轴坊受的裳摩擦子力忽郊略不坦计。m1m2rm31鞍山残科技鞋大学辉姜止丽娜P.缠28思6驻5丘.1摇1解：T2T1m1gfT’1T’2m2aar32鞍山牢科技嗓大学为姜葛丽娜解方冈程可邻得结轿果如拾下:33鞍山脖科技径大学扯姜墓丽娜将刚鸣体看跨成许染多质荐量分肌别为步△m1垂、△m2贞…△mi…狮…△mn的质帅点;各质杨点距滋转轴精的距史离分毕别为r1、r2辣…ri…rn整个腹刚体锐的动节能一、骄转估动动设能—称盆刚体液的转邮动动岗能§5鬼.5零转才动中庆的功蓝和能则第i个质贿元的未动能34鞍山提科技律大学填姜请丽娜O二、鉴力矩产的功扑--必--掘力矩裤作用隆于刚弹体的冈空间订累积粗效应当力菊持续厦作用舅于刚饱体使鸟其角钞位置辞由θ1到θ2时,可力矩职的功医为αφ如图力f作用于P点使刚体绕转轴转过微小角度dθ,P点对应的线位移为dr,力所作的元功pfdrdθr35鞍山争科技躁大学固姜彩丽娜当力瓣矩为射常量括时,辫功为对于降同一窄转轴屯,刚上体中爸所有罗内力贿矩功魄的总仇和为忠零。三朵、力另矩的蛇功率戒:2.则当力沿矩与歌与角玻速度址同向辅时,穷功和浅功率索皆为嘱正值芹;反茫之为估负。单位纯时间晋内力剑矩所踏做的念功。注意缠:1.镰当额镰定功絮率一忌定时或,力迷矩与咬转速誓成反愈比;36鞍山新科技凶大学言姜红丽娜四、刑刚伟体定据轴转雀动的齿动能权定理末态氧的角执位置坐和角浴速度抢分别搁为θ2和ω2,则在级该过厉程中骡力矩剖的功馅为：即,坡合外啦力矩太对刚摧体做盈定轴纵转动怖所作耗的功阀,等晶于刚榜体转撇动动像能的舰增量及。设刚茄体上拖某质六元初萌始时肠的角郑位置获和角俯速度贱分别起为θ1和ω137鞍山药科技品大学侄姜赢丽娜m质量山为m的不娇太大爸的整紧个刚住体的指重力干势能ydmycC一个烤不太哥大的烤刚体弃的重峡力势抱能和疏它的绍全部圣质量袄集中玻在质珍心时甚所具好有的汉势能某一样吸。结论贷：五响、刚贴体系健统的小功能既原理A外力+A非保师守内卧力=（Ek2+Ep2）-猴（Ek1+Ep1）当含伪刚体黎的系望统在平运动岭过程更中只丝式有保城守力使内力平做功蒜时,宅在该盖过程的中系脾统机娇械能临守恒绣。XYOz38鞍山慈科技迟大学工姜厚丽娜例汇3：如图吃一质惹量为M长为l的匀竿质细做杆，驾中间唇和右千端各吼有一雾质量贿皆为m的刚巨性小债球，芦该系奴统可孔绕其清左端区且与敬杆垂祥直的星水平妨轴转榴动，穷若将逝该杆涂置于撞水平息位置非后由雅静止羞释放郊，求袜杆转涛到与很水平机方向伍成θ角时洞,杆进的角泉速度密是多武少?θmgl1.冲研墓究对砍象:丹杆+耻球+残地球身=系哨统重力mg右—保守伏内力嗽;忧弹力凤其功兄为零2.尖分吩析系镜统受煤力及党力的执功:3.贿取灵重力气势能械零点糕:水构平位末置4.构运蜓动过倘程中紧系统吊满足伐机械附能守津恒的捞条件奸:解:39鞍山里科技街大学平姜曲丽娜40鞍山答科技酒大学佛姜靠丽娜riviΔmiＰωZoi§5稻.6帆对尿定轴吓的角庸动量灰守恒一、决冲量撕矩-敞--肚-力写矩作胆用于栽刚体锄的时竞间累阻积效芹应定义轨:二、姓角动院量定厚理:1.湾角园动量巡寿定义炸:质点骨对Z轴的迅角动拦量:刚体侨对Z轴的陪角动枣量:2.两角捆动量赶定理:转动斤物体攀所受取合外匀力矩蜜的冲兔量矩畜,等腊于在现这段欧时间品内转颜动物房诚体角努动量损的增津量。排角动鸟量也役称动舱量矩钉。3.洁角暖动量利定理额的意郊义:41鞍山克科技纯大学绑姜往丽娜三、贼角动尖量守阳恒定榴律:由角闸动量甚定理肯可知具：1.抚角动把量守别恒有宵两种轮情况认:注意:当刚锈体所障受合零力矩六为零饲时即M=0时,秤其角尺动量L保持适守恒摧。2.沿角动稠量守穷恒定系律与齐动量闷守恒通定律朝、轿能量勉守恒四定律散一样昏都是盖自然亮界的妹规律净。一是炉转动忘惯量鲁与角义速度岩都不尘变;二是地两者访都变率但二陷者的蔽乘积峰不变霸。42鞍山励科技扣大学序姜代丽娜舞蹈来中的浑角动屑量守金恒现匹象43鞍山映科技情大学瞒姜抬丽娜滑冰稻中的社角动粮量守酒恒现拖象44鞍山炎科技泻大学疮姜盏丽娜跳水拾中的糠角动生量守渐恒现拔象起跳入水45鞍山划科技悲大学结姜酷丽娜例4:如扇图长蓬为L的均渠匀直练棒其跳质量碑为M,上端竿用光伯滑水异平轴秧吊起仍而静满止下齿垂。利今有位一子凉弹质绘量为m,以水钳平速皮度vo射入粱杆的垒下端格而不惭复出奇。求：声子弹香刚和前杆开资始一谎起运凝动时创的角尸速度ω多大在?mvooL46鞍山湖科技哨大学挑姜浊丽娜解:1.妈定毛转轴怪正向纷：指豆外2.保隔汽离物径体分颗析力梁及力可矩；子弹魄冲入车杆的辩过程抽中，亚以子候弹和变杆为加系统缎，则斑系统胡的角供动量卖守恒仅。设子唉弹刚臭冲入带杆中撑，子芝弹和识杆共幸同的培角速卫度为ω，则由刷角动狡量守反恒定裂律可趣得mvooLfFMgmgf’47鞍山悦科技察大学激姜挨丽娜例5:如招图长纳为l，质量努为m的均陶匀直克棒静挖止在订一光预滑的机水平青面上蚂。它克的中慢点有宜一竖喂直光际滑固福定轴日，一妄个质吉量为m’的小怜球以钳水平拴速度vo射垂耕直于圣棒冲滋击其拌一端闪发生剃弹性潜碰撞询。求验碰撞惑后球捐的速罚度v和棒汽的角落速度ω。lmvom’o48鞍山刊科技经大学招姜书丽娜解:定转傻轴正烤向指巾上；以子消弹和扰杆为币系统蒜，则番系统兆的角袭动量轮守恒盾动能膀守恒拥。mvom’ovm’ωωZ49鞍山宅科技局大学待姜盈丽娜例昌6:如僻图长潮为l的均弊匀细着棒,毯一端组悬于o点,壮另一群端自贴由下矛垂,玻紧靠o点有症一摆主线长班为l的单并摆,核摆球齐质量漂为m,现将为单摆庭拉到驱水平长位置狠后,渴由静添止释任放,裳设摆洪球在辩其平贞衡位文置与裳摆做拿弹性础碰撞串后摆党球袄恰好税静止恐,试求胸:⑴细输棒的额质量M;⑵细棒疫碰撞励后摆诉动的歉最大获角度θoθ50鞍山会科技培大学灿姜剂丽娜(一)布单摆盾下落掌过程浴(A→例B)黄:1.膏研究何对象敲:摆琴球崖+地怀球=库系统重力mg—保守狡力力掀;寺绳的追张力T—其功臣为零2.咐分析鸽系统口受力劫及力捐的功搭:3.丈取零张点势泰能:B点4.A→为B过程库系统地满足俊机械界能守禾恒条引件:BAmgTθC51鞍山蔽科技吴大学还姜饼丽娜(二枝)单恒摆与四棒碰垦撞过饭程(岗在B点)拍:1.锅研钟究对这象:讨摆赴球+凉棒+糠地球膝=系够统2.覆设芒转轴扯正向讲垂直锐向里肚;3.涉因鸦为系地统做夫弹性猜碰撞娇,故瞎碰撞研过程疫机械幻玉能和甚角动栋量皆张守恒设棒悔碰撞仙后的众瞬时甲角速犁度为ω’52鞍山猎科技忧大学蛋姜航丽娜(三鲁)碰简撞后及细棒镜上摆脂过程贤(B→恼C)资:1.尊研遭究对琴象:孕棒+畅地球宣=系僵统重力Mg—保守振内力定;轴霉对棒乐的压持力N—其功搁为零2.创分愤析系桶统受栏力及饰力的州功:3.休取猪零点朗势能铁:B点处贺细棒臣中点