椭圆的定义及性质

关于椭圆的定义及性质第1页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三．．．．ABP．PPPP|PA|+|PB|=500|AB|=200第2页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(>|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离2c叫做椭圆的焦距椭圆的定义和标准方程第3页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三求方程的过程:解(1)建系：以F1F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系,则有两焦点坐标分别为：F1(-c,0),F2(c,o)(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据已知有：|PF1|+|PF2|=2a·F1P(x,y)·yoF2x·这个椭圆的一个标准方程为：(a>b>0,a2=b2+c2)第4页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三求方程的过程:解(1)建系：以F1F2所在的直线为y轴，以线段F1F2的中垂线为x轴建立直角坐标系,则有两焦点坐标分别为：F1(0,-c),F2(0,c)(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据已知有：|PF1|+|PF2|=2a·F1P(x,y)·yoF2x·这个椭圆的标准方程为：(a>b>0,a2=b2+c2)第5页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三椭圆的标准方程分类图示焦点坐标共性F1(-c,0)F2(c,0)长轴长:2a短轴长:2b焦距:2c(a2=b2+c2）F1(0,-c)F2(0,c)第6页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三椭圆的几何性质:()1.范围:|x|≤a|y|≤b

椭圆位于直线x=±a

和直线y=±b所围成的矩形区域内2.对称性：关于x轴和y轴对称，也关于原点中心对称A1·F1·oF2xA1A2B2B1第7页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三椭圆的几何性质:()·F1·oF2xA1A2A1B2B13.顶点和长短轴：长轴：A1A2

短轴：B1B2

顶点：

A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b)4.离心率：

第8页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三椭圆的第二定义:已知点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离的比为常数(a>c>0)，求点M的轨迹方程M(x,y)·oFx··(这个方程是椭圆的一个标准方程，称这个定点F是椭圆的一个焦点，定直线是椭圆的一条准线，比值叫这个椭圆的离心率)第9页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三M(x,y)·oF2x··结论：椭圆有两条和它的

两个焦点相对应的准线F1第10页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三结论：椭圆有两条和它的两个焦点相对应的准线·F1·yoF2x与F2对应的准线方程：与F1对应的准线方程：第11页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三例1：求椭圆4x2+y2=2的准线方程椭圆的焦点在y轴上，且a2=2,b2=0.5,c2=1.5椭圆的两条准线方程为解：由已知有椭圆的标准方程为第12页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三

ex1:椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则椭圆的短轴长为多少？第13页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三

eg1:椭圆9x2+25y2-225=0上一点到左准线的距离为2.5,则P到右焦点的距离是()(A)8(B)(c)7.5(D)7椭圆的性质的应用：第14页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三

eg2:椭圆的右焦点为F，

设点A,P是椭圆上一动点，求使取得最小值时的P的坐标，并求出这个最小值第15页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三问题：平面内到两个定点F1，F2的距离的差是定值||PF1|-|PF2||=2a的点P的轨迹是什么？(1)若这个定值为0，它表示什么？(2)若这个定值=|F1F2|，它表示什么？(3)若这个定值>|F1F2|，它表示什么？(4)若这个定值非零且<|F1F2|,它表示什么？第16页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三当差值为0时，即|PF1|=|PF2|时：P．F1F2．．轨迹是线段F1F2的中垂线．第17页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时:

或|PF2|-|PF1|=|F1F2|时:P．F1F2．．轨迹是分别以F1和F2为端点的两条射线．P（可不可能）？．P．P?第18页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三当|PF1|-|PF2|的绝对值>|F1F2|不可能，因为在三角形中，两边之差小于第三边F1F2．．P第19页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三理想化的问题：一个出租汽车司机想从A地点送一个乘客到达目的地后，然后返回B点的家，已知A、B两点的距离为20公里假设司机送客和返回家都是直线行驶，假设汽车每行驶一公里耗费一元，乘客每乘坐一公里付费二元，请问这个司机怎样考虑接受乘客的目的地，他才可能至少能收益15元？（假设不考虑职业道德）第20页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三分析：为了把问题简单化，我们先研究司机刚好只收益15元的情形AB．Ｐ(目的地)2|PA|-(|PA|+|PB|)=|PA|-|PB|=15（注意:|PA|-|PB|=15<|AB|=20）第21页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三你会替司机出个主意了吗？（要求:|PA|-|PB|=15且|AB|=20）AB．Ｐ(目的地)|PA|-|PB|>15时呢？第22页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(<|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线。这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距2c。(o<a<c)双曲线的定义？：如果定义中没有“绝对值”这三个字，还是双曲线吗？第23页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三双曲线的标准方程的求法：为了体现双曲线的对称美，和我们研究数学的由简单到复杂的思维规律，我们也选择对称的建系方式，称如下建系所得的双曲线方程为双曲线的标准方程：xyOxyO建系设点找等量关系式翻译等量关系化简整理步骤：第24页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三解:第(1)步：如图：以F1F2所在直线为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系,则点F1和点F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)OXY第25页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三第(2)步：设点P(x,y)双曲线上的任意一点，则有:

OXY|PF1|-|PF2|=±2a第26页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三(3)由|PF1|-|PF2|=±2a和两点间的距离公式得：

接下第27页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？第28页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三

焦点在x轴上的双曲线

的标准方程是：同理：焦点在y轴上的双曲线

的标准方程是：注：a2=c2-

b2xyOxyO结论：第29页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三例1已知两个定点的坐标分别是F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程第30页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三例2已知一个动圆过点A(2,0),并且和一个定圆(x+2)2+y2=4相切,求这个动圆的圆心的轨迹方程第31页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三双曲线的标准方程中的几个参量：例3.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三个量a,b,c的值。①②③再请你指出各自的顶点和焦点坐标第32页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三证明：设m,n>0,则有：

和有公共的焦点，它们的实轴长和虚轴长正好对换和有公共的渐进线，它们的实轴和虚轴正好对换。我们称它们为共轭双曲线第33页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三例4：请判断以下方程表示什么样的曲线？并指出它们的焦点在哪个坐标轴上。第34页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三双曲线的渐近线方程练习：例5.求出下列双曲线的渐近线的方程。①②③第35页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三与双曲线的渐近线有关的结论：(1)求双曲线的渐近线方程时，只需将上式右边的1换成0即可(2)双曲线表示任意以为渐近线的双曲线系

(k≠0)第36页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三双曲线的渐近线方程：第37页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三例：双曲线的中心在原点，对称轴是两坐标轴，有一条渐近线方程为2x+3y=0,并且过定点(2,2)求这个双曲线的方程.(2,2)第38页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三解法一：如图,双曲线的两条渐近线把坐标平面分成四部分，点(2,2)刚好在上部分，故有这条双曲线的焦点在y轴上，设它的标准方程为第39页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三由双曲线的标准方程为

知它的渐近线方程为：第40页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三又已知点(2，2)在双曲线上，则有：解得：故所求的双曲线的方程为：第41页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三解2：据题意：双曲线的渐近线方程为：即不妨设所求的双曲线的方程为：将点(2,2)的坐标代入上式：故所求的双曲线的方程为：第42页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三证明：双曲线上任一点

到它的两渐近线的距离之积为定值，并求这个定值。证明：由已知，它的渐近线方程为它们的标准方程为bx±ay=0设(x0,y0)是双曲线上的任意一点，则有：第43页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三...p示意：如图，过点P向两条渐近线引垂线交两条渐近线于点M、N，则有：MN第44页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三问题：|PM|+|PN|有最值吗？何时有，是多少？...pMN第45页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三已知双曲线右支上一点P到它的右焦点的距离为10，则P到双曲线的左准线的距离是多少？...P(x,y)F2F1xyMN第46页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三回顾:椭圆的焦点半经公式及求法：(2)设P(x,y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|和|PF2|的值为a±ey(1)设P(x,y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|和|PF2|的值为a±ex第47页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三..F1F2.P(x,y)MN分析：如图，过点P向两准线引垂线交两准线于点M、N，根据双曲线的第二定义：第48页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三..F1F2.P(x,y)MN同理：第49页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三同理：当焦点在y轴上时：..F1F2.P(x,y)MNxy|PF1|=a+ey|PF2|=a-ey第50页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三如下图提示：你能推出焦点在x轴上的双曲线的焦半经公式吗？...P(x,y)F2F1xyMN第51页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三若它的焦点在x轴上，则有|PF1|、|PF2|为ex±a若它的焦点在y轴上呢？则有|PF1|、|PF2|为ey±a第52页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三双曲线中三角形PF1F2中的边和角...P(x,y)F2F1xy正弦定理、余弦定理、和三角形面积公式在图中的体现及相互间的联系。第53页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三...P(x,y)F2F1xy第54页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三(1)余弦定理：...P(x,y)F2F1xy第55页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三(2)正弦定理：...P(x,y)F2F1xy第56页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三(3)三角形的面积公式：...P(x,y)F2F1xy第57页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三实例1：点P是双曲线上的一点，F1、F2是焦点，,求的面积...pF1F2xy第58页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三圆锥曲线的统一定义平面内到定点的距离和到定直线的距离的比是定值e的点的轨迹是：(1)当0<e<1时表示一个椭圆(2)当e>1时表示一个双曲线(3)当e=1时表示什么呢？平面内到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹叫抛物线至此，椭圆、双曲线、抛物线的定义就统一起来了，这三种曲线统称为圆锥曲线。第59页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三

平面内到定点的距离和它到定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线抛物线的标准方程：以后我们约定这个定点到定直线的距离为P.FLK讨论：怎样建立坐标系所得方程简单？第60页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三建系方式一：以后我们约定这个定点到定直线的距离为P.FLK讨论：怎样建立坐标系所得方程简单？Oxy如图：以过焦点且垂直于准线的直线为x轴，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。则F点的坐标为准线的方程为第61页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三.FLKOxy设点M(x,y)是所求的曲线上的任意一点，过点M作MD垂直直线L交L于点D，则有根据定义有：|MD|=|MF|.M(x,y)D……它叫抛物线的一种标准方程它的焦点坐标和准线方程是？第62页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三抛物线的标准方程有四种：请分别画出它们的草图，并指出它们的焦点坐标、准线方程你还记得上式中P的几何含义吗？第63页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三.FLKOxy焦点的坐标为：准线的方程为.M(x,y)D第64页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三.FLKOxy焦点的坐标为：准线的方程为.M(x,y)D第65页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三焦点的坐标为：准线的方程为.FLKOxy.M(x,y)D第66页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三焦点的坐标为：准线的方程为.FLKOxy.M(x,y)D第67页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三例1:(1)已知抛物线的焦点坐标是

F(0,-2),求它的标准方程.FLKOxy第68页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三(2)已知抛物线的标准方程为y=x2,求它的焦点坐标和准线方程.FLKOxy第69页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三例2：探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口的直经为60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置。.FOxyAB第70页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三抛物线的几何性质：(1)范围：(一)(二)(三)(四)(2)对称轴及顶点(一)(二)(三)(四)(3)离心率抛物线的离心率恒为1第71页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三抛物线的焦半径公式:(一)(二)(三)(四)设M(x,y)是以下抛物线上的任意一点，F是抛物线的焦点，则焦半经EF的长度为：当抛物线的方程为y2=2px时,则|MF|=当抛物线的方程为y2=-2px时,则|MF|=当抛物线的方程为x2=2py时,则|MF|=当抛物线的方程为x2=-2py时,则|MF|=第72页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三例3：过抛物线y2=2px的焦点F任意作一条直线交抛物线于A、B两点，求证：以A、B为直经的圆和这个抛物线的准线相切。.FLKOxyAB·M第73页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三过抛物线y2=2px的焦点F的弦长公式：设直线AB与抛物线的对称轴的夹角为θ，则有.FOxyAB·第74页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三特殊情形：当θ=90°，即AB和对称轴垂直时：.FOBA··|AB|=2|AF|=2p此时称线段AB为抛物线的通经第75页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三x.FOyBA设直线AB的斜率为k(k≠0),则直线的点斜式方程为联立方程：第76页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三x.FOyBA·第77页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三x.FOyBA··还有新的方法：设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)两式相减得：第78页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三x.FOyBA··第79页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三例4：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与抛物线的两个交点的横坐标分别是x1、x2,纵坐标分别是y1、y2,求证:x.FOyBA··分析：当直线的斜率不存在时，当直线的斜率存在时。第80页，讲稿共89页，2023年5月2日，星期三例5：PQ是过抛物线的焦点的一条弦，通过点P和抛物线的顶点的直线交准