高中数学-等差数列的前n项和（第一课时）教学设计学情分析教材分析课后反思

等差数列的前n项和（第一课时）教学设计（一）以境激情,提出问题有一种新型的放置粉笔的装置，它具有取放粉笔方便、快捷的优点——V型粉笔架（教师把事先制作好的道具给学生演示）最底层装1支，倒数第二层装2支，以此类推每往上一层粉笔增加一支，一共装了14层；另一种是普通的盒装粉笔装置，一盒50支，共有2盒；请问：哪一种装置的粉笔数多？【设计意图】创设生活化问题情境，一方面激发学生学习新知的兴趣与积极性，另一方面充分体现数学在实际生活中的广泛应用。大部分学生采用直接相加或者借助计算器来完成，少数学生可能会想到用高斯的算法来处理，教师趁机引导：直接计算是一种方法，但是数字大的时候计算量很大，运算效率低下，为了提高运算效率，我们经常会借助巧算，借此引出高斯求和的故事[知识链接]（教师幻灯投影、图文并茂）高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝101×50＝5050.师生共同分析高斯算法的巧妙之处：把不同数的求和问题转化成相同数的求和问题[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律．学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下由浅入深、由具体到抽象的几个问题．（二）启发引导,探索发现问题1、如果V型粉笔架有25层，请问：一共有多少支粉笔？把学生分成若干小组，进行小组合作、交流讨论学习，思考成熟的小组举手示意并派代表展示本小组的成果，其它学生则一起分享。[学情预设]受高斯算法的启示，学生可能会出现以下的解法预设1、1+2+3+4+…+25=0+1+2+3+4+…+25=（0+25）+（1+24）+（2+23）+…+（12+13）=25×13=325预设2、1+2+3+4+…+25=（1+2+3+4+…+25+26）-26=（1+26）+（2+25）+（3+24）+…+（13+14）-26=27×13-26=325预设3、1+2+3+4+…+25=（1+25）+（2+24）+（3+23）+…+（12+14）+13=26×12+13=325师：以上方法都很好，只是表现的形式略有区别，其实质是一样的，都采用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．【设计意图】这是求奇数项和的问题，若简单地模仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想．问题2：如果V型粉笔架有n层（n∈N*），请问：一共有多少支粉笔？教师给学生足够的时间交流、讨论，让学生大胆说出自己的想法，[学情预设]学生通过激烈的讨论交流后，得出结论：要对项数n进行分类讨论，即n为奇数时不刚好配对，n为偶数时刚好配对。教师进而提出问题：“有没有其它方法可以避免分类讨论呢？”．【设计意图】从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一高斯算法的改进．启发1：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．请同学们认真观察每一层的粉笔数量有何特征及粉笔的层数，能否把的表达式写出来呢？【设计意图】借助几何图形的直观性，能启迪思路，让复杂问题简单化、抽象问题具体化，揭示研究对象间的性质与关系，并为倒序相加法的出现提供了一个直观的模型．通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：∵1+2+3+…（n－1）+nn+（n－1）+（n－2）+…+2+1____________________________________________________________________(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)∴1+2+3+…+n=启发2：以上是从图形的直观角度入手，借助倒置的图形与原图形构成平行四边形从而避免分奇偶讨论的情况，同学们思考该方法的数学本质是什么呢？即对于任意的正整数项数n而言，如何能让它转化为偶数，且计算要最简便呢？”分析：任意正整数的偶数倍一定是偶数，且2倍是最简单的。【设计意图】数、形既是数学知识体现的两个方面，又是相辅相成的，正如著名数学家华罗庚所说的“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。形具有形象、直观性，是感性认识的良好素材；而数具有严谨性、说服力，最能体现数学本质的东西。又因为数学是科学的、严谨的，所以数形结合才能给学生留下深刻的印象。（三）、类比联想,解决问题问题4：在公差为d的等差数列{}中，定义前n项和，如何求？由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：也可写成∴

(公式1)挖掘公式,深化认识为了更全面系统的掌握、理解公式，教师继续提出以下问题并组织学生小组讨论：问题1、为什么有成立？（等差数列的性质）分析：实质是等差数列的重要性质——等距性（即∈N,）的应用，【设计意图】一方面巩固等差数列的性质，另一方面是理解公式的内涵问题2、在公式1中若将代入又可得到怎样的式子?即：（公式2）教师还可以引导学生将式子变形成：【设计意图】培养学生思维的发散性，为用函数观点解决数列问题做铺垫问题3、两个公式有何异同点？学生小组讨论后得出结论：两个公式都含有四个量，只是基本量不同而已：公式1含、、、四个量，公式2含、、、四个量。【设计意图】培养学生观察、比较、分析、归纳等能力问题4、从方程的角度来看，可以解决什么问题？生：知三求一的问题【设计意图】培养学生用方程（组）思想分析问题、解决问题的能力。问题5、如何更好的记忆公式？跟以前学过的什么公式类似呢？引导学生回忆梯形的面积公式，并作出以下的分析【设计意图】培养学生类比、反思等思维能力[知识链接]【设计意图】这些问题串的设计，是为了达到：数学公式课的教学，不仅要知道公式的来龙去脉，还要知道公式是什么，记住公式且挖掘公式的内涵与外延。更重要的是公式有何用，怎样用？让学生对公式课的学习有个系统、全面的认识，形成一套科学而有效的探究公式的方法。力求体现“授之于鱼，不如授之于鱼渔”的教学价值。(四).剖析例题，理解巩固例1、计算（1）5+6+7+…+79+80（2）1+3+5+…+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n【设计意图】巩固两个求和公式，既可选用公式1，也可选用公式2，但是共同点都是项数容n易错，教师应通过错因辨析，利用错误强化正确，再次强化学生利用通项公式an=a1+（n－1）d求项数n的训练，以达到理解公式，为更好地应用公式奠定基础。例2：等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：a1dnansn51010-2502550-38-10-36014.52632【设计意图】掌握并能灵活应用公式并体会方程的思想方法。练一练1.在等差数列{an}中，已知a2+a5+a12+a15=36，求；2.求等差数列1、3、5、7、…、2n-3的和。3.等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？【设计意图】进一强化求和公式的灵活应用及化归的思想（化归到首项和公差）。例题3.众所周知，中国的著名运动员姚明在篮球领域中取得了巨大的成就，他是整个中国的骄傲，甚至是整个亚洲的骄傲。但是同学们了解姚明刚去NBA时的辛酸吗？初到NBA，姚明为了更快的适应NBA的高强度对抗，给自己指定了为期10天的投篮训练计划，从第一天到第十天的投篮个数依次如下表：60065070075080085090095010001050请问：姚明这十天一共投了几个篮？【设计意图】1、从数学知识角度出发：学生要达到会选用公式从而熟悉公式的目的。学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算．达到熟悉公式的要素与结构的目的，为后续公式的应用奠定基础。2、从数学能力角度出发：培养学生数据处理能力、读取信息的能力及数学的应用意识。3、从教育价值角度出发：对学生渗透人文教育，情感教育，爱国主义教育等，学习姚明不畏艰辛，敢于挑战的精神品质。练一练巍巍宝塔十三层，底层装铃三十整，每上一层少两个，问塔共有多少铃？【设计意图】让学生体会数列知识在生活中的应用及简单的数学建模思想方法。（五）.归纳总结分享收获：(鼓励学生大胆总结发言，培养总结和表达能力)1.等差数列的前n项和公式：,2.思想方法：倒序相加法求和，由特殊到一般，由一般到特殊，转化等思想。3.在应用等差数列前n项和公式解决问题时，要注意正确的求出项数。（六）作业布置：1、必做题：课本P42习题A2．3，第8题（1）（3），第4,5题选做题：已知函数f（x）=，则f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为课后探究:等差数列前n项公式与二次函数之间的关系如何？并证明你的结论。[设计意图]作业是课堂教学的延续，是学生巩固知识、形成能力的重要素材。分层布置三个层次的作业，满足不同层次的学习需要，使不同程度的学生得到不同的程度的发展，体现新课程“以生为本”的理念。（七）.当堂检测1.在等差数列{an}中，已知a1=16，an=84，n=10那么S10等于（）A.50B.500C.1000D.50002.在等差数列{an}中，已知S8=172，a1=4，那么d等于（）A.4B.5C.6D.7设计意图：通过检测，巩固本节课的所学知识，同时让教师及时了解学生的掌握情况，以便更进一步调整自己的教学。（八）播放等差数列之歌设计意图：帮助学生记忆所学公式。（九）板书设计2.3．1等差数列的前n项和

1、公式及推导过程

公式特点公式作用体现的数学思想2、例题

变式：拓展：

练习展示作业布置：

[设计意图]对本节课的学习起画龙点睛的作用，是本节课教学内容的再现，方便学生巩固知识，提高教学效果。学情分析1.知识基础：高二年级学生已学习了数列及等差数列有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和及小高斯的故事。2.认知水平与能力：高二学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。3.学生特点：平行班里有不少学生基础不差且思维较活跃，能带动其它学生积极学习，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。效果分析根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用“探究——发现”教学模式．引导学生在活动中进行探究，在师生互动交流中，发现等差数列前n项和的推导方法，教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导，学生的学法突出探究与发现，通过创设情景激发兴趣，在与教师的互动交流中，获得本节课的知识与方法。根据学生具体情况，我力求达到：1、形成学生主动参与，自主探究的课堂气氛。2、掌握求和公式的方法特点，并能从梯形面积的角度认识公式。3、提高学生类比化归，数形结合的能力。由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标。教材分析1．教学内容：本节课是高中人教B版必修5第二章第二节第一课时的内容。主要研究等差数列的前n项和公式的推导及其简单应用。2．地位与作用本节课是前面所学知识的延续和深化，又是后面学习“等比数列及其前n项和”的基础和前奏。学好了本节课的内容，既能加深对数列有关概念的理解，又能为后面学好等比数列及数列求和提供方法。同时还蕴涵着深刻的数学思想方法（倒序相加法、数形结合、方程思想），因此“等差数列的前n项和”无论是在《数列》这一章中还是在高中数学中都有极为重要的位置，具有承上启下的重要作用。测评练习（一）当堂练习1.在等差数列{an}中，已知a2+a5+a12+a15=36，求；2.求等差数列1、3、5、7、…、2n-3的和。3.等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？【设计意图】进一强化求和公式的灵活应用及化归的思想（化归到首项和公差）。（二）当堂检测1.在等差数列{an}中，已知a1=16，an=84，n=10那么S10等于（）A.50B.500C.1000D.50002.在等差数列{an}中，已知S8=172，a1=4，那么d等于（）A.4B.5C.6D.7设计意图：通过检测，巩固本节课的所学知识，同时让教师及时了解学生的掌握情况，以便更进一步调整自己的教学。课后反思根据课改对基础型课的要求，需要体现活动育人的原则，所以我在设计这节课时，主要通过问题来引导学生达成教学目标。综观本节课，存在有特点主要有以下几点:1、合理地对教材进行了个性化处理，挖掘了教材中可探究的因素，促使学生探究、推导。例如:等差数列前n项和的公式一，是通过具体的例子，引到一般的情况，激励学生进行猜想，再进行论证得出;而第二个公式并不象书本上那样直接给出，而是让学生从习题中进行归纳总结得到的。这样处理教材，使学生的思维得到了很大的锻炼。2、本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学，通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活，创设情境，重在启发引导，使学生由浅到深，由易到难分层次对本节课内容进行掌握。学生在学习的过程中体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。3、在教学中，鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，渗透了数形结合的数学思想。总之，这节课无论是教学设计，还是授课过程，都还存在缺漏之处，要真正打造“目标导引教学”课堂模式，还需要细细打磨，不断完善。课标分析等差数列前n项和，这是教材给出的前n项和的定义，但需要说明的是这只是一个形式定义，表示求和是一般意义的加法运算，而本节课要推导的等差数列的前n项和的数学本质是寻求与n的一个函数关系式，如果这个关系式能够用解析式来表达，那么我们就完全把握了这个求和公式。本节课是等差数列的前n项和的第一课