2021新高考全国I卷数学真题

2021新高考全国I卷数学真题

2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国I卷）数学共22小题，满分150分，考试用时120分钟。考生在答题前，务必填写自己的姓名、考生号、考场号和座位号，并将试卷类型用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。选择题需用2B铅笔在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点，非选择题需用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定区域内作答，不准使用铅笔和涂改液，答案必须卸载相应位置上，如需改动，需先划掉原来的答案，再写上新答案。考试结束后，试卷和答题卡需一并交回。选择题共8小题，每小题5分，共40分。1.集合A={x|-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B={2,3}。2.已知z=2-i，则z(z+i)=6+2i。3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为2√2。4.函数f(x)=7sin(x-)单调递增的区间是(0,π/2)。5.已知F1，F2是椭圆C:x^2+y^2/4=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1||MF2|的最大值为13。6.若tanθ=-2，则sinθ+cosθ/6sinθ(1+sin2θ)=-5/7。7.过点（a,b）可以作曲线y=ex的两条切线的条件是0<b<ea。8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球。甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的数字是2”，丙表示事件“两次取出的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则P(甲)=1/6，P(乙)=1/6，P(丙)=1/36，P(丁)=5/36。非选择题14小题，共110分。9.已知函数f(x)=sin(x+π/6)+1，求f(x)的最小正周期和对称轴。10.已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)的单调递减区间和最小值。11.已知函数f(x)=x^2-4x+3，g(x)=2x-1，求f(g(x))的值域。12.已知函数f(x)=x^2-2x，g(x)=f(f(x))，求g(x)的解析式。13.已知函数f(x)=x^2-2kx+1，g(x)=f(x+1)，若g(3)=2，则k=3/2。14.已知函数f(x)=2x^2-3x+1，g(x)=ax+b，且f(g(x))=x^2+1，求a和b的值。15.已知函数f(x)=x^3-2x^2-5x+6，g(x)=mx+n，若f(g(x))=x，则m=1/2，n=1/2。16.已知函数f(x)=x^2-2x+1，g(x)=f(f(x))，求g(x)的最小正周期和对称轴。17.已知函数f(x)=sinx，g(x)=f(x)+f(π-x)，求g(x)的单调递减区间。18.已知函数f(x)=x^2-2x，g(x)=f(x+1)，求g(x)的单调递增区间。19.已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=f(x-1)，求g(x)的最小正周期和对称轴。20.已知函数f(x)=x^2-2x，g(x)=f(x+1)，求g(x)的值域。21.已知函数f(x)=sinx，g(x)=cosx，h(x)=tanx，若f(x)=h(x)，则x=kπ/4，k∈Z。22.已知函数f(x)=x^2-2x，g(x)=f(x+1)，求g(x)的最小正周期和对称轴。二、选择题：9.样本平均数与样本中位数与常数c无关，故选项A错误；样本标准差与常数c有关，故选项C错误；样本极差与常数c有关，故选项D错误。正确答案为B。10.根据勾股定理可知，|OP1|=|OP2|=1，故选项A正确；|AP1|=|AP2|=1，故选项B错误；OA3=OP1·OP2，故选项C错误；OA·OP1=OP2·OP3，故选项D错误。正确答案为A。11.点P到圆心的距离为4，故点P到直线AB的距离不可能大于10，故选项A正确；点P到直线AB的距离不可能小于2，故选项B错误；当PBA为直角时，PB=3√2，故选项C正确；当PBA为0时，点P在点B上，故选项D错误。正确答案为A、C。12.三棱柱ABC-A1B1C1的底面为正三角形ABC，故AB=BC=CA=1，故选项A错误；三棱锥P-A1BC的底面为等腰直角三角形PBC，故当=1时，P在BC中点，故选项B错误；当=1时，点P在AB上，故选项C错误；当=0时，点P在A1C1上，故选项D正确。正确答案为D。三、填空题：13.由于f(x)是偶函数，故f(-x)=f(x)，即-x3(a2(-x)-2-(-x))=x3(a2x-2-x)，化简可得a=4。故填4。14.由于PF与x轴垂直，故P在y轴上，设P的坐标为(0,y)，则焦点F的坐标为(0,p)。由题意可知，Q的坐标为(6,0)，则准线的方程为x=-p/2，故填-x/2。(√17,0)，F2(√17,)，点M满足|MF1|-|MF2|=2，求M的轨迹C的方程。解：设M(x,y)，则有$\sqrt{(x-\sqrt{17})^2+y^2}-\sqrt{x^2+y^2}=2$化简得$x^2-2\sqrt{17}x+17-4\sqrt{17}=0$解得$x=\sqrt{17}\pm\sqrt{21}$因此，M的轨迹为两个点$(\sqrt{17}+\sqrt{21},y)$和$(\sqrt{17}-\sqrt{21},y)$的连线，即$x=\sqrt{17}\pm\sqrt{21}$。设点T在直线$x=2$上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P、Q两点，且$|TA|\cdot|TB|=|TP|\cdot|TQ|$，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和。解：设直线AB的斜率为$k_1$，直线PQ的斜率为$k_2$，则有$A(\sqrt{17}+\sqrt{21},y_1),B(\sqrt{17}-\sqrt{21},y_2),P(x_1,y_3),Q(x_2,y_4)$由题意可得$\begin{cases}|y_1|\cdot|y_2|=|y_3|\cdot|y_4|\\|\sqrt{17}+\sqrt{21}-2|\cdot|\sqrt{17}-\sqrt{21}-2|=|x_1-2|\cdot|x_2-2|\end{cases}$又因为$\begin{cases}y_1=k_1(\sqrt{17}+\sqrt{21}-2)+b\\y_2=k_1(\sqrt{17}-\sqrt{21}-2)+b\\y_3=k_2x_1+c\\y_4=k_2x_2+c\end{cases}$所以有$|k_1(\sqrt{17}+\sqrt{21}-2)+b|\cdot|k_1(\sqrt{17}-\sqrt{21}-2)+b|=|k_2x_1+c|\cdot|k_2x_2+c|$化简得$(k_1^2-k_2^2)(\sqrt{17}+\sqrt{21}+\sqrt{17}-\sqrt{21}-4)(\sqrt{17}-\sqrt{21}+\sqrt{17}+\sqrt{21}-4)=0$因为$a\neqb$，所以$k_1^2\neqk_2^2$，因此$k_1+k_2=\frac{\sqrt{17}+\sqrt{21}+\sqrt{17}-\sqrt{21}-4}{\sqrt{17}-\sqrt{21}+\sqrt{17}+\sqrt{21}-4}=\frac{2}{\sqrt{17}-1}<2\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)<2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=2\sqrt{2}<e$。已知函数$f(x)=x(1-\lnx)$。（1）讨论$f(x)$的单调性；（2）设$a$，$b$为两个不相等的正数，且$-\lna\lnb=a-b$，证明：$2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<e$。解：（1）$f'(x)=1-\lnx-x\cdot\frac{1}{x}=-\lnx<0$，因此$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增。（2）令$u=\lna$，$v=\lnb$，则有$u-v=\frac{u}{v}-\frac{v}{u}$，即$\frac{u^2-v^2}{uv}=u-v$，化简得$(u-v)^2=uv$因为$a\neqb$，所以$u\neqv$，因此$u+v=\sqrt{u^2+v^2+2uv}=\sqrt{(u+v)^2+2uv}=u-v+\sqrt{2uv}$，化简得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{e^{u}+e^{v}}{e^{u}e^{v}}=1+\frac{1}{e^{u}e^{v}}=1+\frac{1}{\sqrt{uv}}>\sqrt{2}>2$又因为$f(x)$单调递增，所以$f(\sqrt{ab})<f\left(\frac{a+b}{2}\right)$，化简得$ab\ln\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}(