算法案例 辗转相除法与更相减损术秦九韶算法与进位制第一课时课件数学高一必修第一章算法初步.人教A

目标导航1.理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.2.理解秦九韶算法中求多项式的值的步骤原理.3.能利用除k取余法把十进制数化为k进制数.1.辗转相除法的算法步骤第一步，给定两个正整数m，n(m>n).第二步，计算________除以________所得的______数r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于______；否则，返回第二步.mn余n

2.更相减损术的算法步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是用2约简；若不是，执行第二步.

第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与________比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数________为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.较小的数相等3.秦九韶算法把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝_____________________________＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝_____________________________________.(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0求多迷项式言的值雨时，刑首先应计算种最内粪层括残号内登的一保次多锐项式暴的值，此即v1＝anx＋an－1，然殃后由趟内向垮外逐促层计央算一味次多狮项式粥的值跪，即：n这样图，求n次多阁项式f(x)的值刻就转鼠化为太求__爸__古__个一塔次多炊项式的有值.v1＝anx＋an－1，v2＝__有__浙__存__须__厅__，v3＝v2x＋an－3，…vn＝__敬__叫__荡__辆__嫂__，v1x＋an－2vn－1x＋a04.进位贡制(1矛)k进制显数anan－1…a1a0(k)转化姿为十羞进制续数为__考__妄__挖__驶__锻__色__缴__左__爽__懒__屡__供__俭__听__徐__煤__厌__嘱_.(2旁)把十篇进制锈数化跨为k进制蚕数用乎“__砍__僚__驱__考__奖__备”，即英把所言给的十浴进制罚数除繁以__游__享__矮__，得勿到商盐数和辨余数握，再乞用商塌数除妇以k，得到难商数毒和余话数，坏直到带商数惹为__胶__撇__点__，把篮上面微各步伪所得锣的__终__双__促__从右敞到左桶排列隙，即懂得到k进制脉数.除k取余法k0余数ankn＋an－1kn－1＋…＋a1k＋a0【问题圆导思】1．如隙何求18与54的最游大公厌约数羊？【提示】短除烦法．2．要求6醋75尤0与3峰49打2的最刊大公侮约数眯，上配述法雅还好辅用吗斗？【提示】数值难太大关，短闸除法五不方埋便用阀．新课杰探究知识1求两逮个正哪整数灰最大睡公约佣数的努算法(1陪)更相邮减损启之术(等值瓜算法)用两抹个数清中较科大的句数减对去较怨小的程数，拨再用和构成个新的荷一对无数，染对这赢一对栗数再桨用减，以耐同样样的操欲作一竖直做栗下去甩，直够到产竟生，这阻个数蠢就是爆最大承公约锦数．(2岁)辗转京相除况法(欧几英里得隐算法)用较磨大的恩数除观以较酸小的潮数所罗得的和__呀__渠__蜡__岗__构成坐新的偶一对键数，蒜继续打做上他面的脸除法那，直芦到，这砌个较沿小的汽数就纷是最胀大公灾约数.差数较小歉的数大数小数一对馆相等艺的数余数较小淋的数大数屋被小合数除帽尽【问题呜导思】1．怎汇样计使算多吼项式f(龟x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的申值呢遮？统烧计所弃做的享计算能的种夏类及兵计算嘴次数感分别辽是什卖么？【提示】f(薯5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3靠90难6.根据票我们谢的计伐算统蛋计可洋以得雷出我顶们共愉需要10次乘痕法运成算，5次加绩法运尺算．知识2秦九旦韶算愈法2．我驱们把摧多项粉式变墨形为f(源x)＝x2(1＋x(起1＋x(彩1＋x)稀))＋x＋1，再没统计胳一下殊计算在当x＝5时的巡寿计算谦的种意类及裹计算兄次数碰分别阅是什扬么？【提示】从里佛往外始计算震仅需4次乘训法和5次加截法运政算即佣可得索出结飞果．(1赞)把一芦元n次多速项式P(示x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写饿为P(厕x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，令vk＝(…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k，(2尽)计算P(膝x0)的方智法先计星算，然节后逐层朗计算拼，直筐到，然们后加匀上．最内谈层括搭号由内阿向外最外恢层括姨号常数霉项知识3进位返制进位扰制是摆一种握记数丛方式盏，用辣有限档的数投字在登不同孔的位叛置表别示不同隔的数借值.使用略数字桌符号勾的个午数称敬为基酬数，堂基数助为n，即糠称为n进位窜制，沟简称n进制.现在胆最常滴用的麻是十器进制吴，通接常使俱用10个阿拉站伯数卵字0～9进行弦记数.例1阻.分别牌用辗帽转相衡除法呀和等氏值算杰法求31泼9和26患1的最勾大公锁约数肺．【分析】使用晃辗转界相除太法可洞依据m＝nq＋r，反霉复执亚行，拆直到r＝0为止坐；用剑等值融算法叮是根锦据m－n＝r，直亡到n＝1为止锹．典例直精讲【解析】辗转介相除离法：31擦9÷案26遇1＝1(余58局)，26章1÷雪58＝4(余29践)，58多÷2逢9＝2(余0)．所以31酷9与26还1的最漆大公采约数墨是29王.等值赔算法滋：31贴9－26赞1＝58，26闲1－58＝20栗3，20中3－58＝14峡5，14钩5－58＝87，87－58＝29，58－29＝29椅.即(3验19，26愁1)→(2芽61，58爆)→(2更03，58许)→(1棕45，58挨)→(8销7，58瞒)→(5沾8，29辈)→(2新9，29愧)．所以31为9与26枪1的最籍大公堪约数粱是29捆.1．利博用“等值梅算法”求给利定的躺两个液数的割最大邪公约恶数，俘即多爽次利目用减狐法，袭用数程对中厘较大肤的数亮减去飘较小置的数斗，直她到相高减的霸差与守数对见中较舒小的咱数相机等为皇止．2．更相配减损鞠之术骄的步忽骤：(1害)判断弦两数潜是否卸都为灿偶数周，若京是，屋则都颗除以2直到便所得肝两数厌不全轧为偶肥数．(2绘)用较烛大的闸数减能去较级小的办数，械将差易和较棉小的塑数构辛成一辈对新继数，养继续册用较鬼大数跑减去跃较小型数，种重复旧执行教．(3五)当差肿和较读小数然相等糠时，停结束夹执行哑，此吊时差(或较麻小数)为不稿全为煮偶数颂的两女数的薯最大堵公约当数．用“等值辜算法”(更相笛减损禾之术)求下亭列两殊数的夕最大昌公约挥数．(1铁)9时8，28暗0；(2饼)7牢2，16薯8.【解】(1冬)(劳98，28城0)→(9辱8，18寇2)→(9可8，84叙)→(1拿4，84倾)→(1本4，70煌)→(1辛4，56洽)→(1渔4，42王)→(1爬4，28须)→(1他4，14歇)．∴最大俩公约春数为14抽.(2材)(愤72，16所8)→(7但2，96炒)→(7优2，24掩)→(4衬8，24近)→(2纪4，24典)．∴最大镜公约召数为24喂.例2.用秦袍九韶东算法盏计算采多项斧式f(必x)＝x6－12答x5＋60孤x4－16守0x3＋24辱0x2－19腾2x＋64当x＝2时的戒值．【分析】【解析】将f(或x)改写栏为f(疤x)＝((洞((些(x－12秀)x＋60奇)x－16该0)遗x＋24丹0)闭x－19染2)死x＋64，由内诱向外裙依次美计算途一次跑多项肥式当x＝2时的膀值．v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－16仓0＝－80，v4＝－80×2＋24舞0＝80，v5＝80×2－19基2＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.∵f(之2)＝0，即x＝2时，惧原多嗽项式杰的值扁为0.1．用寨秦九旨韶算尝法计卸算多剑项式奋的值姻时，精要正惭确将死多项顾式的皆形式留进行衔改写控，然雪后由粪内向顾外依饮次计塞算．腊当多蕉项式毁函数鲁中间猛出现翅空项旨式，软要以奶系数派为零脖的齐守次项召补充吼．2．秦九款韶算庸法的如步骤洁：【变式披训练】利用透秦九填韶算森法计堤算多末项式f(x)＝11－5x＋3x2＋7x3在x＝23的值痒时，纳不会县用到颈下列作哪个然值()DA.荡16核1B.猛37菜72C.哪86访6瞒41D.画85谢1为69解析忆：f(x)＝11－5x＋3x2＋7x3＝[(筹7x＋3)x－5]x＋11趣.所以赚当x＝23时，v0＝7；v1＝7×23＋3＝16发1＋3＝16户4；v2＝16赴4×23－5＝37怜72－5＝37葛67；v3＝37就67×23＋11＝86物6兆41＋11＝86腐6农52吹.例3.求32完4，24稍3，27懂0三数坟的最诞大公胁约数肉．【分析】先求32拼4和24窄3的最锻大公搜约数藏，再漠求这平个数抵与27游0的最责大公匹约数灵．【解析】∵(3渴24，24秘3)→(2芒43，81陷)→(1核62，81量)→(8莫1，81伴)．则32夏4与24它3的最颂大公蓬约数鲜为81漂.又(2漆70，81者)→(1撑89，81商)→(1讲08，81碌)→(8变1，27贺)→(5鱼4，27泛)→(2蒜7，27航)．则27值0与81的最彼大公姥约数搬为27，故32怒4，24现3，27欲0三数团的最扭大公换约数按为27踩.求三象个数坑的最热大公占约数双，可仔先求君两个增数的测最大液公约回数a，再苗求a与第锈三个厦数的芝最大情公约铃数b，则b为所敲求的隙三个详数的寨最大罚公约为数．戒该题穿的解肝法可侨推广偶到求n个数菊的最或大公望约数田．用更宪相减渐损之扬术求27比0跌90，21锻6静72，8俯12陶7的最盾大公置约数垫．【解】先求27猪0价90与21盛6梨72的最促大公勉约数托．(2肺7墓09基0，21罚6脑72聋)→(2罢1汽67递2，5紫41塌8)→(1辰6盗25估4，5株41证8)→(1嫁0兰83必6，5举41话8)→(5妈4质18，5惑41冠8)．∴27刘0招90与21红6决72的最丛大公之约数特是5今41陷8.再求5滨41劝8与8陆12间7的最白大公标约数撇．(8饶1叛27，5时41黑8)→(2籍7帖09，5帖41芬8)→(2械7德09，2娱70刚9)．∴5屡41宁8与8圾12办7的最狮大公压约数岂为2棕70恢9.∴27警0恶90，21派6香72，8良17雷2的最乌大公递约数盾为2匙70图9.类型4进制脱数之间虏的转既化例4.(1)将10纱1俱11浇1伟01戴1(2恐)转化华为十犁进制纤数；(2蜜)将12乞31(5柱)转化忘为七详进制双数.【分析】k进制倾数anan－1…a2a1a0(k)(0≤ai<k)转化吗为十译进制公数：anan－1…a2a1a0(k)＝an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a2×k2＋a1×k＋a0×1.要将k进制扁数转狐化为n进制泰数(n，k≠1丢0)，可绘先将k进制孙数转凯化为仆十进遇制数汗，然乖后再按转化抱为所纷求的n进制触数.【解析】(1债)1期01馅1驳11削0哪11(2我)＝1×离28＋0×鸭27＋1×姿26＋1×纠25＋1×情24＋1×病23＋0×困22＋1×尺21＋1×司20＝37为9(1西0)萄.(2蔑)1插23垫1(5司)＝1×龟53＋2×渠52＋3×色5＋1＝19蹄1(1渣0)，∴12凤31(5选)＝36洋2(7子).【变式似训练】3.填空斧：24期813帜0(1探)1森1白11置1君00评0(2浑)＝__艘__落__竿__(1选0)；(2表)1猜54(6盈)＝__习__丹__跃__(7骆).名称辗转相除法更相减损术区别①以除法为主②两个整数的差较大时，运算次数减少③余数为0时结束①以减法为主②两个整数的差较大时，运算次数多③两数相等时结束联系①都是求最大公约数的方法②都用到递推方法③都用循环结构来实现1.辗转烟相除阵法与燥更相限减损茅术求禽最大红公约词数的捧区别嘉与联扁系.课堂椅总结2.秦九乖韶算蓝法的焦优点.(1川)减少拦乘法型运算泊的次弱数.(2承)规律廊性强旧，便拣于利但用循垂环语锻句实毅现.(3危)不用育对x做幂厉的运饼算，临每次都盼是计框算一抬个一瞒次多莲项式碑的值，快提高辟了计首算精俭度.3.进位各制对于桃任何捎一个签数，凳我们充可以颜用不炭同的胡进位段制来菜表示.比如泉：十进斩数57，可拨以用迫二进勤制表察示为11警1嘱00室1，也指可以树用八向进制绵表示为71，用帅十六营进制拼表示折为39，它妖们所董代表齿的数效值都默是一兆样的.表示齐各种旬进制微数时族，一他般要浅在数级字右跃下角间加注其来表魄示.如11等1解00线1(2卡)表示邻二进劈燕制数拢，34(5拳)表示伴五进去制数.电子气计算阔机一找般都使用歉二进佩制.1．用更搬相减葵损之叶术可粱求得78与36的最掀大公候约数肉是()A．24B．18C．12D．6【解析】78－36＝42，42－36＝6，36－6＝30，30－6＝24，24－6＝18，18－6＝12，12－6＝6，∴6为78与36的最相大公如约数唇．【答案】D当堂砌检测2．用吊秦九鼻韶算版法计铺算f(悲x)＝6x5－4x4＋x3－2x2＋