八年级数学全等三角形复习题及答案

八年级数学全等三角形复习题及答案

初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例1.如图，A,F,E,B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。求证：△ACF≅△BDE。证明：因为AC⊥CE，BD⊥DF，所以AC∥BD。又AE=BF，AC=BD，所以△ACF≅△BDE（ASA）。例2.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C。证明：因为BE是∠ABC的平分线，所以∠ABE=∠CBE。又AD⊥BE，垂足为D，所以∠ADE=∠BDE。因此，∠2=∠ADE+∠ABE=∠BDE+∠CBE=∠1+∠C。例3.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE,EF和CF。求证：AE=CF。证明：连接AC。因为AB=BC，∠ABC=90，所以AC是△ABC的中线，即AC=BC。又因为BE=BF，所以△ABE≅△CBF（SAS），从而AE=CF。例4.如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB=CD。证明：连接AC。因为AB//CD，AD//BC，所以△ABC∥△ADC。又因为AB=AC+BC，CD=AC+AD，所以AB=CD。例5.如图，AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为∠MBN的平分线。证明：连接BP。因为AP是∠MAC的平分线，所以∠BAP=∠CAM。又因为CP是∠NCA的平分线，所以∠BCP=∠CAN。因此，∠BAP+∠BCP=∠CAM+∠CAN=∠MAN=∠MBN。又因为AP⊥BP，CP⊥BP，所以BP是∠MBN的平分线。例6.如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD的中线。求证：AC=2AE。证明：连接DE。因为CD=AB，∠ADB=∠BAD，所以△ADB≅△CDB（AAS）。又因为AE是△ABD的中线，所以AE=ED。因此，AC=AD-CD=AD-AB=2AE。例7.如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点。求证：AB-AC>PB-PC。证明：连接BP,CP。因为∠1=∠2，所以△ABP≅△ACP（AAS）。因此，AB=AC+CP-BP>AC+PB-PC，即AB-AC>PB-PC。同步练习一、选择题：1.能使两个直角三角形全等的条件是()A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.斜边相等2.根据下列条件，能画出唯一△ABC的是()A.AB=3，BC=4，CA=8B.AB=4，BC=3，∠A=30C.∠C=60，∠B=45，AB=4D.∠C=90，AB=63.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E。其中能使△ABC≅△AED的条件有()A.4个B.3个C.2个D.1个4.如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC,BD交于E点，下列不正确的是()A.∠DAE=∠CBEB.CE=DEC.△DEA不全等于△CBED.△EAB是等腰三角形5.如图，已知AB=CD，BC=AD，∠B=23，则∠D等于()A.67B.46C.23D.无法确定二、填空题：6.如图，在△ABC中，∠C=90，∠ABC的平分线BD交AC于点D，且CD:AD=2:3，AC=10cm，则点D到AB的距离等于__________cm；解：因为AC是△ABC的中线，所以AC=BC/2=5cm。又因为CD:AD=2:3，所以CD=4cm，AD=6cm。因此，BD=BC/2=5cm，AD/BD=6/5，所以点D到AB的距离为6cm。7.如图，已知AB=DC，AD=BC，E,F是BD上的两点，且BE=DF，若∠AEB=100，∠ADB=30，则∠BCF=____________；解：因为AB=DC，AD=BC，所以△ABD≅△CBD（SAS）。又因为BE=DF，所以△AEB≅△CFB（SAS）。因此，∠BCF=∠BEF=∠AEB-∠AED=100-30=70。8.将一张正方形纸片按如图方式折叠，BC和BD为折痕，求角CBD的大小。解答：根据正方形对角线相等的性质可知，AC和BD相等。又因为BC为正方形的一条边，所以BC等于AC和BD中的任意一条边。因此，△BCD是一个等腰直角三角形，角CBD的大小为45度。9.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C为90度，AC等于BC，AD平分∠BAC并交BC于点D，DE垂直于AB于点E，若AB等于10，则△BDE的周长等于多少？解答：由于△ABC是一个等腰直角三角形，所以AB等于AC和BC中的任意一条边，即AB等于BC。又因为AD平分∠BAC，所以∠BAD等于∠DAC。由于△ADE和△BDE中，∠ADE和∠BDE相等，且∠AED和∠BED都为直角，所以△ADE和△BDE全等。因此，BD等于AD，DE等于AB-AD，即5。因此，△BDE的周长为BD+DE+BE，即10+5+10=25。10.如图，点D、E、F、B在同一条直线上，AB//CD，AE//CF，且AE等于CF，若BD等于10，BF等于2，则EF等于多少？解答：由于AB//CD和AE//CF，可以得到△ABE和△CDF是相似的。因此，AE/CD=BE/DF，即AE/CF=BE/BF，又因为AE等于CF，所以BE等于BF。因此，EF等于BD-BF，即8。11.如图，点M、N分别在BC、AC上，且BM等于CN，AM和BN是等边三角形，交于点Q。求∠AQN的度数。解答：由于AM和BN是等边三角形，所以AM等于BN。又因为BM等于CN，所以△BMQ和△CQN是相似的。因此，∠MQB等于∠NQC。同时，因为AM等于BN，所以∠AMQ等于∠BNQ。因此，∠AQN等于∠MQB+∠AMQ+∠NQC+∠BNQ，即180度。12.如图，∠ACB为90度，AC等于BC，D为AB上的一点，AE垂直于CD，BF垂直于CD，交CD的延长线于点F。证明BF等于CE。解答：由于AE垂直于CD，BF垂直于CD，所以AC和BD分别是△ACD和△BDF的高。因此，AC和BD相等。又因为AC等于BC，所以BD等于BC。因此，△BCD是一个等腰直角三角形。又因为AE垂直于CD，所以∠ACE等于90度。同理，BF垂直于CD，所以∠BCF也等于90度。因此，△ACE和△BCF是相似的。因此，BF/BC=CE/AC，即BF/BD=CE/AC。又因为BD等于BC和AC相等，所以BF等于CE。在三角形ABD和FBD中，已知$\angleABD=\angleFBD$，$BD=BD$，$\angleADB=\angleFDB=90$，因此根据ASA准则，$\triangleABD\cong\triangleFBD$，所以$\angle2=\angleDFB$，$\angleDFB=\angle1+\angleC$，因此$\angle2=\angle1+\angleC$。解题思路：通过翻折构造全等三角形来证明线段相等。例如，在以线段AE为边的$\triangleABE$中，将它绕点B顺时针旋转90度，得到$\triangleCBF$，此时线段CF恰好是$\triangleCBF$的边，因此只需要证明$\triangleABE\cong\triangleCBF$即可得到$AE=CF$。解题过程：$\angleABC=90$，$F$为$AB$延长线上的一点，因此$\angleABC=\angleCBF=90$。在$\triangleABE$和$\triangleCBF$中，已知$AB=BC$，$\angleABC=\angleCBF$，$BE=BF$，因此根据SAS准则，$\triangleABE\cong\triangleCBF$，所以$AE=CF$。解题思路：通过连接四边形的对角线来构造全等三角形。例如，在四边形$ABCD$中，连接$AC$，则$\triangleABC\cong\triangleCDA$，因此$AB=CD$。解题过程：连接$AC$，已知$AB\parallelCD$，$AD\parallelBC$，因此$\angle1=\angle2$，$\angle3=\angle4$。在$\triangleABC$和$\triangleCDA$中，已知$\angle1=\angle2$，$AC=CA$，$\angle4=\angle3$，因此根据ASA准则，$\triangleABC\cong\triangleCDA$，所以$AB=CD$。解题思路：通过点到直线的距离相等来证明线段相等。例如，在$\triangleMBN$中，要证明$BP$是$\angleMBN$的平分线，可以证明点$P$到$BM$和$BN$的距离相等，因此需要向$BM$和$BN$作垂线。解题过程：过$P$作$PD\perpBM$于$D$，$PE\perpAC$于$E$，$PF\perpBN$于$F$。已知$AP$和$CP$分别是$\angleMAC$和$\angleNCA$的平分线，因此$PD=PE$，$CP$平分$\angleNCA$，因此$PE=PF$，因此$PD=PF$。由于$PD\perpBM$，$PF\perpBN$，因此$BP$是$\angleMBN$的平分线。解题思路：当已知或要证明中涉及角平分线时，可以通过作垂线和利用角平分线的性质或判定来解答问题。例如，在例6中，要证明“AC=2AE”，可以构造一条等于2AE的线段，然后证明其等于AC。为此，我们可以延长AE至点F，使EF=AE，并连接DF。然后在△ABE和△FDE中应用SAS相似性质，可得到∠B=∠EDF，以及∠ADF=∠ADC。由于AB=CD，因此DF=DC。接着，在△ADF和△ADC中应用SAS相似性质，可得到AF=AC。由于AF=2AE，因此AC=2AE。解题思路：当已知或要证明中涉及线段的和或差时，可以采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。例如，在例7中，要证明AB-AC>PB-PC，可以采用“截长”法或“补短”法。具体作法是：在AB上截取AN=AC，连接PN，然后在△APN和△APC中应用SAS相似性质，可得到PN=PC。接着，在△BPN中，应用三角形两边之和大于第三边的性质，可得到PB-PC<BN，进而得到AB-AC>PB-PC。或者，延长AC至M，使AM=AB，连接PM，然后在△ABP和△AMP中应用SAS相似性质，可得到PB=PM。接着，在△PCM中，应用三角形两边之和大于第三边的性质，可得到AB-AC>PB-PC。小结：本章介绍了常用的辅助线作法，并强调了理解辅助线作法的重要性。我们应该不仅掌握辅助线的作法，还要了解为什么要这样做以及这样做的用处。一、选择题：1.在平面直角坐标系中，点P(3,4)关于y轴的对称点为（-3,4）。因为点P到y轴的距离为3，所以它的对称点的横坐标为-3，纵坐标不变，即为（-3,4）。2.在平面直角坐标系中，点A(3,4)和点B(5,-2)的中点坐标为（4,-1）。中点的横坐标为两点横坐标之和的一半，即（3+5）/2=4；纵坐标为两点纵坐标之和的一半，即（4+（-2））/2=-1。3.在平面直角坐标系中，点P(x,y)到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，且x>0，y>0，则点P的坐标为（3，4）。因为点P到x轴的距离为3，所以它的纵坐标为4；同理，它的横坐标为3。4.在平面直角坐标系中，点A(3,4)在x轴上的对称点为（3，-4）。因为点A到x轴的距离为4，所以它的对称点的纵坐标为-4，横坐标不变，即为（3，-4）。5.在平面直角坐标系中，点A(3,4)关于原点的对称点为（-3，-4）。因为点A到原点的距离为5，所以它的对称点的横纵坐标都取相反数，即为（-3，-4）。二、填空题：6.47.7。根据勾股定理，斜边长为5，所以正弦值为对边/斜边=3/5，余弦值为邻边/斜边=4/5，正切值为对边/邻边=3/4。将正弦值乘以100得到47.7。9.10。根据勾股定理，斜边长为10，所以正弦值为对边/斜边=6/10=0.6，余弦值为邻边/斜边=8/10=0.8，正切值为对边/邻边=6/8=0.75。将正弦值和余弦值相加得到1.4，取整数部分得到1，再将正弦值和余弦值的积乘以10得到48，取整数部分得到4，相加得到10。三、解答题：11.解：由于△ABC为等边三角形，所以AB=BC，∠ABC=∠C=60°。在△ABM和△BCN中，因为BM=