线性代数第一章课件.和

排列第一章行列式n阶行列式行列式的性质行列式按行(列)展开克莱姆法则当二阶行列式二元线性方程组：引言（二阶、三阶行列式）时，该方程组有唯一解.行列当三阶行列式时，该方程组有唯一解.oooo§1.1 排列例如 1，2，3这三个数的全体不同的排列共有3！=6个，它们是123，132，231，213，312，321

结论 由1，2，…，n这n个数所构成的不同n级排列的总数有n!个。12…n 一个n级排列例如312 一个三级排列 定义由n个不同数码1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列.定义（逆序数）在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么这对数就构成一个逆序；一个排列中的逆序的总数就称为这个排列的逆序数.例如四级排列2431中：记号

一个n级排列i1i2…in的逆序数记为N(i1i2…in)。故N(2431)=4.故排列2431的逆序数是4.21，41，31，43都是逆序,计算逆序数的步骤：1.

计算在in的前面比in大的数的个数mn，2.

计算在in-1的前面比in-1大的数的个数mn-1……,3.

最后计算在i2的前面比i2大的数的个数m2，所以【例1】计算排列45321的逆序数.【解】因为定义把一个排列中的某两个数i，j的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列，这样一个变换称为一个对换，记为对换（i，j）.定义逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.例如 2431 45321 12…n N(2431)=4 偶排列N(45321)=9 奇排列N(12…n)=0 偶排列定理任意竖一个话排列恳经过景一次趁对换宋后奇搜偶性饿改变.例如 （N讨(4妇35兔21巷)=汤8，逐N(坡43刊25山1)河=7错)(N匆(1蚊43护2)姿=3苍)(奇排啦列)(奇排奋列)(偶排洒列)(偶排状列)(奇排惯列)定理n个数美码（n>利1）共有n!个n级排煮列，率其中皇奇偶警排列剪各占屡一半.观察破由1，2，3这三跃个数殊组成利的6个三倾级排影列，偶排线列12程3，23险1，31柿2奇排浑列13晋2，21俱3，32鞋1【例2】确定i，j使21办5i7j94问6为偶矿排列.【解】显然i,j只能酒取3，8这两收个数纠，i,j依次浩取N(殃21阅53骑78顺94挥6)号=所以皱取N(张21划58昌73像94铃6)蔽=3，8和8，3得i=8瓦,j=3锹.9,12景,§1.灵2n阶行太列式a11a22-a12a21a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31二阶三阶元素个数2232乘积项个数2！=23！=6乘积项表示a1j1a2j2a1j1a2j2a3j3乘积项符号代数和n阶行娃列式剥定义即n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个元素

的乘积的代数和.一般熊项n阶行着列式典的一焦般项露还可捞记成【例1】用定义计算行列式的值.【解】记行科列式醒的一孝般项考虑择列下总标，创仅当时对应肌的项译不等酬于零歪，因训此=84皂0.【例2】用定义计算上三角行列式的值.【解】记行危列式楚的一杀般项兵为在第n行的匀元素替中，粒只有ann可能耗不为0，其胶余全抓为0，故只考虑在第n-1行的榨元素组中，厨除外全付为0，故jn-1只有n-1竿,n这两斥个可己能,又因此依次若类推故D中只及有一沃项而所以上三角