矩阵的初等变换与线性方程组的求解

矩阵的初等变换与线性方程组的求解－－高斯消去法

在本部分，我们将对中学所接触过的消元法求解线性方程组的过程用矩阵的初等变换来表示，并且对方程组的解的情况给出相应的判断标准。1.线性方程组的矩阵形式表示引入如下三个矩阵

利用矩阵的乘法,线性方程组可以写成如下的矩阵形式：AX=b定义

解向量与解集合

方程组的一组解称为方程组的一个解向量，所有解向量的全体构成的集合称为方程组的解集合(解集)定义

方程组相容

方程组有解，我们称这个方程组是相容的，否则，称之为不相容的。定义

增广矩阵定义齐次方程组

AX=0;定义非齐次方程组

AX=b,b0(b中至少有一分量不为零)2消元法与矩阵的初等变换对于如上所示的最一般形式的线性方程组：在初等数学中，常常用消元法求解。消元法的基本思想是通过消元变形把已知方程组化成容易求解的同解方程组。在解未知数较多的方程组时，需要使消元法步骤规范而又简便。问题方程组何时有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解？

例1解线性方程组解第一步使第一个方程中的系数为1．与第四个方程的位置，交换第一个方程可得

第二步

把第一个方程以下的各方程中的消去．第二个方程减去第一个方程,第三个方程减去第一个方程

，第四个方程减去第二个方程的２倍，可得

第三步

使第二方程中的系数为1．第二个方程加上第三方程后再乘以（－1），可得

第四步

把第二个方程以下的方程中的都消去．第三个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程的3倍，可得

第五步

把第三个方程以下的方程中的消去．第四个方程加上第三个方程，可得

(2.4)

第六步

用“回代”方法求解．经第五步后得到的方程组(2.4)与原方程组等价．由方程组(2.4)的第三个方程得，代入第二个方程得；再把代入第一个方程可得．于是，方程组的解为

.类似上面形式的方程组称为阶梯形方程组．一般地，一个阶梯形线性方程组应该满足如下两个条件：

（1）如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零；

（2）如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为零，设第一个系数不为零的项是第项，那么此方程下方的所有方程（如果存在）的前项的系数全为零．例如线性方程组

与上述钻的消忙元过引程中掩，我企们对垃线性塌方程俱组施异行了证下列三种伪变换倘：（1）交换约两个扫方程玻的位痕置；（2）以非蚕零数k乘一密个方过程；（3）把某肾一个雾方程贼的k倍加幻玉到另叨一个坡方程么上．这三砖种变螺换称兽为线仁性方纸程组究的初等害变换．任意该线性惊方程赏组若干场次初长等变岩换阶梯准方程聋组Ga谊us眼s消元介法：原方墨程组阶梯港方程挪组回代得解在例1的消杠元过凉程中寒，我风们对价方程担组进展行的么初等规变换实际惑上只障对方杨程组照中未省知量切的系滴数与耀常数级项进咳行运木算，席未知量牌并未辞参与宁运算史．因币而对方颜程组明施行络的初购等变武换可壮以用相陷应的港矩阵次的变蔽换来轻表示矿．回顾陕前面收的方奖程组三、警利用骡矩阵滤初等沟行变敬换解纽奉线性划方程币组原方调程组增广挡矩阵使第一个方程中的系数为1．与第四个方程的位置交换第一个方程使第一行第一个元素为1，交换的第一行与第行的位置

第一步

把(1)以下的各方程中的消去．(2)-(1),(3)-(1),(4)-2(2)

第二步在中，第二行减去第一行，第三行减去第一行，第四行减去第一行的2倍

使第阔二方天程中判的系其数为1．第孕二个战方程尸加上猫第三堂方程沾后再解乘（抹－1）第三步在中，使第二行第一元素为1，第二行加上第三行后再乘以（）

把第二个方程以下的方程中的都消去．第三个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程的3倍

第四步在中，第三行加上第二行的4倍，第四行减去第二行的3倍

把第三个方程以下的方程中的消去．第四个方程加上第三个方程

在中，第四行加上第三行

第五步第六振步用“宏回代材”方董法求需解．阶梯塑形方农程组行阶植梯形冤矩阵（1）如果某一行元素全为零，那么它下方的所有行（如果存在)元素也全为零；（2）某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位于第列，那么它下方的所有行（如果存在）的前个元素全为零．行阶梯形矩阵一般屑地，忆一个行阶后梯形掘矩阵应该园满足泄以下幸两个赌条件屡：称为凯矩阵眨的初菠等行冤变换(1增)交换最两行障的位夺置(交换杰第两行,记作)(2幻玉)以非厉零数乘某赚一行冲（以乘第行,记作）;(3弦)把某宁一行勤的倍加毫到另绒一行绢上（封把第行的倍加液到第行上炉，记恰作）例如增矩阵与都是舌行阶扭梯形链矩阵背．不是岩行阶该梯形适矩阵皇．总结颜上述领的矩盒阵变揉换过垮程，斑有以押下三修种变储换：利用刚矩阵兔的初应等行财变换靠解线展性方主程组拢的一禁般方份法．原方耕程组增广擦矩阵对应榨方程阻组行阶辱梯矩车阵回代且求解任何劫线性伞方程捐组都旗可通浆过方所程初请等变袭换化悟为阶认梯方宅程组任何精矩阵被都可慨以通婚过矩渴阵初抱等变米换化伤为阶闸梯形低矩阵所以踢：线性管方程件组可砌以通盏过其睬对应股的增甚广矩莫阵来参解例2解线费性方榴程组．解对方闸程组奥的增证广矩短阵遭依次蔬施行雷下列剖初等压行变佳换，卖使它化为钻行阶舞梯形垫矩阵矮．．这个键矩阵型的最泉后一虑行除税最后担一个绩元素化不为候零外叔其余肉元素都为范零，睛它对居应一雀个矛礼盾方派程原方腰程组星无解例3解方兆程组解对方食程组矿的增适广矩尝阵依次身施行奋下列蓝初等冬行变荣换，随使它化以为行奏阶梯蝇形矩臂阵已是泼行阶拐梯形杏矩阵从最冶后一枣个方纤程可静得其中可取厚任意纷实数化．代入匹第二絮个方匹程，葛得到．再把代入腊第一循个方写程，行得到最后较一个滚矩阵它对痛应的倒方程潜组是把令，得裕方程更组的艰解为方程臂组有无穷策多个朝解．例4解线系性方享程组．解对方块程组拳的增闭广矩仙阵依次且施行牌以下赴初等铲行变岩换，渴使它化昼为行礼阶梯坐形矩耍阵．它对蒙应的鹅方程符组是,用回霉代方送法得捡原方门程组蛮的解．方程驴组有无唯一见解最后斑一个篮矩阵是行嫂阶梯馋形矩岛阵方程栏组解易的三星种情薯况:无赶解无穷软多解唯一谈解出现了矛盾方程方程个数比未知数的个数少方程个数和未知数的个数一样多非零行个数比未知数个数少非零行个数和未知数个数一样多生活惹中应惠保持吩一份量幽默情感生活旗中应帝保持验一份场幽默架感生活悲中应市保持取一份络幽默涂感一般菠线性念方程冈组的零解也穗有：无解锹，无往穷多铁解，镇唯一五解三种罪不同吧情况随．．(2妹.5戴)对它祸的增钓广矩轻阵施炊行若年干次收初等史行变测换，仇使它顷化为素行阶另梯形捡矩阵(2苗.6乡丰)设线鹊性方踏程组如何旷判断礼呢？其中根据虫方程竭求解平的方章法可英得情形1若可得哪到矛奴盾方碌程方程拣无解方程讲有唯四一解若情形2非零行个数等于未知数个数且情形3若非零康行个统数小问于未谊知数白个数方程大有无仆穷解且无穷半解的凉情形半，我他们作脑一讨借论阶梯翠矩阵若且对应擦的方略程组熔为未知量任取一组值，例如可得未知量确定的一组值于是为方仿程组畅的一难个解县．由未知量取值陵的任票意性甲，线欣性方支程组未知量可以自由取值，所以湾称为自由责未知秘量的取愉值．有无年穷多局个解用．的值依赖于未知量自由誉未知应量的势个数校为未知量的个数非零行的个数总是填它的特解（纠称为贺方程塔组的零解）由于故齐困次线袍性方挂程组范总是卡相容迷的根据键前面研的讨麦论，粪对于心齐次处线性扔方程搅组解情的情卧况可奋得如枯下定叶理对齐艰次方叠程组定理对齐立次线活性方数程组尘的系项数矩贱阵施巷行有沈限次苏初等撑行变毙换，勒使它杨化为爆行阶故梯形座矩阵猪．那因么只有零解非零行的行数等于方程组未知量的个数；(2)

有非零解非零行的行数小于未知量的个数．从而辜原方引程与啦下列茧方程叔组同反解为阶康梯形心矩阵解得方程痛最后棋求解滥回代率的过约程可遮以通阔过如少下的射方法僻来实视现：看前尺面的关例题对最较后的宽行阶巧梯矩搞阵继眯续进远行矩奏阵的谦初等焦变换于是舅，由菠最后一个划矩阵母直接写出蒸原方薄程组的解．行最盖简矩好阵（1）非为零行买（元阀素不敞全为宏零的牵行）残的第挺一非戚零元倘素都轧是1；（2）非钓零行脆的第行一个愤非零扮元素扑所在劝列的疯其余霸元素伏全为辉零．一般缸地，吼一个行最矮简形刃矩阵是满破足下峡列两春个条淋件的餐行阶域梯形遥矩阵息：这个辩方法度称为衣线性剂方程滤组的披高斯侦一若拒当（Ga小us穴s间--和Jo顶rd馒an）消元揪法，它蹲是一樱种改想进了路的高患斯消拆元法．任意爸矩阵行阶肯梯形抹矩阵从左晋至右啦，从碍上至破下从右蹦至左沙，从劲下至奏上行最慕简形迈矩阵解线洗性方坊程组目的最翅终一月般步计骤原方叨程组增广浪矩阵判断愁解的扯情况行阶沙梯矩花阵化最晨简形停止有解无解例5解线救性方猛程组解最对增求广矩疲阵B施行描初等荣行变蕉换，武使它抄化为迎行阶破梯形爹矩阵笼．最后敌一个佩矩阵举为行椒最简艰形矩勇阵，世由此凶可以闻直接站写出广原方程勒组的莫唯一烦的解

最后一个矩阵为行阶梯形矩阵，无矛盾方程，且非零行的个数和未知数的个数一样多，故原方程组有唯一的解．继续对施行下列初等行变换，使它化为行最简形矩阵．

．例7解齐阅次线碍性方珠程组解誓对岔方程衔组的介系数浪矩阵伤依寇次作铁下列懒初等奖行变叠换，乱使